4.5相似三角形判定定理的证明---同步课件 2021-2022学年九年级数学北师大版上册（共17张ppt）

4.5 相似三角形判定定理的证明
学习目标
1.会证明相似三角形判定定理；（重点）
2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.（难点）
问题：相似三角形的判定方法有哪些？
① 两角对应相等，两三角形相似.
② 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
③ 三边对应成比例,两三角形相似.
知识回顾
获取新知
定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中，∠A = ∠A'，∠B =∠B'.
求证：△ABC ∽△A'B'C'．


证明：在 △ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取AD =A'B'，过点D作BC的平行线，交 AC 于点E，则∠1=∠B，∠2 =∠C，
过点 D 作 AC 的平行线,交 BC 于点 F,则
∴
∵ DE∥BC, DF∥AC,
∴ 四边形 DFCE 是平行四边形．
∴ DE = CF.
∴ ∴
A′
B′
C′
A
B
C
E
D
F
1
2
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′，
求证：△ABC∽△A′B′C′.
B
A
C
B'
A'
C'
B
A
C
B'
A'
C'
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D，使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E.
∵ DE∥B′C′，
∴ △A′DE∽△A′B′C′.
∴
D
E
∴ A′E = AC .
又 ∠A′ = ∠A.
∴ △A′DE ≌ △ABC，
∴ △A′B′C′ ∽ △ABC.
∵ A′D=AB，
∴
B
A
C
B'
A'
C'
D
E
定理3：三边成比例的两个三角形相似.
已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中，
求证：△ABC ∽ △A'B'C' .
E
D
A′
B′
C′
A
C
B
∴
C′
B′
A′
证明:在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′，
过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E.
∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC.
∴ DE=B′C′，EA=C′A′.
∴△ADE≌△A′B′C′，
△A′B′C′ ∽△ABC.
B
C
A
E
又 ，AD=A′B′，
∴ ， .
D
例题讲解
C
A
B
D
例题 如图，已知：∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，当 AB 的长为 时，△ACB 与△ADC相似．
C
A
B
D
2
解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，
要使这两个直角三角形相似，有两种情况：
(1) 当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，
有 AC : AD ＝AB : AC，
即 : 2 =AB : ，解得 AB=3；
∴
(2) 当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时，
有 AC : CD ＝AB : AC ，
即 : =AB : ，
解得 AB= ．
∴ 当 AB 的长为 3 或 时，这两个直角三角形相似．
C
A
B
D
2
随堂演练
1. 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.
(1) ∠A=35°，∠B′=55°： ；
(2) AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8： ；
(3) AB=10，AC=8，A′B′=25，B′C′=15： .
相似
相似
相似
2.如下图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
①
②
③
④
①③
3.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求AD的长.
A
B
C
D
解: ∵ AB=6，BC=4，AC=5，CD =
∴
又∠B =∠ACD,
∴△ABC∽△DCA，
∴
∴AD=
课堂小结
相似三角形判定定理的证明
定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
定理的运用
定理证明
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
定理3：三边成比例的两个三角形相似.