人教版A版高中数学必修二1.2.3空间几何体的直观图
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（
）．
A．
B．
C．
D．
2．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（
）
A．
B．
C．
D．
3．
如图Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝，则这个平面图形的面积是
( )
A．1
B．
C．2
D．4
4．已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（
）
A．
a2
B．
a2
C．
a2
D．
a2
5．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图，正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，则原图形的周长是（
）
A．8cm
B．6cm
C．
D．
7．如图水平放置的一个平面图形的直观图是边长为的正方形，则原图形的周长是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．正方形的边长为，是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的面积为( )
A．
B．
C．
D．
9．一个几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为(
)
A．
B．
C．
D．
10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．已知是边长为2的正三角形，则它的平面直观图的面积为______.
12．如图，是水平放置的的直观图，则的面积为______.
13．水平放置的斜二测直观图如图所示，已知，，则边上的中线的长度为______.
14．如图，在棱长为1的正方体中，点是线段上的动点.当在平面上的正投影都为三角形时，将它们的面积分别记为.
(i)
当时，____（填“>”或“=”或“<”）；
(ii)
的最大值为____.
15．一个等腰直角三角形在一个平面内的平行投影可能是下列图形中的________（把你认为正确的选项代号都填上）．①等腰直角三角形；②直角非等腰三角形；③钝角三角形；④锐角三角形；⑤线段．
三、解答题
16．如图,正方形的边长为1cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图.请画出原来的平面图形的形状,并求原图形的周长与面积.
17．如图所示,中,,边AC上的高,求其水平放置的直观图的面积.
18．如图所示，梯形是平面图形的直观图.其中.
（1）如何利用斜二测画法的规则画出原四边形？
（2）在问题（1）中，如何求出水平放置的平面图形与直观图的面积？
19．在水平放置的平面内有一个边长为1的正方形，如图所示，其中的对角线在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的平面图形并求出其面积．
20．如图分别为直观图与水平放置的平面图形,梯形是平面图形ABCD的直观图.若,,,.如何求出水平放置的平面图形与直观图的面积?人教版A版高中数学必修二1.2.3空间几何体的直观图
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
试题分析：由斜二测画法的规则知与x'轴平行或重合的线段与x’轴平行或重合，其长度不变，与y轴平行或重合的线段与x’轴平行或重合，其长度变成原来的一半，正方形的对角线在y'轴上，可求得其长度为，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2，观察四个选项，A选项符合题意．故应选A．
考点：斜二测画法．
点评：注意斜二测画法中线段长度的变化．
2．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三视图可知该几何体的直观图为半个圆锥，由所给数据即可求得其体积.
【详解】
由三视图可知该几何体的直观图为半个圆锥，
正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，
所以该几何体的体积为，
故选：A.
【点睛】
本题考查了三视图的应用，圆锥体积求法，属于基础题.
3．
如图Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝，则这个平面图形的面积是
( )
A．1
B．
C．2
D．4
【答案】C
【解析】
由直观图可知，原平面图形是Rt△OAB，其中OA⊥OB，则OB＝O′B′＝，OA＝2O′A′＝4，∴S△OAB＝OB·OA＝2，故选C．
点睛：1.用斜二测法得直观图：“保平行，横不变，纵减半”是画图的标准；
2.平面多边形的斜二测画法的直观图与原图的面积关系：一个平面多边形的面积为S原，它的斜二测画法直观图的面积为S直，则有S直＝S原(或S原＝2S直).
4．已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（
）
A．
a2
B．
a2
C．
a2
D．
a2
【答案】D
【解析】
【分析】
由斜二测画法画出正三角形的直观图，作直观图的底边的高，进而求高，再由三角形的面积公式求得结果。
【详解】
如图①②所示的实际图形和直观图.
由斜二测画法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a.所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.
故选：D.
【点睛】
本题考查几何体的直观图，考查基本应用求解能力，属于基础题。求几何图形的直观图的面积，方法一，根据斜二测画法，作出直观图，再求直观图的面积；方法二，直观图的面积与原平面图形的面积比为。
5．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
如图所示建立坐标系，计算面积得到答案.
【详解】
如图所示建立坐标系，
根据题意：图2中为直角梯形，，，.
故.
故选：.
【点睛】
本题考查了斜二测画法求面积，意在考查学生的计算能力.
6．如图，正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，则原图形的周长是（
）
A．8cm
B．6cm
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将直观图还原为平面图形是平行四边形，然后计算．
【详解】
解：将直观图还原为平面图形，如图所示.
＝，，所以，
所以原图形的周长为8cm，
故选：A.
【点睛】
本题考查斜二测画法，掌握斜二测画法的定义是解题关键．根据斜二测画法的定义才能根据直观图中直线的位置关系确定原图形中直线的位置关系，从而解决原图形中的问题．
7．如图水平放置的一个平面图形的直观图是边长为的正方形，则原图形的周长是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由斜二测画法的规则知在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，长度保持不变，已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度为原来一半，据此还原几何体确定其周长即可.
【详解】
由斜二测画法的规则知与轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，
正方形的对角线在轴上，
可求得其长度为，故在平面图中其在轴上，且其长度变为原来的倍，长度为，其原来的图形如图所示，
则其周长为：.
故选A．
【点睛】
本题考查的知识点是平面图形的直观图，其中斜二测画法的规则，能够快速的在直观图面积和原图面积之间进行转化．
8．正方形的边长为，是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的面积为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据斜二测画法的规则可还原出原来的图形，得原图为一个底为1，高为的平行四边形，求出它的面积即可．
【详解】
如图所示，
由斜二测画法的规则知与轴平行的线段其长度不变与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在轴上，可求得其长度为，故在平面图中其在轴上，且其长度变为原来的2倍长度为，其原来的图形是平行四边形，所以它的面积是，故选C.
【点睛】
本题考查了斜二测画法的规则与应用问题，解题时应还原出原来的图形，是基础题．斜二测画法画平面图形直观图的步骤：（1）在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时，把它画成对应的轴、轴，使（或），它确定的平面表示水平平面；（2）已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于或轴的线段；（3）已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于轴的线段，长度为原来的一半．
9．一个几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
结合三视图,还原直观图,计算体积,即可得出答案.
【详解】
根据几何体的三视图得该几何体是四棱锥M-PSQN且四棱锥是棱长为2的正方体的一部分,直观图如图所示,由正方体的性质得,所以该四棱锥的体积为:
,故A正确.
【点睛】
本道题考查了三视图还原直观图,题目难度中等,可以借助立方体,进行实物图还原.
10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
由三视图可知，该几何体是如图所示的三棱锥
（正方体的棱长为
，
是棱的中点），其体积为
，故选C.
【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.
二、填空题
11．已知是边长为2的正三角形，则它的平面直观图的面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】
求出三角形的面积，利用平面图形的面积是直观图面积的倍，求出直观图的面积即可
【详解】
解：由三角形是边长为2的正三角形，可知的面积为：；
因为平面图形的面积与直观图的面积的比是，
所以它的平面直观图的面积是：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查平面图形的直观图和原图的面积的关系，考查计算能力和对图形的分析能力，属于基础题．
12．如图，是水平放置的的直观图，则的面积为______.
【答案】12
【解析】
【分析】
根据斜二测画法得到三角形的底面边长，高，然后求三角形的面积即可．
【详解】
根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，底面边长,高，
直角三角形的面积为
故答案为：12
【点睛】
本题主要考查平面图形的直观图的应用，要求熟练掌握斜二测画法的边长关系，属于基础题.
13．水平放置的斜二测直观图如图所示，已知，，则边上的中线的长度为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知中直观图中线段的长，可分析出实际为一个直角边长分别为、的直角三角形，进而根据勾股定理求出斜边，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
【详解】
在直观图中，，，所以在中，，，为直角，
，因此，边上的中线的长度为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查的知识点是斜二测画法直观图，其中掌握斜二测画法直观图与原图中的线段关系是解答的关键．
14．如图，在棱长为1的正方体中，点是线段上的动点.当在平面上的正投影都为三角形时，将它们的面积分别记为.
(i)
当时，____（填“>”或“=”或“<”）；
(ii)
的最大值为____.
【答案】=
【解析】
如图，因，，故，同理可得，所以，则，特别地当点在的中点时，三个面的面积最大且，所以，即最大值是，应填答案＝，．
点睛：解答本题的关键是搞清楚在正方体的各个面上的高的关系，再运用三角形的面积进行求解，进而进行比较，并求出其最大值．求解时借助三角形的相似比相等建立等量关系，最后证得其在各个侧面上的射影三角形的高相等，则面积相等，特别地当点在的中点时，三个三角形的面积都相等且最大，从而使得问题获解．
15．一个等腰直角三角形在一个平面内的平行投影可能是下列图形中的________（把你认为正确的选项代号都填上）．①等腰直角三角形；②直角非等腰三角形；③钝角三角形；④锐角三角形；⑤线段．
【答案】①②③④⑤
【解析】
【分析】
一个等腰直角三角形在一个平面内的平行投影的形状取决于该等腰直角三角形所在平面放置的位置，可分等腰直角三角形所在的平面与投影面平行、等腰直角三角形的一条直角边与投影面平行时、等腰直角三角形的斜边在投影面内或与投影面平行时、等腰直角三角形的任何一边都不与投影面平行时、等腰直角三角形所在平面与投影面垂直共五种情况讨论即可。
【详解】
（1）当等腰直角三角形所在的平面与投影面平行时，如图，它的正投影是与它全等的等腰直角三角形。
（2）当等腰直角三角形的一条直角边与投影面平行时，如图，它的正投影是直角非等腰三角形。
（3）当等腰直角三角形的斜边在投影面内或与投影面平行时，如图，改变等腰直角三角形所在平面与投影面所成角的大小，它的正投影为钝角三角形。
令，则，，则就是在内的正投影．当时，，，且有，所以为钝角．所以为钝角三角形。
（4）当等腰直角三角形的任何一边都不与投影面平行时，如图，等腰直角三角形的正投影为锐角三角形。
若令，，则．又令，，则在中，；在中，．过点A作，则有，故．在中，，即．在中，，所以是锐角三角形。
（5）当等腰直角三角形所在平面与投影面垂直时，易知它的正投影是一条线段。
故应填①②③④⑤．
【点睛】
本题应全面考虑等腰直角三角形相对投影面的各种情况，如等腰直角三角形所在平面与投影面相交时，需分别考虑直角边、斜边相对投影面的位置关系。
三、解答题
16．如图,正方形的边长为1cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图.请画出原来的平面图形的形状,并求原图形的周长与面积.
【答案】原图见解析,,
【解析】
【分析】
根据直观图与原图像的边角关系建系画图即可.
【详解】
如图,建立平面直角坐标系xOy,在x轴上取;在y轴上取;在过点B的x轴的平行线上取.
连接O,A,B,C各点,即得到原图形.易知,四边形OABC为平行四边形,,
平行四边形OABC的周长为,面积.
【点睛】
本题主要考查了直观图的画法与四边形面积和周长的求法,属于基础题型.
17．如图所示,中,,边AC上的高,求其水平放置的直观图的面积.
【答案】
【解析】
【分析】
画出直观图或直接根据直观图与原图像面积的关系求解即可.
【详解】
解法一:画轴与轴,两轴交于,使,作的直观图如图所示,则,,故的高为,所以.即水平放置的直观图的面积为.
解法二:的面积为,由平面图形的面积与直观图的面积间的关系,可得水平放置的直观图的面积是.
【点睛】
本题主要考查了直观图的画法与直观图和原图像面积的关系.属于基础题型.
18．如图所示，梯形是平面图形的直观图.其中.
（1）如何利用斜二测画法的规则画出原四边形？
（2）在问题（1）中，如何求出水平放置的平面图形与直观图的面积？
【答案】（1）见解析
；（2）水平放置的平面图形的面积是5，直观图的面积是，详见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用斜二测画法的规则进行还原，与轴平行的线段，平行关系和长度关系不变，与轴平行的线段，平行关系不变，长度关系要变为2倍；
（2）根据梯形的面积公式进行求解.
【详解】
（1）如图，建立平面直角坐标系，在轴上截取.
在过点的轴的平行线上截取.在过点的轴的平行线上截取.连接，即得到了原图形.
（2）由作法可知，原四边形是直角梯形，上，下底边长度分别为，直角腰的长度，所以面积为.
易得直观图中梯形的高为，因此其面积为.
【点睛】
本题主要考查直观图的斜二测画法，明确斜二测画法的核心步骤是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养和动手作图能力.
19．在水平放置的平面内有一个边长为1的正方形，如图所示，其中的对角线在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的平面图形并求出其面积．
【答案】图形见解析，2.
【解析】
【详解】
四边形ABCD的真实图形如图所示，
因为A′C′在水平位置，
A′B′C′D′为正方形，
所以∠D′A′C′=∠A′C′B′=45°，
所以在原四边形ABCD中，
DA⊥AC，AC⊥BC，
因为DA=2D′A′=2，
AC=A′C′=，
所以S四边形ABCD=AC·AD=2.
20．如图分别为直观图与水平放置的平面图形,梯形是平面图形ABCD的直观图.若,,,.如何求出水平放置的平面图形与直观图的面积?
【答案】见解析,
【解析】
【分析】
根据直观图与原图之间的边角关系求解即可.
【详解】
由作法可知,原四边形ABCD是直角梯形,上?下底边长度分别为,,直角腰的长度,所以面积为.
直观图中梯形的高为,因此其面积为.
【点睛】
本题主要考查了斜二测画法前后的图像关系,属于基础题型.
