人教版A版高中数学必修二1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则该几何体的体积是（
）
A．1
B．
C．2
D．3
2．如图，网格线上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其正视图，侧视图均为等边三角形，则该几何体的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
A．
B．
C．
D．
6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积等于（
）
A．
B．4
C．8
D．
7．已知三棱柱内接于一个半径为的球，四边形与为两个全等的矩形，是的中点，且，则三棱柱体积的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知三棱柱(
)
A．
B．
C．
D．
9．阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马中，为阳马中最长的棱，，若在阳马的外接球内部随机取一点，则该点位阳马内的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．底面半径为1，母线长为4的圆柱的体积等于_______.
12．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的表面积为，则正方体的棱长为______.
13．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为________；其最长棱的长度为________.
14．已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为和，则该圆锥的体积为________
15．直三棱柱中，，侧棱.则此三棱柱外接球的表面积为_________.
三、解答题
16．已知一圆锥的母线长为10，底面圆半径为6.
（1）求圆锥的高；
（2）若圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的表面积.
17．若长方体的三个面的面积分别是，求：
（1）长方体的体对角线的长；
（2）长方体的表面积.
18．某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆及其内接等腰三角形绕底边上的高所在直线旋转180°而成，如图2.已知圆的半径为，设，圆锥的侧面积为.
（1）求关于的函数关系式；
（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积最大.求取得最大值时腰的长度.
19．如图，在四棱锥中，正方形所在平面与正所在平面垂直，分别为的中点，在棱上．
(1)证明：平面．
(2)已知，点到的距离为，求三棱锥的体积．
20．如图所示的多面体是由一个以四边形为底面的直四棱柱被平面所截面成，若，且：
（1）求二面角的大小；
（2）求此多面体的体积.
试卷第1页，总3页人教版A版高中数学必修二1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则该几何体的体积是（
）
A．1
B．
C．2
D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
通过三视图可以知道该几何体是底面是直角三角形的直三棱柱，根据棱柱的体积公式，直接求解。
【详解】
通过三视图可知，该几何体是直三棱柱，其底面是直角边边长分别为的直角三角形，高为，，故本题选B。
【点睛】
本题考查了通过三视图判断出几何体的形状、并求出其体积。
2．如图，网格线上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其正视图，侧视图均为等边三角形，则该几何体的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由三视图判断出几何体的结构，进而求得几何体的体积.
【详解】
等边三角形的高为，由三视图可知，该几何体的左边是一个三棱锥，右边是一个半个圆锥，由此可求得几何体的体积为
，故选C.
【点睛】
本小题主要考查由三视图还原为原图，考查锥体体积计算公式，考查运算求解能力，属于基础题.
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用已知条件画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积．
【详解】
几何体的三视图的直观图如图所示，
则该几何体的体积为：．
故选：．
【点睛】
本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥．
【详解】
解：由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥．
∴该几何体的体积
.
故选D．
【点睛】
本题考查了三棱台的三视图的有关知识、圆柱与四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据几何体的三视图，得出该几何体底面为直角三角形的三棱锥，且侧棱垂直于底面，求出它的体积即可．
【详解】
由三视图可知，该三棱锥如下图所示P－ABC，
体积V＝
故选：B
【点睛】
本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力，是基础题目．
6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积等于（
）
A．
B．4
C．8
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
易得该几何体为三棱锥,再计算底面积与高求解即可.
【详解】
画出图像,易得该几何体为三棱锥,故该三棱锥的体积.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了根据三视图求几何体体积的问题,属于基础题.
7．已知三棱柱内接于一个半径为的球，四边形与为两个全等的矩形，是的中点，且，则三棱柱体积的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先可以说明三棱柱是底面为等腰三角形的直棱柱，设，将三棱柱还原为长方体，得其外接球直径为，即，则
设，利用导数求函数的单调性以及最值，即可得解；
【详解】
解：因为四边形与为两个全等的矩形，所以，，，又因为平面，所以平面；
因为是的中点，且，所以底面是直角三角形；
综上，三棱柱是底面为等腰三角形的直棱柱.
设，将三棱柱还原为长方体，得其外接球直径为，即；
所以三棱柱的体积；
记，则，
当时，；当时，；
所以在上单调递增，上单调递减，故.
故选：C.
【点睛】
本题考查线面垂直的判定，柱体的体积计算以及利用导数求函数的最值，属于中档题.
8．已知三棱柱(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝＝13，即R＝
9．阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马中，为阳马中最长的棱，，若在阳马的外接球内部随机取一点，则该点位阳马内的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意知的长等于其外接球的直径，可知，计算棱锥的体积，球的体积，根据古典概型即可求解.
【详解】
根据题意，的长等于其外接球的直径，因为，∴，∴，又平面，所以，
∴.
【点睛】
本题主要考查了棱锥的外接球，棱锥的体积，球的体积，古典概型，属于中档题.
10．已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
分析：过作球的截面中，面积最大的是过球心的截面，最小的是垂直于的截面，求出球的半径，以及垂直于的截面半径，从而可得结果.
详解：
显然过作球的截面中，面积最大的是过球心的截面，最小的是垂直于的截面，
设三棱锥的外接球半径为，
，解得
，截面面积最大为，
如图，，
，
，
垂直于的截面半径满足，
，即截面最小面积为，
截面圆面积的取值范围是，故选A.
点睛：本题主要考球的性质及圆内接三角形的性质、棱锥的体积公式及球的体积公式，属于难题.球内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：①多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；②注意运用性质.
二、填空题
11．底面半径为1，母线长为4的圆柱的体积等于_______.
【答案】
【解析】
【分析】
求得圆柱的底面积和高，其中高即为母线，代入圆柱的体积公式，求得答案.
【详解】
该圆柱的底面积，高即为母线为4
所以圆柱的体积.
故答案为：
【点睛】
本题考查求圆柱的体积，属于基础题.
12．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的表面积为，则正方体的棱长为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由正方体的边长与外接球半径的基本关系及球体表面积公式即可求出
【详解】
由题知，，又正方体外接球半径为（为正方形边长），求得
故答案为：
【点睛】
本题考查正方体外接球半径与边长的基本关系，属于基础题
13．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为________；其最长棱的长度为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据三视图作出物体的直观图，结合图形可得几何体的体积和最长的棱，由勾股定理即可求出答案.
【详解】
由三视图，可以在正方体中得到直观图为四棱锥，如图.
所以.
在四棱锥，由为正方体的对角线，显然最长.
.
故答案为：(1).
(2).
【点睛】
本题考查三视图的问题，关键是作出直观图，属于基础题.
14．已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为和，则该圆锥的体积为________
【答案】
【解析】
【分析】
依据圆锥的底面积和侧面积公式，求出底面半径和母线长，再根据勾股定理求出圆锥的高，最后利用圆锥的体积公式求出体积。
【详解】
设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，所以有
解得，
故该圆锥的体积为。
【点睛】
本题主要考查圆锥的底面积、侧面积和体积公式的应用。
15．直三棱柱中，，侧棱.则此三棱柱外接球的表面积为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
设直三棱柱下底面三角形外心为点，上底面三角形的外心为，则三棱柱外接球的球心为中点，由正弦定理与余弦定理即可求出答案．
【详解】
解：∵，
由余弦定理得，
即，
∴，
由正弦定理得底面△的外接圆的半径，
设直三棱柱下底面三角形外心为点，上底面三角形的外心为，
则三棱柱外接球的球心为中点，
在中，，
∴外接球的半径，
∴此三棱柱外接球的表面积为，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查几何体的外接球的表面积，关键在于找到球心的位置，属于难题．
三、解答题
16．已知一圆锥的母线长为10，底面圆半径为6.
（1）求圆锥的高；
（2）若圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的表面积.
【答案】（1）8（2）
【解析】
【分析】
(1)圆锥的母线长、底面圆半径以及圆锥的高满足勾股定理，由题意即可求出结果;
(2)先设圆锥内切球半径为,由题意可得，求出,再由球的表面积公式即可得出结果.
【详解】
（1）据题意知，圆锥的高
（2）据（1）求解知，圆锥的高为，
设圆锥内切球的半径为，则，
所以
所以所求球的表面积.
【点睛】
本题主要考查简单几何体的计算公式，属于基础题型.
17．若长方体的三个面的面积分别是，求：
（1）长方体的体对角线的长；
（2）长方体的表面积.
【答案】（1）.（2）
【解析】
【分析】
（1）设长方体的长，宽，高分别为，根据已知条件列出方程，求出，即可求出对角线；
（2）根据已知条件，即可求解.
【详解】
（1）设长方体的长，宽，高分别为，如图.
可令解得
，
，∴该长方体的体对角线长为.
（2）.
【点睛】
本题考查长方体面的面积与边长的关系，明确长方体的对角线与长、宽、高的关系，属于基础题.
18．某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆及其内接等腰三角形绕底边上的高所在直线旋转180°而成，如图2.已知圆的半径为，设，圆锥的侧面积为.
（1）求关于的函数关系式；
（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积最大.求取得最大值时腰的长度.
【答案】（1），（2）侧面积取得最大值时，等腰三角形的腰的长度为
【解析】
试题分析：（1）由条件，，，所以S，；（2）令，所以得，通过求导分析，得在时取得极大值，也是最大值．
试题解析：
（1）设交于点，过作，垂足为，
在中，，，
在中，，
所以S，
（2）要使侧面积最大，由（1）得：
令，所以得，
由得：
当时，，当时，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以在时取得极大值，也是最大值；
所以当时，侧面积取得最大值，
此时等腰三角形的腰长
答：侧面积取得最大值时，等腰三角形的腰的长度为．
19．如图，在四棱锥中，正方形所在平面与正所在平面垂直，分别为的中点，在棱上．
(1)证明：平面．
(2)已知，点到的距离为，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】
【分析】
（1）取中点，连接，；根据线面平行的判定定理可分别证得平面和平面；根据面面平行判定定理得平面平面，利用面面平行性质可证得结论；（2）根据面面垂直性质可知平面，由线面垂直性质可得；根据等边三角形三线合一可知；根据线面垂直判定定理知平面，从而得到；设，表示出三边，利用面积桥构造方程可求得；利用体积桥，可知，利用三棱锥体积公式求得结果.
【详解】
（1）取中点，连接，
为中点
又平面，平面
平面
四边形为正方形，为中点
又平面，平面
平面
，平面
平面平面
又平面
平面
（2）为正三角形，为中点
平面平面，，平面平面，平面
平面，又平面
又，平面
平面
平面
设，则，，
，即：，解得：
【点睛】
本题考查立体几何中线面平行关系的证明、三棱锥体积的求解，涉及到线面平行的判定、面面平行的判定与性质、线面垂直的判定与性质、面面垂直的性质的应用等知识；解决三棱锥体积问题的常用方法是利用体积桥的方式，将问题转化为底面积和高易求的三棱锥的体积的求解问题.
20．如图所示的多面体是由一个以四边形为底面的直四棱柱被平面所截面成，若，且：
（1）求二面角的大小；
（2）求此多面体的体积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）如图建立坐标系，计算平面的法向量为，平面的法向量为，计算夹角得到答案.
（2）平面将多面体分成两个体积相等的四棱锥和，证明平面，计算故，得到答案.
【详解】
（1）如图建立坐标系，由题意知
设平面的法向量为，则，
所以平面的一个法向量可以为.
而平面的法向量为，设两个法向量的夹角为，则
所以二面角的大小为.
（2）设点，则
而，即，解得.
平面将多面体分成两个体积相等的四棱锥和
由于平面，而，所以平面
四边形是直角梯形，
.所以多面体的体积为.
【点睛】
本题考查了二面角和多面体的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
试卷第1页，总3页
