人教版A版高中数学必修二2.1.4平面与平面之间的位置关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，，则下列命题中为真命题的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
3．已知空间中的两条直线，，三个平面，，，则下列说法中：
①平面，，最多可将平面分为个部分；
②已知，．若，则；
③已知，，若，则；
④已知，，若，，则．
一定正确的为（
）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
4．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（
）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
5．已知直线、，平面、，给出下列命题：
①若，，且，则
②若，，且，则
③若，，且，则
④若，，且，则
其中正确的命题是（
）
A．②③
B．①③
C．①④
D．③④
6．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
7．设表示直线，，，表示不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若且，则
B．若且，则
C．若且，则
D．若且，则
8．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，，则
②若，，，则
③若，，则
④若，，则
其中正确命题的序号是（
）
A．①和②
B．②和③
C．③和④
D．①和④
9．在长方体中，，，，是的中点，是棱上一点，，动点在底面内，且三棱锥与三棱锥的体积相等，则直线与所成角的正切值的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知正三棱柱的底面边长为2，高为1，过顶点A作一平面与侧面交于EF，且EF∥BC，若平面与底面ABC所成二面角的大小为四边形BCEF面积为则函数的图像大致是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．关于不同的直线与不同的平面，有下列六个命题：
①若则；
②若则；
③若且则；
④若且则；
⑤若且则；
⑥若且则；
其中正确命题的序号是__________；
12．设为空间两条不同的直线，为空间两个不同的平面，给出下列命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则.
其中的正确命题序号是______.
13．用，，表示空间中三条不同的直线，，，表示平面，给出下列命题:
①若，，则;②若，，则;
③若，，则;④若，，则.
其中真命题的序号是__________.
14．下列命题中正确的是__________．（填上所有正确命题的序号）
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，，，则．
15．已知高为H的正三棱锥的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，若二面角的正切值为4，则______.
三、解答题
16．判断下列命题的真假.
（1）；（2）；
（3）；（4）.
17．如图，在长方体中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中：
（1）与直线不平行也不相交的直线有哪几条？
（2）与直线平行的平面有哪几个？
（3）与直线垂直的平面有哪几个？
（4）与平面平行的平面有哪几个？
（5）与平面垂直的平面有哪几个？
18．判断下列命题的真假.
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）.
19．判断下列命题的真假.
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则.
20．如图所示，四棱锥的底面是边长为a的正方形，平面ABCD．
（1）若平面PAD与平面ABCD所成的二面角为，求这个四棱锥的体积．
（2）求证：无论四棱锥的高怎样变化，平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于
试卷第1页，总3页人教版A版高中数学必修二2.1.4平面与平面之间的位置关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，，则下列命题中为真命题的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【解析】
【分析】
利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择.
【详解】
选项A,C直线可能在平面内，故不正确；选项B,
若，，则，或在平面内，而，故与可能平行，相交或异面，故不正确；对于选项D：由
，
，结合面面平行的性质和线面垂直的判定定理，可得出直线，故为正确.
故选：D
【点睛】
本题考查了线面平行、面面平行、线面垂直的性质定理和判定定理，注意定理成立的条件，属于基础题.
2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【解析】
【分析】
根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合平行、垂直的判定定理即可找出正确选项．
【详解】
选项A错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面；
选项B错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；
选项C错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交；
选项D正确，由，便得，又，，即.
故选：D.
【点睛】
本题考查空间直线位置关系的判定，这种位置关系的判断题，可以举反例或者用定理简单证明，
属于基础题.
3．已知空间中的两条直线，，三个平面，，，则下列说法中：
①平面，，最多可将平面分为个部分；
②已知，．若，则；
③已知，，若，则；
④已知，，若，，则．
一定正确的为（
）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
【答案】D
【解析】
【分析】
根据线面关系，逐项判断，即可求得答案.
【详解】
对于①，平面，，最多可将平面分为个部分，故①错误；
对于②，，．
又
，故②正确；
对于③，当，，若
可能与平行，故③错误；
对于④，，
当，，可得，故④正确；
综上所述，正确的是②④
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了判断线面位置关系，解题关键是掌握线面关系基础知识，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.
4．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（
）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】D
【解析】
试题分析：，,故选D.
考点：点线面的位置关系.
5．已知直线、，平面、，给出下列命题：
①若，，且，则
②若，，且，则
③若，，且，则
④若，，且，则
其中正确的命题是（
）
A．②③
B．①③
C．①④
D．③④
【答案】C
【解析】
分析：①可由面面垂直的判定定理进行判断；②可由面面平行的条件进行判断；③可由面面垂直的条件进行判断；④可由面面垂直的判定定理进行判断.
解析：
①若，，且，则，正确.
，且，可得出或，又，故可得到.
②若，，且，则，不正确.
两个面平行与同一条线平行，两平面有可能相交.
③若，，且，则，不正确.
且，可得出，又，故不能得出.
④若，，且，则，正确.
且，可得出，又，故得出.
故选：C.
点睛：解决空间位置关系问题的方法
(1)解决空间中点、线、面位置关系的问题，首先要明确空间位置关系的定义，然后通过转化的方法，把空间中位置关系的问题转化为平面问题解决．
(2)解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用正(长)方体模型来解决问题．
6．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【解析】
【分析】
分析条件的特殊情况，结合定理举例推翻错误选项即可.
【详解】
当直线是相交且垂直，确定的平面与平行时，，故A错误；
当相交，直线与交线平行时，，故B错误；
当直线在面内，且，直线垂直的交线时，，故C错误；
垂直与同一直线的两个平面平行，故D正确.
故选D.
【点睛】
本题考查空间线面的位置关系，结合定理与举例判断.
7．设表示直线，，，表示不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若且，则
B．若且，则
C．若且，则
D．若且，则
【答案】B
【解析】
【分析】
A中，与可能相交、平行或；B中，由面面平行的性质可得；C中，与相交或平行；D中，与相交或平行，即可求解．
【详解】
由表示直线，，，表示不同的平面，
在A中，若且，则，则与可能相交、平行或；
在B中，若且，则，由面面平行的性质可得；
在C中，若且，则，则与相交或平行；
在D中，若且，则，则与相交或平行，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
8．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，，则
②若，，，则
③若，，则
④若，，则
其中正确命题的序号是（
）
A．①和②
B．②和③
C．③和④
D．①和④
【答案】A
【解析】
【分析】
根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得①是真命题；根据面面平行的性质结合线面垂直的性质，可得②是真命题；在正方体中举出反例，可得平行于同一个平面的两条直线不一定平行，垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行，可得③④不正确．由此可得本题的答案．
【详解】
解：对于①，因为，所以经过作平面，使，可得，
又因为，，所以，结合得．由此可得①是真命题；
对于②，因为且，所以，结合，可得，故②是真命题；
对于③，设直线、是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，
而平面是正方体下底面所在的平面，
则有且成立，但不能推出，故③不正确；
对于④，设平面、、是位于正方体经过同一个顶点的三个面，
则有且，但是，推不出，故④不正确．
综上所述，其中正确命题的序号是①和②
故选：
【点睛】
本题给出关于空间线面位置关系的命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了线面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．
9．在长方体中，，，，是的中点，是棱上一点，，动点在底面内，且三棱锥与三棱锥的体积相等，则直线与所成角的正切值的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
过构造与平面平行的平面，得出的轨迹，从而可得出当所求角最小时对应的的位置．
【详解】
解析：因为，设，的中点为，
则，，因为平面，平面，
所以平面，平面，平面，
所以平面，又因为，
所以平面平面，
所以平面，因为底面，
因为平面平面，
所以在底面的轨迹为线段，
在平面内，过点作垂直于，垂足为，连接，
则为直线与所成的最小角，所以.
故选：C
【点睛】
本题考查了异面直线所成角的计算，考查面面平行的判定，考查棱锥的体积公式，属于中档题．
10．已知正三棱柱的底面边长为2，高为1，过顶点A作一平面与侧面交于EF，且EF∥BC，若平面与底面ABC所成二面角的大小为四边形BCEF面积为则函数的图像大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先作出平面与底面所成的二面角的平面角为，如图为,在直角三角形中用,及表示出,再利用四边形面积为求出,根据解析式，作出简图，即可得到答案.
【详解】
作图如下：
过A作,
分别是中点,
则,
所以,
在等腰三角形中,
，
,
,
所以是平面与底面所成角的平面角.
,
,
,
所以四边形面积为：
根据正切函数图象可知C符合.
故选:C
【点睛】
本题主要考查空间中两面所成二面角的平面角的求解及性质;利用线线平行、线线垂直证明是平面与底面所成的二面角的平面角是求解本题的关键;本题属于难度较大型试题.
二、填空题
11．关于不同的直线与不同的平面，有下列六个命题：
①若则；
②若则；
③若且则；
④若且则；
⑤若且则；
⑥若且则；
其中正确命题的序号是__________；
【答案】①③⑤
【解析】
【分析】
①：根据线面平行的性质定理、面面垂直的判定定理，结合平行线的性质进行判断即可；
②：根据线面平行的判定定理进行判断即可；
③：根据线面平行的性质定理、面面平行的性质，以及平行线的性质进行判断即可；
④：在正方体中可以找到特例进行判断即可；
⑤：根据平面法向量的性质和空间向量夹角公式进行判断即可；
⑥：根据面面平行的性质，结合直线与直线的位置关系进行判断即可.
【详解】
①：因为，所以存在过直线的一个平面与平面交于直线，显然有，而，所以，而，因此，故本命题是真命题；
②：只有当，才能推出，故本命题是假命题；
③：因为，所以存在过直线的一个平面与平面交于直线，显然有，又，所以，因此，所以，故本命题是真命题；
④：在如图的正方体中：
平面记为平面,平面记为平面，直线记为直线，直线记为直线，显然符合，但是，（当然也可以是异面直线），故本命题是假命题，
⑤：因为，所以平面的法向量分别为：，因为所以为，故本命题是真命题；
⑥：因为且所以直线没有交点，故两直线是平行线或异面直线，故本命题是假命题.
故答案为：①③⑤
【点睛】
本题考查了面面平行的性质、面面垂直的性质，考查了线面平行的判定定理，属于基础题.
12．设为空间两条不同的直线，为空间两个不同的平面，给出下列命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则.
其中的正确命题序号是______.
【答案】②④
【解析】
【分析】
利用空间线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理分别分析四个命题，得到正确答案．
【详解】
对于①，若m∥α，m∥β，则α与β可能相交，故①错误；
对于②，若m⊥α，m∥β，根据线面垂直和线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理得到α⊥β，故②正确；
对于③，若m∥α，m∥n则n可能在α内，故③错误；
对于④，若m⊥α，α∥β，则根据线面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理得到m⊥β；故④正确；
故答案为：②④．
【点睛】
本题考查了空间线面平行、线面垂直面面垂直的性质定理和判定定理的运用；熟练掌握定理是关键．
13．用，，表示空间中三条不同的直线，，，表示平面，给出下列命题:
①若，，则;②若，，则;
③若，，则;④若，，则.
其中真命题的序号是__________.
【答案】②④
【解析】
【分析】
判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的性质互相转换,进行证明,也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析.
【详解】
,
与平行,相交或异面,故①不正确;
,，
由平行公理可知故②正确;
.
与平行,相交或异面故③不正确;
,,
由面面平行的性质可知,故④正确.
故答案为:②④.
【点睛】
判断空间线面的关系,常常把他们放在空间几何体中来直观的分析,在判断线与面的平行与垂直关系时,正方体是最常用的空间模型,大家一定要熟练掌握这种方法,难度较易.
14．下列命题中正确的是__________．（填上所有正确命题的序号）
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，，，则．
【答案】③
【解析】
对于①，若，，则与可能异面、平行，故①错误；对于②，若，，则与可能平行、相交，故②错误；对于③，若，，则根据线面垂直的性质，可知，故③正确；对于④，根据面面平行的判定定理可知，还需添加相交，故④错误，故答案为③.
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面平行的性质及线面垂直的性质，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.
15．已知高为H的正三棱锥的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，若二面角的正切值为4，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
取线段的中点，点在平面的射影点，利用二面角的定义得出为二面角的平面角，于此得出，并在中，由勾股定理，经过计算可得出与的比值。
【详解】
取线段的中点D，设P在底面的射影为M，则，连接，（图略）.
设，易证，，则为二面角的平面角，
从而，则，.
在中，，即，解得，故.
故答案为：。
【点睛】
本题考查二面角的定义，考查多面体的外接球，在处理多面体的外接球时，要确定球心的位置，同时在求解时可引入一些参数去表示相关边长，可简化计算，考查逻辑推理能力，属于中等题。
三、解答题
16．判断下列命题的真假.
（1）；（2）；
（3）；（4）.
【答案】（1）假命题.（2）假命题.（3）真命题.（4）假命题.
【解析】
【分析】
（1）当时,满足,但此时不垂直,即可求得答案;
（2）当时,可满足,但此时不平行于,即可求得答案;
（3）根据垂直同一条直线的两个平面平行,即可求得答案;
（4）根据两条平行线中的一条垂直一个平面,另一条也垂直这个平面,即可得到答案.
【详解】
（1）
时,
满足
但此时不垂直
时假命题.
（2）当时,可满足
但此时不平行于
是假命题.
（2）
又
根据垂直同一条直线的两个平面平行
故是真命题.
（4）
根据两条平行线中的一条垂直一个平面,另一条也垂直这个平面
故
故是真命题.
【点睛】
本题考查了判断线面垂直和线面平行,掌握线面关系的基本知识是解题关键,考查了分析能力和推理能力,属于基础题.
17．如图，在长方体中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中：
（1）与直线不平行也不相交的直线有哪几条？
（2）与直线平行的平面有哪几个？
（3）与直线垂直的平面有哪几个？
（4）与平面平行的平面有哪几个？
（5）与平面垂直的平面有哪几个？
【答案】（1）直线、直线、直线AB、直线DC（2）平面、平面AC（3）平面、平面（4）平面（5）平面、平面、平面、平面AC
【解析】
【分析】
根据长方体中棱与棱，棱与面，面与面的位置关系可判断得出答案.
【详解】
解：（1）与直线不平行也不相交的直线：直线、直线、直线AB、直线DC.
（2）与直线平行的平面：平面、平面AC.
（3）与直线垂直的平面：平面、平面.
（4）与平面平行的平面：平面.
（5）与平面垂直的平面：平面、平面、平面、平面AC.
【点睛】
本题考查长方体中平行和垂直关系，属于基础题.
18．判断下列命题的真假.
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）.
【答案】（1）假命题；（2）真命题；（3）假命题；（4）假命题；（5）假命题.
【解析】
【分析】
根据线面及面面的位置关系逐个判断即可.
【详解】
（1），则或异面，故（1）是假命题；
（2），（2）是真命题；
（3），则或或异面或相交，（3）是假命题；
（4）或，（4）是假命题；
（5）如图所示：.则与不垂直，（5）是假命题；
【点睛】
本题考查了直线和直线，直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.
19．判断下列命题的真假.
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则.
【答案】（1）真命题；（2）真命题；（3）假命题；（4）假命题.
【解析】
【分析】
（1）根据题意得到，（1）是真命题；
（2）根据题意得到，则，（2）是真命题；
（3）当，则或异面或相交，得到答案；
（4）根据题意，得到或相交，得到答案.
【详解】
（1）若，则，正确，（1）是真命题；
（2）若，则，（2）是真命题；
（3）若，则或异面或相交，（3）是假命题；
（4）若，则或相交，（4）是假命题；
【点睛】
本题考查了直线和平面，平面和平面相关命题的判断，意在考查学生的推断能力.
20．如图所示，四棱锥的底面是边长为a的正方形，平面ABCD．
（1）若平面PAD与平面ABCD所成的二面角为，求这个四棱锥的体积．
（2）求证：无论四棱锥的高怎样变化，平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】
(1)
正方形是四棱锥的底面，是四棱锥的高，再利用四棱锥的体积公式计算即可；
（2）易得是平面与平面所成的二面角的平面角,
在中，证明即可得解.
【详解】
解：（1）正方形是四棱锥的底面，其面积为，从而只要算出四棱锥的高即可．
平面，．又，，
平面，．
是平面与平面所成的二面角的平面角，
而是四棱锥的高，，．
（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥的侧面、侧面恒为全等三角形，作，
垂足为，连接，则．，，
故是平面与平面所成的二面角的平面角．
设与相交于点，连接，则，．
在中，，
故平面与平面所成的二面角恒大于．
【点睛】
本题考查了四棱锥的体积公式及二面角的平面角的求法，属综合性较强的题型.
试卷第1页，总3页
