4.7.2相似三角形的周长和面积的性质 课件 2021-2022学年九年级数学北师大版上册（共18张ppt）

4.7.2 相似三角形周长和面积的性质
我们知道，如果两个三角形相似，它们对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.那么它们周长的比之间有什么关系？也等于相似比吗？面积之比呢？
A
B
C
A1
B1
C1
情景导入
学习目标
1.理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.（重点）
2.掌握相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用.（难点）
一、相似三角形的周长比等于相似比
归纳：相似三角形的周长比等于相似比。
右图（1）（2）（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似．
（2）与（1）的相似比＝_____
（2）与（1）的周长比＝_____
（3）与（1）的相似比＝_____
（3）与（1）的周长比＝_____
2:1
2:1
3:1
3:1
从上面可以看出当相似比＝k时，周长比＝______
k
获取新知
证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，
求证：相似三角形的周长比等于相似比.
A
B
C
A1
B1
C1
二、相似三角形的面积比等于相似比的平方
右图（1）（2）（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似
（2）与（1）的相似比＝_______，
（2）与（1）的面积比＝_______;
（3）与（1）的相似比＝_______，
（3）与（1）的面积比＝_______.
4:1
3:1
9:1
2:1
归纳:相似三角形的面积比等于相似比的平方。
从上面可以看出当相似比＝k时，面积比＝______
k2
试证明：
△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k,求证S△ABC与S△A′B′C′比值为k2
A
B
C
A′
B′
C′
证明：设△ABC∽△A′B′C′，相似比为k,
如图，分别作出△ABC和△A′B′C′的高AD和A′D′.
∵△ABC和△A′B′C′都是直角三角形，并且∠B=∠B′，
∴△ABD∽△A′B′D′.
∵△ABC∽△A′B′C′.

A
B
C
A′
B′
C′
D
D′
例 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与 △DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半.已知BC=2，求△ABC平移的距离.
解：根据题意，可知EG∥AB.
∴∠GEC=∠B，∠EGC=∠A.
∴△GEC∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）.
例题讲解

（相似三角形的面积比等于相似比的平方），
∴EC2=2.
∴EC=
∴BE=BC－EC=2－
即△ABC平移的距离为2－
1、两个相似三角形对应边比为3:5，那么相似比为 ，
周长比为 ，面积比为 .
3:5
9:25
3:5
随堂演练
2、把 一个三角形变成和它相似的三角形，则如果边长扩大为原来的100倍，那么面积扩大为原来的___________倍；
如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的________倍。
10000
10
3、已知△ABC∽△A′B′C′，AC: A′ C′=4:3。
（1）若△ABC的周长为24cm，则△A′B′C′的周长为 cm；
（2）若△ABC的面积为32 cm2 ，则△A′B′C′的面积为 cm2
18
18
4、已知，在△ABC 中，DE//BC, DE:BC=3:5 ,则
(1)AD:DB= ;
(2)△ADE的面积:梯形DECB的面积= ;
(3)△ABC的面积为25，则△ADE的面积=_________.
3:2
9:16
9
5.如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2,这两个三角形相似吗?如果相似,求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比.
相似
相似比为2:1
面积比为4:1
6、如图，已知DE∥BC，BD=3AD，S△ABC =48，求：△ADE的面积。
解：∵ DE∥BC
∴∠ADE=∠ABC, ∠AED=∠ACB
∴△ADE ∽△ABC
又∵BD=3AD
可得相似比k=AD:AB=1:2
∴S△ADE =1/4 S△ABC =12
如图，这是圆桌正上方的灯泡 (点A) 发出的光线照 射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为 1.2 米，桌面距离地面为 1 米，若灯泡距离地面 3 米， 则地面上阴影部分的面积约为多少 (结果保留两位小数)？
思维拓展
解：∵ FH = 1 米，AH = 3 米，
桌面的直径为 1.2 米，
∴ AF = AH－FH = 2 (米)，
DF = 1.2÷2 = 0.6 (米).
∵DF∥CH，
∴△ADF ∽△ACH，
A
D
E
F
C
B
H
∴ 即
解得 CH = 0.9米.
∴ 阴影部分的面积为：
答：地面上阴影部分的面积为 2.54 平方米.
(平方米).
A
D
E
F
C
B
H
相似三角形的性质2
相似三角形周长之比等于相似比
相似三角形面积之比等于相似比的平方
课堂小结