人教版A版高中数学必修二2.1.1平面
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，四棱锥，，
是
的中点，直线交平面
于点
，则下列结论正确的是（
）
A．
四点不共面
B．
四点共面
C．
三点共线
D．
三点共线
2．三棱柱各面所在平面将空间分为（
）
A．部分
B．部分
C．部分
D．部分
3．如图所示，在三棱柱中，，，，点，分别是棱，的中点，则直线和所成的角是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有( )
A．1条或2条
B．2条或3条
C．1条或3条
D．1条或2条或3条
5．下列叙述中错误的是（
）
A．若点P∈α，P∈β且α∩β＝l，则P∈l
B．三点A，B，C能确定一个平面
C．若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面
D．若点A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l?α
6．下列说法中正确的是（
）
A．三点确定一个平面
B．四边形一定是平面图形
C．梯形一定是平面图形
D．两个不同平面和有不在同条直线上的三个公共点
7．，，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是
A．，
B．，
C．，，共面
D．，，共点，，共面
8．下列命题中，正确的共有（
）
①
因为直线是无限的，所以平面内的一条直线就可以延伸到平面外去；
②
两个平面有时只相交于一个公共点；
③
分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上；
④
一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内；
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
9．下列各图均是正六棱柱，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是
( )
A．
B．
C．
D．
10．正三棱柱中,所有棱长均为2,点分别为棱的中点,若过点作一截面,则截面的周长为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．如果三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系可以是_______.（填序号）①三个平面两两平行；②三个平面两两相交，且交于同一条直线；③三个平面两两相交，且有三条交线；④两个平面平行，且都与第三个平面相交
12．由正方体各个面的对角线所确定的平面共有________个
13．给出下列说法：
①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
④若一个四边形有三条边在同一个平面内，则第四条边也在这个平面内；
⑤点在平面外，点和平面内的任意一条直线都不共面.
其中所有正确说法的序号是______.
14．如图，试用适当的符号表示下列点?直线和平面之间的关系:
（1）点与平面:__________；
（2）点与平面:__________；
（3）直线与平面:__________；
（4）直线与平面:__________；
（5）平面与平面:__________；
15．如图，正方体的棱长为，、分别是、的中点，过点、、的截面将正方体分割成两部分，则较小部分几何体的体积为__________.
三、解答题
16．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系.
（1）；
（2）；
（3）.
17．用符号语言表示下列语句.
（1）三个平面交于一点，且平面与平面交于直线，平面与平面交于直线，平面与平面交于直线；
（2）平面与平面相交于直线，平面与平面相交于直线.
18．给出如下点、线、面的图示.
（1）如何用文字语言表述以上点、线、面的位置关系？
（2）如何用数学符号语言表述上述关系？
19．如图，在边长为1的正方体中，分别是的中点．
（1）作出过点与正方体的截面；（不必说明画法和理由）
（2）在线段上是否存在点，使得与平面的所成角为45°．若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由．
20．在正方体中，、分别是、的中点，
（1）证明点、、、共面
（2）证明、、三线交于一点
试卷第1页，总3页人教版A版高中数学必修二2.1.1平面
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，四棱锥，，
是
的中点，直线交平面
于点
，则下列结论正确的是（
）
A．
四点不共面
B．
四点共面
C．
三点共线
D．
三点共线
【答案】D
【解析】
【分析】
根据公理一、二、三逐一排除即可．
【详解】
直线与直线交于点，所以平面与平面交于点O，所以必相交于直线，直线在平面内，点故面，故四点共面，所以A错．
点若与共面，则直线在平面内，与题目矛盾，故B错．
为中点，所以，，故，故C错．
故选D．
【点睛】
本题属于中档题，考查公理一、二、三的应用，学生不易掌握，属于易错题．
2．三棱柱各面所在平面将空间分为（
）
A．部分
B．部分
C．部分
D．部分
【答案】C
【解析】
【分析】
把一个三棱柱的俯视图，延长三边，可把平面分成7部分，还原为三棱柱，空间被两个底面分成上下3层，每层都有7部分，即可求解.
【详解】
想象一个没有上下底的三棱柱（上下两边无限延伸），将三棱柱的侧面延伸出来，
俯视图如图所示，
分成个区域.
拿两个水平的平面去截（其实就是三棱柱上下底面所在平面），
分成上中下三个大块，每个大块个区域，共个区域.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了空间想象力，转化的思想，属于容易题.
3．如图所示，在三棱柱中，，，，点，分别是棱，的中点，则直线和所成的角是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先将EF平移到AB1，再利用中位线进行平移，使两条异面直线移到同一点，得到所成角，求之即可．
【详解】
连接AB1，易知AB1∥EF，连接B1C交BC1于点
G，取AC的中点H，连接GH，则GH∥AB1∥EF．设
AB=BC=AA1=a，连接HB，在三角形GHB中，易
知GH=HB=GB=a，故两直线所成的角即为∠HGB=60°．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了异面直线及其所成的角，平移法是研究异面直线所成的角的最常用的方法，属于基础题．
4．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有( )
A．1条或2条
B．2条或3条
C．1条或3条
D．1条或2条或3条
【答案】D
【解析】分类讨论：
当α过平面β与γ的交线时，这三个平面有1条交线；
当β∥γ时，α与β和γ各有一条交线，共有2条交线；
当β∩γ=b，α∩β=a，α∩γ=c时，有3条交线.
本题选择D选项.
5．下列叙述中错误的是（
）
A．若点P∈α，P∈β且α∩β＝l，则P∈l
B．三点A，B，C能确定一个平面
C．若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面
D．若点A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l?α
【答案】B
【解析】
【分析】
对于选项A:利用平面的公理3即可判断;对于选项B：利用平面的公理2即可判断;
对于选项C:利用平面的公理2的推论即可判断;对于选项D:利用平面的公理1即可判断.
【详解】
对于选项A:由平面的公理3知:如果两个不重合的平面有一个公共点,则它们有且只有一条过该点的公共直线,所以选项A正确;
对于选项B:由平面的公理2知,过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面,即当三点A，B，C不共线时,能确定一个平面,反之不成立,所以选项B错误;
对于选项C:
由平面的公理2的推论知,两条相交直线,确定一个平面,所以选项C正确;
对于选项D:由平面的公理1知,如果一条直线上的两点在一个平面内,则这条直线在此平面内,所以选项D正确；
故选:B
【点睛】
本题主要考查利用平面的三个公理判断空间中点线面的位置关系;熟练掌握三个公理的内容是求解本题的关键;属于基础题.
6．下列说法中正确的是（
）
A．三点确定一个平面
B．四边形一定是平面图形
C．梯形一定是平面图形
D．两个不同平面和有不在同条直线上的三个公共点
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平面的概念进行判断即可.
【详解】
对于选项A,当三点共线时,无法确定一个平面,故A错误；
对于选项B,一个四边形,若对边异面,则为一个立体图形,故B错误；
对于选项C,因为梯形有一组对边平行,两条平行线可以确定一个平面,则梯形一定是平面图形,故C正确；
对于选项D,若两个不同平面和有不在同条直线上的三个公共点,由于三个不共线的点能确定一个平面,则平面与平面重合,与已知矛盾,故D错误.
故选:C
【点睛】
本题考查平面的概念的应用,考查空间想象能力.
7．，，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是
A．，
B．，
C．，，共面
D．，，共点，，共面
【答案】B
【解析】
【详解】
解：因为如果一条直线平行于两条垂线中的一条，必定垂直于另一条．
选项A，可能相交．选项C中，可能不共面，比如三棱柱的三条侧棱，选项D，三线共点，可能是棱锥的三条棱，因此错误．选B.
8．下列命题中，正确的共有（
）
①
因为直线是无限的，所以平面内的一条直线就可以延伸到平面外去；
②
两个平面有时只相交于一个公共点；
③
分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上；
④
一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内；
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平面的基本性质及其推论逐一判断即可得解．
【详解】
解：对于①，因为平面也是可以无限延伸的，故错误；
对于②，两个平面只要有一个公共点，就有一条通过该点的公共直线，故错误；
对于③，交点分别含于两条直线，也分别含于两个平面，必然在交线上，故正确；
对于④，若一条直线过三角形的顶点，则这条直线不一定在三角形所在的平面内，故错误．
故选：．
【点睛】
本题考查命题的真假判断，考查平面的基本性质及其推论的应用，属于基础题．
9．下列各图均是正六棱柱，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【详解】
在选项A、B、C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR，即在此三个图形中P、Q、R、S共面，故选D．
点睛：确定平面方法:
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面;经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；经过两条相交直线有且只有一个平面；经过两条平行直线有且只有一个平面．
10．正三棱柱中,所有棱长均为2,点分别为棱的中点,若过点作一截面,则截面的周长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
在正三棱柱中，延长和交于点M，连接，交于点，分别连接，则过点的截面为四边形，利用正三棱柱的结构特征，分别利用勾股定理和余弦定理，即可求解.
【详解】
在正三棱柱中，延长和交于点M，连接，交于点，分别连接，则过点的截面为四边形，如图所示，
由，可得，
由，则，解得，则，
在直角中，，则，
在直角中，，则，
在直角中，，则，
在中，，
由余弦定理可得，
即，
所以截面的周长为，故选B.
【点睛】
本题主要考查了几何体的截面问题，其中解答中根据空间几何体的结构特征，利用平面的性质找出几何体的截面的形状是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.
二、填空题
11．如果三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系可以是_______.（填序号）①三个平面两两平行；②三个平面两两相交，且交于同一条直线；③三个平面两两相交，且有三条交线；④两个平面平行，且都与第三个平面相交
【答案】②④
【解析】
【分析】
根据空间中面面间的位置关系，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
①三个平面两两平行，可把空间分成4个部分；
②三个平面两两相交，且交于同一条直线，可把空间分成6个部分；
③三个平面两两相交，且有三条交线，可把空间分成7个部分或8个部分；
④两个平面平行，且都与第三个平面相交，可把空间分成6个部分.
故答案为②④
【点睛】
本题主要考查平面对空间的分割问题，熟记面面之间位置关系即可，属于常考题型.
12．由正方体各个面的对角线所确定的平面共有________个
【答案】20
【解析】
【分析】
由平面的基本性质可得：两平行线确定一个平面，两相交直线确定一个平面，故分这两类研究即可.
【详解】
解：正方体各个面中，相对两平行平面中有两组平行对角线，可以确定两个平面，这样有6个平面，又因为每个顶点对应一个符合条件的平面，这样又有8个平面，而每个面上的两条相交的对角线确定6个表面，则共有个平面，
故答案为20.
【点睛】
本题考查了平面的基本性质，重点考查了空间想象能力，属基础题.
13．给出下列说法：
①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
④若一个四边形有三条边在同一个平面内，则第四条边也在这个平面内；
⑤点在平面外，点和平面内的任意一条直线都不共面.
其中所有正确说法的序号是______.
【答案】③④
【解析】
【分析】
对于①由线面关系可得线段与平面相交或线段在平面内；
对于②四个点不在同一个平面，即可判定；
对于③由平行四边形的定义可判断命题正确；
对于④，由点与线及线与面的关系可得，第四条边的两个端点也在这个平面内，所以第四条边在这个平面内；
对于⑤中，由直线外一点与直线确定一个平面即可判断.
【详解】
①中线段可以与平面相交；②中的四边形可以是空间四边形；③中平行的对边能确定一个平面，所以是平行四边形；④中由四边形的三条边在同一个平面内，可知第四条边的两个端点也在这个平面内，所以第四条边在这个平面内；⑤中点和平面内的任意一条直线都能确定一个平面.
故答案为：③④
【点睛】
本题考查了空间点与线，点与面、线与面的位置关系，重点考查了平面的基本定理及公理，属基础题.
14．如图，试用适当的符号表示下列点?直线和平面之间的关系:
（1）点与平面:__________；
（2）点与平面:__________；
（3）直线与平面:__________；
（4）直线与平面:__________；
（5）平面与平面:__________；
【答案】
【解析】
【分析】
用几何符号表示点与平面、直线与平面、平面与平面的位置关系即可.
【详解】
（1）点不在平面内，所以；（2）点不在平面内，所以；（3）直线与平面相交于点，所以；（4）直线在平面内，所以；（5）平面与平面相交，且交线为，所以.
【点睛】
本题主要考查点线面的位置关系的几何符号表示;属于基础题.
15．如图，正方体的棱长为，、分别是、的中点，过点、、的截面将正方体分割成两部分，则较小部分几何体的体积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先将截面在正方体各个面上的交线画出来，并将位于截面下方的几何体的体积计算出来，即可得出答案.
【详解】
如下图所示，
延长分别交、的延长线于、，连接交于点，连接交于点，再连接、，则该截面截正方形的截面为五边形.
，则，则，，
为的中点，则，，，同理，
，，，，
在中，，则，
，
，，
所以，正方体位于截面下方的几何体体积为.
因此，较小部分几何体的体积为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查截面截几何体所得体积的计算，作出截面图形是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
三、解答题
16．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系.
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据符号的含义可以得出位置关系，表示点与平面的关系；
（2）根据符号的含义可以得出位置关系，表示线与平面的关系；
（3）根据符号的含义可以得出位置关系，表示点与平面的关系.
【详解】
（1）点在平面内，点不在平面内.
（2）直线在平面内，直线与平面相交于点，且点不在直线上.
（3）直线经过平面外一点和平面内一点.
【点睛】
本题主要考查点线面位置关系，熟悉位置关系的符号表示是求解的关键，侧重考查符号语言和文字语言的相互转化.
17．用符号语言表示下列语句.
（1）三个平面交于一点，且平面与平面交于直线，平面与平面交于直线，平面与平面交于直线；
（2）平面与平面相交于直线，平面与平面相交于直线.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据文字语言的描述，结合相关符号进行表示；
（2）根据文字语言的描述，结合相关符号进行表示.
【详解】
（1）.
（2）平面平面直线，平面平面直线.
【点睛】
本题主要考查点线面位置关系，熟悉位置关系的符号表示是求解的关键，侧重考查文字语言和符号语言的相互转化.
18．给出如下点、线、面的图示.
（1）如何用文字语言表述以上点、线、面的位置关系？
（2）如何用数学符号语言表述上述关系？
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）结合图形及相对位置可以进行描述；
（2）规范使用符号进行表示，点和平面的关系使用；直线和平面的关系使用.
【详解】
文字语言：（1）点在平面外，点在平面内，直线经过点，直线与平面相交.
（2）平面和相交于直线，直线经过内不在直线上的点且经过内不在直线上的点.
数学符号语言：（1），.
（2），，.
【点睛】
本题主要考查点线面位置关系，熟悉位置关系的符号表示是求解的关键，侧重考查符号语言和图形语言的相互转化.
19．如图，在边长为1的正方体中，分别是的中点．
（1）作出过点与正方体的截面；（不必说明画法和理由）
（2）在线段上是否存在点，使得与平面的所成角为45°．若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）图见解析；（2）存在这样的点，且
【解析】
【分析】
（1）由平面的基本性质作截面图形即可；
（2）设出点的坐标，利用向量法以及题设条件，即可得出结论.
【详解】
（1）截面如图所示．
（2）如图，建立以点为坐标原点的空间直角坐标系
则，
所以，设平面的法向量
则，即，取．
设，则，由条件知|
即
化简得，解得，因为，所以，
故这样的点存在，并且．
【点睛】
本题主要考查了由平面的基本性质作截面图形以及利用向量法由线面角求其它，属于中档题.
20．在正方体中，、分别是、的中点，
（1）证明点、、、共面
（2）证明、、三线交于一点
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）通过证明，证得四点共面.
（2）根据公理，证得、、三线交于一点.
【详解】
（1）连接，根据正方体的几何性质可知.由于分别是的中点，所以，所以，所以四点共面.
（2）由于，所以与延长后必相交，设交点为，由于平面，平面，根据公理3可知，在平面与平面的交线上，所以、、三线交于一点
【点睛】
本小题主要考查四点共面的证明，考查三线共点的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.
试卷第1页，总3页
