2.4 用因式分解法求解一元二次方程-课件 2021-2022学年九年级数学北师大版上册（共16张ppt）

2.4 用因式分解法求解一元二次方程
同理当我们解方程(x+1)(x－1)=0时，可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解
你能求 (x+3)(x－5)=0的解吗？
如果ab=0，
那么a=0或b=0
知识回顾
学习目标
1.理解用因式分解法解方程的依据.
2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点）
3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点）
一、用因式分解法求解一元二次方程
老师在课堂上提出一个问题：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果能，这个数是几？
其中小颖，小明，小亮都设这个数为x，根据提议可得方程x2=3x，但是他们的解法各不相同。
情景导入
小颖
小明
小亮
小亮使用的方法：方程一边为0，另一边分解成两个一次因式乘积的形式。这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。
对比三个人的解法同学们说：
小明的解法是错误的，约去x的时候必须保证x≠0，他的做法漏掉了根为0 的情况
对比小颖和小亮的方法，小亮的方法更简单，但是小颖的方法是万能的
总结
例题讲解
例1 解下列方程：
(1)5x2＝4x； (2)x(x－2)＝x－2.

原来的一元二次方程转化成了两个一元一次方程.
(2)原方程可变形为
x(x－2)－(x－2)＝0，
(x－2)(x－1)＝0.
x－2＝0，或x－1＝0.
∴x1＝2，x2＝1.
解：(1)原方程可变形为
5x2－4x＝0，
x(5x－4)＝0.
x＝0，或5x－4＝0.
∴x1＝0，x2＝
因式分解法解一元二次方程步骤
一移-----方程的右边=0;
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
简单口诀
二、灵活选用方法解一元二次方程
例2 解下列方程
因式分解法
解：移项，得3x(x+2)-5(x+2)=0
(x+2)(3x-5)=0
(x+2)=0 或 (3x-5)=0
分析：含有公因式，或是体现乘法公式的，可用配方法来解题较快.
（2）x2 - 12x = 4
解：配方,得 x2 - 12x + 62 = 4 + 62,
即 (x - 6)2 = 40.
开平方,得
配方法
分析：二次项的系数为1，一次项系数是偶数，可用配方法来解题较快.
（3）3x2 = 4x + 1；
解：化为一般形式
3x2 - 4x + 1 = 0.
∵Δ=b2 - 4ac = 28 > 0,
公式法
分析：二次项的系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法.
{2D5ABB26-0587-4C30-8999-92F81FD0307C}方法
理论依据
适用方法
关键步骤
直接开平方法
平方根的意义
（x-m）2=n（n≥0）的形式
开平方
{2D5ABB26-0587-4C30-8999-92F81FD0307C}配方法
完全平方公式
二次项系数为1，一次项系数为偶数的方程
配方
{2D5ABB26-0587-4C30-8999-92F81FD0307C}公式法
配方法
所有一元二次方程
带入求根公式
{2D5ABB26-0587-4C30-8999-92F81FD0307C}因式分解法
如果ab=0，那么a=0或b=0
一边是0，另一边易于分解成两个一次因式乘积的形式
分解因式
要点归纳
1.用因式分解下列方程
解：(1)∵x2－1＝2(x＋1)，
∴(x＋1)(x－1)－2(x＋1)＝0，
∴(x＋1)(x－1－2)＝0，
∴(x＋1)(x－3)＝0，
∴x＋1＝0或x－3＝0，
解得x1＝－1，x2＝3.
如果ab=0，
那么a=0或b=0
随堂演练
(2)(x＋3)2＝(1－2x)2
(1) x2－1＝2(x＋1)
(2)原方程可化为(x＋3)2－(1－2x)2＝0，
∴(x＋3＋1－2x)(x＋3－1＋2x)＝0，
即－x＋4＝0或3x＋2＝0，
解得x1＝4，x2＝ .
2.用适当的方法解下列方程：
(1)(x－3)2－25＝0； (2)x(x－2)＋x－2＝0；(3)x2＋8x＋15＝0.
解：(1)(x－3)2－25＝0.移项，得(x－3)2＝25.
开平方，得x－3＝±5，即x－3＝5或x－3＝－5，解得x1＝8，x2＝－2.
(2)(x－2)(x＋1)＝0，∴x－2＝0或x＋1＝0，解得x1＝2，x2＝－1.
(3)移项，得x2＋8x＝－15.
配方，得x2＋8x＋16＝1，即(x＋4)2＝1.
开平方，得x＋4＝±1，即x＋4＝1或x＋4＝－1，
解得x1＝－3，x2＝－5.
3.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.
解方程 (x-5)(x+2)=18.
解: 原方程化为：
(x-5)(x+2)=18 . ①
由x-5=3, 得x=8; ②
由x+2=6, 得x=4; ③
所以原方程的解为x1=8或x2=4.
解: 原方程化为：
x2 －3x －28= 0
(x－7)(x+4)=0
x1=7，x2=－4
这样的赋值是没有任何依据的，切记！
因式分解法
概念
步骤
简记歌诀：
右化零 左分解
两因式 各求解
如果a ·b=0，那么a=0或b=0.
原理
将方程左边因式分解，右边=0.
因式分解的方法有
ma+mb+mc=m(a+b+c);
a2 ±2ab+b2=(a ±b)2；
a2 -b2=(a +b)(a -b).
课堂小结