2021-2022学年九年级数学北师大版上册6.2第2课时 反比例函数的性质 课件（29张PPT）

6.2.2 反比例函数的性质
1.反比例函数的图象是什么？
双曲线
2.反比例函数的对称性是什么？
既是中心对称图形（原点为对称中心）
又是轴对称图形（y=x和y=-x为对称轴）
知识回顾
学习目标
1. 会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图象和性质. (重点)
2. 能够初步应用反比例函数的图象和性质解题. (重点)
3. 理解反比例函数的系数k的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中. (重点、难点)
4. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题. (重点、难点)
一、反比例函数的增减性
获取新知
根据上节课所学知识，先在草稿纸上画出函数 和 的图像,并思考以下几个问题?
(1)函数图象分别位于哪几个象限?
(2)在每一个象限内，随着x值的增大.y的值是怎样变化的?能说明这是为什么吗？
(3)反比例函数的图象可能与x轴相交吗?可能与y轴相交吗？为什么？
(1)函数图象分别位于哪几个象限?
函数的图像都位于一、三象限
(2)在每一个象限内，随着x值的增大y的值是怎样变化的?
能说明这是为什么吗？
在每一个象限内，随着x值的增大，y越来越小。
(3)反比例函数的图象可能与x轴相交吗?可能与y轴相交吗？为什么？
与x轴、y轴不相交，因为对于反比例函数x≠0，所以y≠0
①由两条曲线组成
②分别位于第一、三象限
③它们与 x 轴、y 轴都不相交
④在每个象限内，y 随 x 的增大而减小
反比例函数 (k＞0) 的图象和性质：
y
x
O
y
x
O
y
x
O
思考：在函数y＝ 中，当k<0时，结果又如何呢？
画出y＝- ，y＝- ,y=- 的图象,观察图像的特点.
从上面三个函数的图像我们可以发现 的图像和性质：
（1）函数的图像都位于第二、四象限
（2）在每一个象限内，随着x值的增大而增大
（3）反比例函数的图像与x轴、y轴不相交
k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性
{2D5ABB26-0587-4C30-8999-92F81FD0307C}反比例函数
k的符号
k＞0
k＜0
图像
性质
1.x的取值范围是x≠0，y的取值范围是y≠0;
2.函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x的增大而减小
1.x的取值范围是x≠0，y的取值范围是y≠0;
2.函数图像的两个分支分别在第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大
总结
在一个反比例函数图像上任取两点P、Q，过点P分别做x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积为S1；过点Q分别做x轴、y轴的垂线，与坐标轴围城的矩形面积为S2，S1与S2有什么关系呢？
二、反比例函数中k的几何意义
P
S1
Q
S2
以反比例函数 的图象为例子填写下列表格：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
P (2，2) Q (-1，-4)
S1的值
S2的值
S1与S2的关系
猜想 S1，S2 与 k的关系
4
4
S1=S2
S1=S2=k
5
1
2
3
4
－1
5
x
y
O
P
－5
－4
－3
－2
1
4
3
2
－3
－2
－4
－5
－1
Q
S1
S2
以反比例函数 的图象为例子填写下列表格：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
P (2，2) Q (-1，-4)
S1的值
S2的值
S1与S2的关系
猜想 S1，S2 与 k的关系
4
4
S1=S2
S1=S2=k
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
S1的值
S2的值
S1与S2的关系
猜想与 k 的关系
P (－1，4)
Q (－2，2)
2. 若在反比例函数 中也用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格：
4
4
S1=S2
S1=S2=－k
S1
y
x
O
P
Q
S2
猜想：
若点P是 图象上的任意一点，作PA垂直于 x 轴，作PB垂直于y轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|.
证明以上猜想：
设点 P 的坐标为 (a，b)
∵点 P (a，b) 在函数 的图象上
∴ ，即 ab=k.
若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k
若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=a· (－b)=－ab=－k
综上，S矩形 AOBP=|k|.
自己尝试证明
k > 0的情况.
y
x
O
P
A
B
P
A
B
对于反比例函数
点 Q 是其图象上的任意一点
作 QA 垂直于 y 轴，作 QB 垂直于x 轴
矩形AOBQ的面积与 k 的关系是
S矩形AOBQ=
A
B
y
x
O
归纳：
因为k有正负，多以表达面积的时，要加上绝对值符号
Q
推理：△QAO与△QBO的面积和 k 的关系是S△QAO=S△QBO=
例1 反比例函数 的图象如图所示.
(1) 判断k为正数还是负数.
如果A(－3，y1)和B(－1，y2)为这个函数
图像上的两点，那么y1与y2的大小关系是怎样的？
解：(1)因为反比例函数 的图象在第一、三象限，所以k＞0
由k＞0可知，在每个象限内，y的值随x的值增大而减小
∵－3＜－1
∴y1＞y2
例题讲解
如何用反比例函数的性质比较函数值的大小
例2 已知反比例函数 ，y 随x的增大而增大，求a的值.
解：由题意得a2+a－7=－1，且a－1<0
解得 a=－3
例3 如图，两个反比例函数 和 在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为____．
解析：根据反比例函数中k的几何意义，得△POA和△BOA的面积分别为2和1，于是阴影部分的面积为1.
1
1、若反比例函数 ，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是( )．
A. k＜0 B. k＞0 C. k≤0 D. k≥0
A
随堂演练
2、下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是( )
A. y＝x B. C. D. y＝2x
3、已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是反比例函数 (k＞0)的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有( )．
A.y1＜0＜y2 B.y2＜0＜y1
C.y1＜y2＜0 D.y2＜y1＜0
C
A
4.一次函数y＝kx＋b与反比例函数 的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.它们的函数值 y 随着 x 的增大而增大
B.它们的函数值 y 随着 x 的增大而减小
C. k＜0
D.它们的自变量x的取值为全体实数
C
6.如图所示，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是AB 上的点，△ AOC 的面积 S1、△ BOD 的面积 S2、 △ POE 的面积 S3 的大小关系为 .
S1 = S2 < S3
S1
S2
S3
5.已知反比例函数 的图象如图所示，则实数m的取值范围是____
m>1
7.已知反比例函数 在每个象限内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值．
解：由题意得 m2－10=－1，且 3m－8＞0．
解得 m=3.
思维拓展
如图，A，B是反比例函数 在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
B
反比例函数
的性质
性质
反比例函数图象中比例系数k的几何意义
当k＞0时，在每一象限内，
y的值随x的增大而减小.
当k<0时，在每一象限内，
y的值随x的增大而增大.
课堂小结