人教版A版高中数学必修二1.3.2球的体积和表面积
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如果一个底面半径和母线长均为的圆柱的全面积（侧面积与两个底面面积的和）与一个半径为的球的表面积相等，则和的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．不确定
2．如图，网格纸小正方形的边长是1，在其上用粗实线画出的是某空间几何体的三视图（其中主视图与左视图都是半圆，俯视图是圆），则该空间几何体的体积为(
)
A．
B．
C．
D．
3．已知正方体的棱长为1，则该正方体外接球的体积与其内切球表面积之比为（
）
A．
B．
C．
D．
4．设长方体的长、宽、高分别为2，1，1，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
5．如图，正四棱锥底面的四个顶点、、、在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则求的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．在四边形中，，，，，现将沿折起，得三棱锥，若三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
9．点在同一个球的球面上，，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知直三棱柱的顶点都在球的球面上，，，若球的表面积为，则这个直三棱柱的体积是(
)
A．16
B．15
C．
D．
二、填空题
11．已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，，，则球
的表面积为______
12．如图是某个四面体的三视图，该四面体的外接球的表面积为_____．
13．若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为_______.
14．已知矩形，，，为的中点，现分别沿将，翻折，使点重合，记为点，则几何体的外接球表面积为______．
15．在三棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．
三、解答题
16．一个球的体积是，试计算它的表面积.
17．如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比.
18．如图,△ABC中,,在三角形内挖去一个半圆(圆心O在边BC上,半圆与AC?AB分别相切于点C?M,与BC交于点N),将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体
(1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小;
(2)求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积.
19．如图所示棱锥中，底面是长方形，底面周长为，，且是四棱锥的高.设.
（1）当时，求三棱锥的体积；
（2）四棱锥外接球的表面积的最小值.
20．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，求该几何体的外接球的表面积。
试卷第1页，总3页人教版A版高中数学必修二1.3.2球的体积和表面积
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如果一个底面半径和母线长均为的圆柱的全面积（侧面积与两个底面面积的和）与一个半径为的球的表面积相等，则和的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．不确定
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意求出球及圆柱的表面积，通过相等即可得到和的大小关系．
【详解】
由题意得，圆柱的全面积；
半径为的球的表面积；
根据；
．
故选：．
【点睛】
本题主要考查球、圆柱的表面积的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
2．如图，网格纸小正方形的边长是1，在其上用粗实线画出的是某空间几何体的三视图（其中主视图与左视图都是半圆，俯视图是圆），则该空间几何体的体积为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由三视图可得几何体为半球，利用球的体积公式即可求解.
【详解】
由三视图可知几何体是一个半径为的半球，
体积为.
故选：A
【点睛】
本题考查了由三视图求几何体的表面积以及球的体积公式，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.
3．已知正方体的棱长为1，则该正方体外接球的体积与其内切球表面积之比为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由正方体性质知，它的外接球的半径为，内切球的半径为，利用球体积，表面积公式计算得结果.
【详解】
由正方体性质知，它的外接球的半径为，内切球的半径为，
，
：：2
故选：D
【点睛】
本题主要考查了正方体的性质，球的体积，表面积的计算，属于基础题.
4．设长方体的长、宽、高分别为2，1，1，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出长方体的对角线的长度，即得外接球的直径，再求球的表面积得解.
【详解】
由题得长方体外接球的直径.
故选：B
【点睛】
本题主要考查长方体的外接球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
5．如图，正四棱锥底面的四个顶点、、、在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则求的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
就是正四棱锥的高，由此可求得球的半径．
【详解】
由题意，设半径为，则，，，．
∴．
故选：D.
【点睛】
本题考查求球的表面积，解题关键是求出球的半径，图中已知条件说明正四棱锥的高是球半径，正四棱锥底面是球大圆内接正方形，这样易由正四棱锥体积求得球半径．
6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三视图还原出原几何体，然后根据圆柱和圆锥的体积公式，计算出结果.
【详解】
由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥，
圆柱和圆锥的底面直径为4，故底面半径为2，故底面面积，
圆柱和圆锥的高，故组合体的体积，
故选：B．
【点睛】
本题考查三视图还原几何体，圆柱体的体积和圆锥体积的求法，属于简单题.
7．在四边形中，，，，，现将沿折起，得三棱锥，若三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，，所以，所以球心在的中点处，半径是，所以，故选D.
【点睛】本题重点考察了几何体与外接球的问题，属于中档题型，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.
8．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将三视图还原为空间几何体，根据几何关系再补全为棱柱，其四棱锥的外接球即为棱柱的外接球.由长方体的对角线为球的直径，即可由勾股定理求得球的半径，进而得球的体积.
【详解】
由三视图可知此几何体为一横放的四棱锥，如下图所示：
其底为边长为4的正方形，高为2，
其中平面平面，
可知，
故可补全为以，，为棱的长方体，如下图所示：
设四棱锥的外接球的半径为，
故，
∴，
∴.
故选：C.
【点睛】
本题考查了三视图还原空间几何体的应用，棱锥补全为棱柱的应用，棱柱外接球的性质及球的体积求法，属于中档题.
9．点在同一个球的球面上，，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积.
【详解】
根据题意知，是一个等边三角形，其面积为，
由正弦定理知，外接圆的半径为．
设小圆的圆心为，
若四面体的体积有最大值，由于底面积不变，高最大时体积最大，
所以，与面垂直时体积最大，
最大值为，
，
设球心为，半径为，
则在直角中，，
即，
则这个球的表面积为：
故选：A．
【点睛】
本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体的体积的最大值，是解答的关键．
10．已知直三棱柱的顶点都在球的球面上，，，若球的表面积为，则这个直三棱柱的体积是(
)
A．16
B．15
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题，棱柱为直棱柱，底面为直角三角形，利用球的表面积求得球半径，再利用外接球求得棱柱的高，最后求得体积即可.
【详解】
由题，
，
因为，，易知三角形ABC为等腰直角三角形，
故三棱柱的高
故体积
故选A
【点睛】
本题考查了棱柱的外接球的问题，解题的关键是找球心的位置，求出棱柱的高，属于中档题型.
二、填空题
11．已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，，，则球
的表面积为______
【答案】
【解析】
【分析】
直三棱柱中，底面是直角三角形，可以补成长方体，求出长方体的对角线，就可以求出外接球的直径，最后求出球的表面积．
【详解】
直三棱柱中，底面是直角三角形，可以补成长方体，如下图所示：
,所以球的直径为6，球的表面积为．
【点睛】
本题考查了利用补形法求直三棱柱外接球的表面积．
12．如图是某个四面体的三视图，该四面体的外接球的表面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
通过三视图，判断几何体的形状，利用三视图的数据，求出外接球的表面积，可得答案．
【详解】
由三视图可知，该几何体是一个底面为等腰直角三角形，棱锥的一条侧棱垂直底面等腰直角三角形的直角顶点，其中等腰直角三角形底边长为2，高为1，棱锥的高为，如图所示：
所以其外接球相当于一个棱长为为的正方体的外接球，其直径为正方体的体对角线；
故外接球的半径满足：
，
所以外接球的表面积．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，球的表面积公式，根据已知，求出球的直径（半径）是解答的关键．
13．若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为_______.
【答案】.
【解析】
【分析】
作出圆柱与其外接球的轴截面，结合题中数据，求出外接球半径，再由球的表面积公式，即可得出结果.
【详解】
作出圆柱与其外接球的轴截面如下：
设圆柱的底面圆半径为，则，所以轴截面的面积为，解得，
因此，该圆柱的外接球的半径，
所以球的表面积为.
故答案为
【点睛】
本题主要考查圆柱外接球的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型.
14．已知矩形，，，为的中点，现分别沿将，翻折，使点重合，记为点，则几何体的外接球表面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用所给数据易得三线垂直，进而利用长方体外接球直径为其体对角线长，再利用外接球的表面积公式即可得到答案．
【详解】
由AB＝1，AD＝，E为AD中点，
可得PE＝，PB＝PC＝1，
得∠EPB＝∠EPC＝90°，
∠CPB＝90°，
∴P﹣BCE为长方体一角，
其外接球直径为其体对角线长，
∴，
∴，
∴外接球表面积为4πR2＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查长方体外接球问题，长方体外接球的直径为体对角线，考查推理和计算能力.
15．在三棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
在等边三角形中，取的中点，设其中心为，则，再利用勾股定理可得，则为棱锥的外接球球心，利用球的表面积公式可得结果.
【详解】
如图，在等边三角形中，取的中点，
设其中心为，由，
得，
是以为斜边的等腰角三角形，,
又因为平面平面，
平面
，，
，
则为棱锥的外接球球心，
外接球半径，
该三棱锥外接球的表面积为，
故答案为.
【点睛】
本题考查主要四面体外接球表面积，考查空间想象能力，是中档题.
要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.
三、解答题
16．一个球的体积是，试计算它的表面积.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据球的体积公式列方程，求出球的半径，再利用球的表面积公式求解即可.
【详解】
解：.
故球的表面积为.
【点睛】
本题考查球的表面积和体积公式，是基础题.
17．如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比.
【答案】
【解析】
【分析】
利用圆柱和球的体积公式，求出体积即可.
【详解】
解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.
球的体积，圆柱的体积，
.
【点睛】
本题考查圆柱和球的体积，是基础题.
18．如图,△ABC中,,在三角形内挖去一个半圆(圆心O在边BC上,半圆与AC?AB分别相切于点C?M,与BC交于点N),将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体
(1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小;
(2)求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
根据旋转体的轴截面图，利用平面几何知识求得球的半径与长，再利用面积公式与体积公式计算即可.
【详解】
解：（1）连接，则，
设，
在中，，
；
（2），
∴圆锥球.
【点睛】
本题考查旋转体的表面积与体积的计算，球的表面积，圆锥的体积.
19．如图所示棱锥中，底面是长方形，底面周长为，，且是四棱锥的高.设.
（1）当时，求三棱锥的体积；
（2）四棱锥外接球的表面积的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）计算出的面积，以为高，利用锥体的体积公式可计算出三棱锥的体积，即为三棱锥的体积；
（2）将四棱锥补成长方体，四棱锥的外接球直径为长方体的体对角线，设，则，利用二次函数的基本性质可求出外接球半径的最小值，再利用球体的表面积公式可得出结果.
【详解】
（1）当时，，，的面积为，
因此，三棱锥的体积为；
（2）将四棱锥补成长方体，
则四棱锥的外接球和长方体的外接球相同.
设，则，所以球的半径，
当时，取得最小值，球的表面积，则的最小值为.
【点睛】
本题考查利用等体积法计算三棱锥的体积，同时也考查了多面体外接球表面积最值的计算，涉及二次函数基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.
20．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，求该几何体的外接球的表面积。
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得到该几何体为有一个侧面PAC垂直于底面,高为,底面是一个等腰直角三角形的三棱锥,如下图所示,这个几何体的外接球的球心O在高线PD上,且是等边三角形PAC的中心,求出外接球的半径,即可确定出表面积即可。
【详解】
由已知正视图是一个正三角形,侧视图和俯视图均为三角形,
该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面,高为,底面是一个等腰直角三角形的三棱锥,如图所示,这个几何体的外接球的球心O在高线PD上,且是等边三角形PAC的中心,
所以这个几何体的外接球的半径,则几何体的外接球的表面积为
【点睛】
本题主要考查三视图还原直观图、球的切接问题，属中等难度题。
试卷第1页，总3页
