人教版A版高中数学必修二2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图,长方体中,,点分别是的中点,则异面直线与所成角的余弦值是
A．
B．
C．
D．
2．给出以下四个命题：
①依次首尾相接的四条线段必共面；
②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；
③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；
④垂直于同一直线的两条直线必平行.
其中正确命题的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
3．在四棱锥中，所有侧棱都为，底面是边长为的正方形，是在平面内的射影，是的中点，则异面直线与所成角为（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
4．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4，
EF⊥BA，则EF与CD所成的角为( )
A．60°
B．45°
C．30°
D．90°
5．在直三棱柱中，己知，，，则异面直线与所成的角为（
）
A．
B．
C．
D．
6．在正四棱柱中，，，点，分别为棱，上两点，且，，则（
）
A．，且直线，异面
B．，且直线，相交
C．，且直线，异面
D．，且直线，相交
7．四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的大小为（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知矩形．将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中（
）
A．存在某个位置，使得直线与直线垂直
B．存在某个位置，使得直线与直线垂直
C．存在某个位置，使得直线与直线垂直
D．对任意位置，三对直线“与”，“与”，“与”均不垂直
10．如图两正方形，所在的平面垂直，将沿着直线旋转一周，则直线与所成角的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．已知正方体中，E为的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为
.
12．直线平面，直线平面，则的位置关系是_________.
13．如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是______.
14．如图，在底面为正方形的四棱锥中，，点为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________
15．已知正三棱柱的侧面积为12，当其外接球的表面积取最小值时，异面直线与所成角的余弦值等于__________.
三、解答题
16．如图,在四棱锥中,底面是矩形,
底面,是的中点.已知,,.
求:（1）.三角形的面积;
（2）.异面直线与所成的角的大小.
17．如图是一个高为4长方体截去一个角所得的多面体的直观图及它的正（主）视图和侧（左）视图（单位：）
（1）求异面直线与所成角的余弦；
（2）将求异面直线与所成的角转化为求一个三角形的内角即可，要求只写出找角过程，不需计算结果；
（3）求异面直线与所成的角；要求同（2）.
18．已知ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体．
（1）求直线DA1与BC所成角；
（2）求直线D1A与BA1所成角；
（3）求直线BD1和AC所成角．
19．已知平面，，，分别为，上的点，且，.
（1）求证：；
（2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.
20．如图，已知点E是圆心为O1半径为2的半圆弧上从点B数起的第一个三等分点，点F是圆心为O2半径为1的半圆弧的中点，AB、CD分别是两个半圆的直径，O1O2＝2，直线O1O2与两个半圆所在的平面均垂直，直线AB、DC共面.
（1）求三棱锥D﹣ABE的体积；
（2）求直线DE与平面ABE所成的角的正切值；
（3）求直线AF与BE所成角的余弦值.
试卷第1页，总3页人教版A版高中数学必修二2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图,长方体中,,点分别是的中点,则异面直线与所成角的余弦值是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，可得和的坐标，进而可得，从而可得结论.
【详解】
以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则可得，
，
设异面直线与所成的角为,
则，故选D.
【点睛】
本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.
2．给出以下四个命题：
①依次首尾相接的四条线段必共面；
②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；
③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；
④垂直于同一直线的两条直线必平行.
其中正确命题的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
用空间四边形对①进行判断；根据公理2对②进行判断；根据空间角的定义对③进行判断；根据空间直线位置关系对④进行判断.
【详解】
①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误.
②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确.
③中，由空间角的定义知道，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么
这两个角相等或互补，故③错误.
④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错误.
故选：B
【点睛】
本小题考查空间点，线，面的位置关系及其相关公理，定理及其推论的理解和认识；考查空间想象能力，推理论证能力，考查数形结合思想，化归与转化思想.
3．在四棱锥中，所有侧棱都为，底面是边长为的正方形，是在平面内的射影，是的中点，则异面直线与所成角为（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【答案】C
【解析】
【分析】
先取为的中点，得到，则是异面直线与所成的角，根据题意，求出，，解三角形，即可得出结果.
【详解】
由题可知是正方形的中心，
取为的中点，所以，
则是异面直线与所成的角.
因为平面，
所以平面，
因为在四棱锥中，所有侧棱都为，底面是边长为的正方形，
所以，所以，因此，
又在中，，
所以，
即，
所以，
则异面直线与所成的角为.
故选C
【点睛】
本题主要考查异面直线所成的角，熟记几何法作出异面直线所成的角，再求解即可，属于常考题型.
4．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4，
EF⊥BA，则EF与CD所成的角为( )
A．60°
B．45°
C．30°
D．90°
【答案】C
【解析】
【分析】
取BC中点为G，连接FG，EG．推导出∠EFG是EF与CD所成的角，由此能求出结果．
【详解】
取BC中点为G，连接FG，EG．
所以有AB∥EG，
因为EF⊥BA，所以EF⊥EG，
因为CD＝2AB＝4，所以可知EG＝1，FG＝2，
所以△EFG是一个斜边为2，一条直边为1的直角三角形．
EF与CD所成的角也是EF与FG所成的角．
也是斜边为2与直角边为1的夹角，
即EF与CD所成的角为30°．
故选C．
【点睛】
本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
5．在直三棱柱中，己知，，，则异面直线与所成的角为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由条件可看出，则为异面直线与所成的角，可证得三角形中，，解得从而得出异面直线与所成的角．
【详解】
连接，，如图：
又，则为异面直线与所成的角.
因为且三棱柱为直三棱柱，∴∴面，
∴，
又，，∴，
∴，解得.
故选C
【点睛】
考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
6．在正四棱柱中，，，点，分别为棱，上两点，且，，则（
）
A．，且直线，异面
B．，且直线，相交
C．，且直线，异面
D．，且直线，相交
【答案】A
【解析】
【分析】
作图，通过计算可知D1E≠AF，取点M为BC的中点，则AMFD1共面，显然点E不在面AMFD1内，由此直线D1E，AF异面．
【详解】
∵，
如图，取点M为BC的中点，则AD1∥MF，
故AMFD1共面，点E在面AMFD1面外，
故直线D1E，AF异面．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查异面直线的判定及空间中线段的距离求解，属于基础题．
7．四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
如图所示，延长AD到H，使，过P作，F为PG的中点，连接BF，FH，
BH，
则为异面直线与所成的角或者补角，
在中，由余弦定理得，
故选C．
点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
8．已知正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的大小为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，可将异面直线转化共面的相交直线，再进行求解
【详解】
如图：
作的中点，连接，由题设可知，则异面直线与所成角为或其补角，设正方体的边长为4，由几何关系可得，
，，，得，即
故选D
【点睛】
本题考查异面直线的求法，属于基础题
9．已知矩形．将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中（
）
A．存在某个位置，使得直线与直线垂直
B．存在某个位置，使得直线与直线垂直
C．存在某个位置，使得直线与直线垂直
D．对任意位置，三对直线“与”，“与”，“与”均不垂直
【答案】B
【解析】
最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项B是正确的
10．如图两正方形，所在的平面垂直，将沿着直线旋转一周，则直线与所成角的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
可证得，故，，当沿着直线旋转一周，，且，结合线线角的取值范围即得解.
【详解】
如下图所示，
连接，因为正方形和，则，，又因为面面，面面，
则面，
因此.
因此，，，
则，
因此
因为，
则当沿着直线旋转一周，
，
当为锐角或直角时，直线和所成角的等于
当为钝角时，直线和所成的角等于的补角
因此直线和所成的角的取值范围是
故选：C.
【点睛】
本题考查了空间中直线与直线的夹角，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.
二、填空题
11．已知正方体中，E为的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为
.
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
连接DE，设AD=2，易知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，
在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3，∴cos∠DAE==．
12．直线平面，直线平面，则的位置关系是_________.
【答案】平行、相交、异面
【解析】
【分析】
画出图像，判断的位置关系.
【详解】
可能平行，如下图所示，
可能相交，如下图所示，
可能异面，如下图所示，
故答案为：平行、相交、异面
【点睛】
本小题主要考查线线关系的判断，属于基础题.
13．如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是______.
【答案】
【解析】
【分析】
将所求两条异面直线平移到一起，解三角形求得异面直线所成的角.
【详解】
连接，根据三角形中位线得到，所以是异面直线与所成角.在三角形中，,所以三角形是等边三角形，故.
故填：.
【点睛】
本小题主要考查异面直线所成的角的求法，考查空间想象能力，属于基础题.
14．如图，在底面为正方形的四棱锥中，，点为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________
【答案】
【解析】
【分析】
做出平行四边形，将要求的角转化为角GFD或其补角为所求角，在三角形FDG中应用余弦定理得到夹角的余弦值.
【详解】
取PD的中点记为F点，BC的中点记为
点，连接FG，GD，因为，且，，故得到四边形EFGB为平行四边形，故角GFD或其补角为所求角，根据题干得到，三角形PAB为等边三角形，BF为其高线，长度为，FG=，DG=，
FD=1，根据余弦定理得到，因为异面直线夹角为直角或锐角，故取正值，为：.
故答案为.
【点睛】
这个题目考查的是异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的时候.
15．已知正三棱柱的侧面积为12，当其外接球的表面积取最小值时，异面直线与所成角的余弦值等于__________.
【答案】
【解析】
【分析】
设正三棱柱的底面边长为，高为，球的半径为，先得出，然后，即时其外接球的表面积取最小值。然后由余弦定理即可求出
【详解】
设正三棱柱的底面边长为，高为，球的半径为，由题意知，即，
底面外接圆半径，
由球的截面圆性质知，
当且仅当时取等号，将三棱柱补成一四棱柱，如图，知，
即为异面直线与所成角或补角，，
，所以.
故答案为：
【点睛】
异面直线所成的角一般是通过平移转化成相交直线所成的角.
三、解答题
16．如图,在四棱锥中,底面是矩形,
底面,是的中点.已知,,.
求:（1）.三角形的面积;
（2）.异面直线与所成的角的大小.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据、可证得平面，根据线面垂直性质可知，则，求得代入即可得到结果；（2）取中点，连接，可知即为所求角；求解出三边长，可知为等腰直角三角形，从而得到所求角.
【详解】
（1）底面，底面
四边形为矩形
又平面，
平面
平面
（2）取中点，连接，则
即为异面直线与所成角
，，
，即为等腰直角三角形且
异面直线与所成角的大小是
【点睛】
本题考查立体几何中垂直关系的应用、异面直线所成角的求解问题，涉及到线面垂直的判定与性质的应用；求解异面直线所成角的关键是能够根据线线平行关系将异面直线成角转化为相交直线所成角的求解问题.
17．如图是一个高为4长方体截去一个角所得的多面体的直观图及它的正（主）视图和侧（左）视图（单位：）
（1）求异面直线与所成角的余弦；
（2）将求异面直线与所成的角转化为求一个三角形的内角即可，要求只写出找角过程，不需计算结果；
（3）求异面直线与所成的角；要求同（2）.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意得：长方体中，，，分别是边上的点，且，又由，找到角为所求角，运用余弦定理求解；
（2）连,为异面直线与所成的角（或补角）；
（3）连交于点，取中点，连，为异面直线与所成的角（或补角）.
【详解】
（1）由题意得：长方体中，，，分别是边上的点，且，
连，则，
为所求直线所成的角（或补角），
在中，，
异面直线与所成角的余弦值为
（2）连，
由题知：分别是边上的中点，
，
为异面直线与所成的角（或补角）.
（3）连交于点，取中点，连，
则有，为异面直线与所成的角（或补角）.
【点睛】
本题主要考查了三视图，异面直线所成角的计算，余弦定理的运用，同时考查了学生直观想象和逻辑推理能力，属于中档题.求异面直线所成角的步骤：
（1）一作(找)：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；或用中位线平移，找出异面直线所成的角；
（2）二证：证明作（找）出的角是异面直线所成的角；
（3）三求：解三角形，求出异面直线所成的角.
18．已知ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体．
（1）求直线DA1与BC所成角；
（2）求直线D1A与BA1所成角；
（3）求直线BD1和AC所成角．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】
（1）由得是直线与所成角，求出即可得解；
（2）由得是直线与所成角,求出即可得解；
（3）证明平面后即可得，即可得解.
【详解】
（1）正方体是棱长为的正方体，
∵，∴是直线与所成角，
∵，，∴，
∴直线与所成角为．
（2）∵，∴是直线与所成角，
∵，∴
，
∴直线与所成角为．
（3）∵四边形是正方形，∴，
∵正方体中，平面，平面，
∴，
∵，∴平面，
∵平面，∴，
∴直线和所成角为．
【点睛】
本题考查了异面直线夹角的求法及线面垂直的判定和性质，属于基础题.
19．已知平面，，，分别为，上的点，且，.
（1）求证：；
（2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先证明BC⊥平面PAB，可得BC⊥AD，证明AD⊥平面PBC，得PC⊥AD，再证明PC⊥平面ADE，即可证明PC⊥DE；
（2）过点B作BE∥AP，则BZ⊥平面ABC，分别以BA，BC，BZ所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，根据PC⊥平面ADE，可得是平面ADE的一个法向量，从而向量与所成的角的余弦值的绝对值为，可求PA的值，利用题目条件求出平面的一个法向量，利用夹角公式可得二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：因为平面，∴，
又，，
∴平面，∴.
又，，
∴平面，∴.
又，，
∴平面，∴.
（2）过点作，则平面，如图所示
分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.
设，则，，，
因为平面，
∴是平面的一个法向量，
∴向量与所成的角的余弦值的绝对值为，
又，
，
∴，∴.
在中，，又，
∴为中点，∴，
∴，，
设平面的一个法向量为，
则，∴，∴，
又是平面的法向量，
∴，，
二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查空间垂直关系的证明与二面角所成平面角的计算，考查空间推理能力与空间建模思想，对学生计算求解能力要求较高，属于中等题.
20．如图，已知点E是圆心为O1半径为2的半圆弧上从点B数起的第一个三等分点，点F是圆心为O2半径为1的半圆弧的中点，AB、CD分别是两个半圆的直径，O1O2＝2，直线O1O2与两个半圆所在的平面均垂直，直线AB、DC共面.
（1）求三棱锥D﹣ABE的体积；
（2）求直线DE与平面ABE所成的角的正切值；
（3）求直线AF与BE所成角的余弦值.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
【分析】
由题意知,即为所求三棱锥的高,代入三棱锥的体积公式求解即可;
以O1为坐标原点,，，分别为x、y、z轴的正向，建立空间直角坐标系如图所示,利用空间向量法分别求出面ABE的法向量和向量的坐标,向量与向量的夹角余弦即为直线DE与平面ABE所成的角的正弦值,进而求出正切值即可;
以O1为坐标原点,，，分别为x、y、z轴的正向，建立空间直角坐标系如图所示,利用空间向量法,向量所成角的余弦值的绝对值即为所求.
【详解】
（1）∵，O1E＝2，
∴，
∵直线O1O2与两个半圆所在的平面均垂直，直线AB、DC共面，
∴三棱锥D﹣ABE的高等于O1O2＝2，
所以.
（2）以O1为坐标原点,，，分别为x、y、z轴的正向
建立空间直角坐标系如图所示:
则，D（-1,0，2），E，
,
由题意可知,平面ABE的一个法向量为（0，0，1），
设直线DE与平面ABE所成的角为θ，
则sinθ，
因为.∴，
所以即为所求.
（3）以O1为坐标原点,，，分别为x、y、z轴的正向,
建立空间直角坐标系如图所示:
则A（﹣2，0，0），B（2，0，0），E，F（0，1，2），
所以（2，1，2），，
设直线AF与BE所成角为θ，
则cosθ.
∴直线AF与BE所成角的余弦值为.
【点睛】
本题考查利用空间向量法求线面角和异面直线所成的角及三棱锥的体积公式;考查学生的运算能力和转化与化归能力;属于综合型试题、常考题型.
试卷第1页，总3页
