人教版A版高中数学必修二1.2.1中心投影与平行投影
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在正方体中，P为的中点，则在该正方体各个面上的正投影（实线部分）可能是（
）
A．①④
B．①②
C．②③
D．②④
2．如图，点O为正方体ABCD-A'B'C'D'的中心，点E为面B'BCC'的中心，点F为B'C'的中点，则空间四边形D'OEF在该正方体的面上的正投影不可能是（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图，E，F分别为正方体的面、面的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可能是（
）
①
②
③
④
A．①②③
B．②③
C．①②④
D．②①
4．如图，△ABC为正三角形，，底面ABC，若，，则多面体在平面上的投影的面积为
A．
B．
C．
D．
5．将右图所示的一个直角三角形绕斜边旋转一周，所得到的几何体的正视图是下面四个图形中的（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图，P为正方体中与的交点，则在该正方体各个面上的射影可能是（）
A．①②③④
B．①③
C．①④
D．②④
7．在棱长为1的正方体中，E，F分别为线段CD和上的动点，且满足，则四边形所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（ ）
A．有最小值
B．有最大值
C．为定值3
D．为定值2
8．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中中，M、N分别是BB1、BC的中点．则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正射影为(
)
A．
B．
C．
D．
9．四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
10．某多面体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的体积之比为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．已知长方体的棱长为2，点E是线段的中点，则在平面上的正投影的面积为______.
12．如图，已知正方体的棱长为，，分别为，的中点，则线段的长为______，在底面上投影的面积是______.
13．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面当中最大面的面积是______.
14．正四面体的棱长为2，棱平面，则正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的最小值是______，最大值是______．
15．已知在直三棱柱中，，，若棱在正视图的投影面内，且与投影面所成角为.设正视图的面积为，侧视图的面积为，当变化时，的最大值是__________．
三、解答题
16．如图所示，图（2）是图（1）中实物的主视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出它的左视图．
17．如图所示，四棱锥的所有棱长都为，试画出其三视图．
18．如图，在正方体中，E，F分别是AB，BC的中点，指出在该正方体各表面上的投影．
19．在有阳光时，一根长为3米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为米，同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上，如图所示，求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示)．
20．用数个小正方体组成一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中的字母表示在该位置的小立方体的个数.
（1）你能确定哪些字母表示的数？
（2）该几何体可能有多少种不同的形状？人教版A版高中数学必修二1.2.1中心投影与平行投影
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在正方体中，P为的中点，则在该正方体各个面上的正投影（实线部分）可能是（
）
A．①④
B．①②
C．②③
D．②④
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意需要从三个角度对正方体进行平行投影，首先确定关键点、在各个面上的投影，再把它们连接起来，即在该正方体各个面上的射影
【详解】
从上下方向上看，的投影为①图所示的情况.
从左右方向上看，的投影为④图所示的情况.
从前后方向上看，的投影为④图所示的情况.
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了平行投影和空间想象能力，关键是确定投影图得关键点，如顶点等，再连接即可得在平面上的投影图，主要依据平行投影的含义和空间想象来完成．属于基础题
2．如图，点O为正方体ABCD-A'B'C'D'的中心，点E为面B'BCC'的中心，点F为B'C'的中点，则空间四边形D'OEF在该正方体的面上的正投影不可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
由题意知光线从上向下照射，得到C，
光线从前向后照射，得到A
光线从左向右照射得到B
故选D
点睛：本题考查平行投影及平行投影的作图法，考查正方体的性质，本题是一个基础题，是为后面学习三视图做准备，告诉我们从三个不同的角度观察图形结果不同．
3．如图，E，F分别为正方体的面、面的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可能是（
）
①
②
③
④
A．①②③
B．②③
C．①②④
D．②①
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正方体的对称性,可知四边形在该正方体的面上的射影有三种:分别为在面ABCD、面、面上的射影,即可得解.
【详解】
因为正方体是对称的几何体,所以四边形在该正方体的面上的射影可分为：自上而下、自左至右、由前及后三个方向的射影,也就是在面ABCD、面、面上的射影．
四边形在面ABCD和面上的射影相同,如图②所示；
四边形在该正方体的对角面内,它在面上的射影是一条线段,如图③所示．
所以②③正确．
故选:B
【点睛】
本题考查了正方体的结构特点,投影的定义及投影形状的判定,属于基础题.
4．如图，△ABC为正三角形，，底面ABC，若，，则多面体在平面上的投影的面积为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
根据题意，多面体在平面上的投影是几何体的正视图，如图所示；
所以该投影面的面积为，故选A.
5．将右图所示的一个直角三角形绕斜边旋转一周，所得到的几何体的正视图是下面四个图形中的（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据旋转特点可得几何体，进而得到正视图.
【详解】
按已知要求旋转后得到的几何体如下图所示：
可知正视图为四边形
故选
【点睛】
本题考查正视图的求解，关键是能够根据旋转的要求得到旋转后的几何体，属于基础题.
6．如图，P为正方体中与的交点，则在该正方体各个面上的射影可能是（）
A．①②③④
B．①③
C．①④
D．②④
【答案】C
【解析】
【分析】
从三个角度对正方体进行平行投影，首先确定关键点P、A，C在各个面上的投影，再把它们连接起来，即得△PAC在该正方体各个面上的射影．
【详解】
由题意知，P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的中心，
则从上向下投影时，点P的影子落在对角线AC上，故△PAC在下底面上的射影是线段AC，是第一个图形；
当从前向后投影时，点P的影子应落在侧面CDC1D1的中心上，A点的影子落在D上，故故△PAC在面CDC1D1上的射影是三角形，是第四个图形；
当从左向右投影时，点P的影子应落在侧面BCB1C1的中心上，A点的影子落在B上，故故△PAC在面CDC1D1上的射影是三角形，是第四个图形．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了平行投影和空间想象能力，关键是确定投影图得关键点，如顶点等，再一次连接即可得在平面上的投影图，主要依据平行投影的含义和空间想象来完成．
7．在棱长为1的正方体中，E，F分别为线段CD和上的动点，且满足，则四边形所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（ ）
A．有最小值
B．有最大值
C．为定值3
D．为定值2
【答案】D
【解析】
【分析】
分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可．
【详解】
依题意，设四边形D1FBE的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为D'，F'，B'，E'，则四边形D1FBE在上面，后面，左面的投影分别如上图．
所以在后面的投影的面积为S后=1×1=1，
在上面的投影面积S上=D'E'×1=DE×1=DE，
在左面的投影面积S左=B'E'×1=CE×1=CE，
所以四边形D1FBE所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和
S=S后+S上+S左=1+DE+CE=1+CD=2．
故选D．
【点睛】
本题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力．属于中档题．
8．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中中，M、N分别是BB1、BC的中点．则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正射影为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正方体的性质，可以分别看出三个点在平面ADD1A1上的投影，有一个特殊点D，它的投影是它本身，另外两个点的投影是通过垂直的性质做出的，连接三个投影点，得到要求的图形．
【详解】
解：由题意知D点在投影面上，
它的投影就是它本身，
N在平面上的投影是AD棱的中点，
M在平面上的投影是AA1的中点，
故选A．
【点睛】
本题考查平行投影及平行投影作图法，考查面面垂直的性质，考查正方体的特点，是一个基础题．
9．四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
由题意可知,四棱锥P-ABCD顶点P的射影落在AD中点,长度为,底面边长为4,2,且平面PAD垂直平面ABCD,因此球心O应在矩形ABCD对角线交点处的正上方,且设高为h,则有,即,解得,,四棱锥的外接球的表面积为,故选C.
10．某多面体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的体积之比为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先还原几何体，再根据锥体体积公式求体积，由长方体性质得外接球球心位置，根据球体积公式求条件，最后作商得结果.
【详解】
几何体为如图三棱锥S-ABC，SA=2,SC=4,BD=2,体积为，其外接球球心为SB中点,外接球半径为，
所以几何体的体积与其外接球的体积之比为，选A.
【点睛】
若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求给定的几何体的体积．
二、填空题
11．已知长方体的棱长为2，点E是线段的中点，则在平面上的正投影的面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据条件作出在平面上的正投影，确定正投影位置与形状，最后根据三角形面积公式求解.
【详解】
作出图形如图所示，可知在平面上的正投影仍然为一个三角形，点C在平面上的正投影为线段的中点，点E在平面上的正投影为线段的靠近的四等分点，正投影的面积.
故答案为：
【点睛】
本题考查正投影及其相关计算，考查空间想象与分析求解能力，属基础题.
12．如图，已知正方体的棱长为，，分别为，的中点，则线段的长为______，在底面上投影的面积是______.
【答案】3
2
【解析】
【分析】
取中点，可知平面，由此可得所求三角形的投影为且；利用勾股定理求得；由求得投影面积.
【详解】
取中点，连接
分别为中点
平面
在平面上的投影为，
故答案为：；
【点睛】
本题考查正方体内的投影面积和线段长度的求解问题，关键是能够根据正方体的结构特征确定线面垂直的关系，从而得到投影图形.
13．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面当中最大面的面积是______.
【答案】
【解析】
【分析】
先由题中三视图，在正方体中还原该几何体，再由直观图，观察出面积最大的面，结合题中数据，即可得出结果.
【详解】
由三视图可知，该四面体为，放在正方体中，由直观图可知，面积最大的面为，在正三角形中，，所以其面积.
故答案为
【点睛】
本题主要考查几何体的三视图，根据三视图先作出该几何体的直观图，结合直观图即可求解，属于常考题型.
14．正四面体的棱长为2，棱平面，则正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的最小值是______，最大值是______．
【答案】，
【解析】
【分析】
当正四面体绕着与平面平行的一条边转动时，不管怎么转动，投影图形的一边始终是的投影，长度为2，而发生变化的是投影的高，找出高的变化，得到答案.
【详解】
因为正四面体的对角线互相垂直，且棱平面，
当平面，这时的投影面是对角线为2的正方形，此时面积最大，为；
当平面，射影面的面积最小，此时构成的三角形底边2，高是直线到的距离，为，射影面积为；
正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的最小值是，最大值是
【点睛】
本题考查平行投影及平行投影作图法，本题是一个计算投影面积的题，注意解题过程中的投影图的变化情况，属于中档题.
15．已知在直三棱柱中，，，若棱在正视图的投影面内，且与投影面所成角为.设正视图的面积为，侧视图的面积为，当变化时，的最大值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用与投影面所成角为，将正视图的面积和侧视图的面积用的三角函数表示，利用辅助角公式结，可求解的最大值.
【详解】
与投影面所成角为时，平面如图所示，
，
，
，
故正视图的面积为
侧视图的面积为，
，，
故的最大值，故答案为.
【点睛】
本题考查了三视图的投影的认识和理解，以及二倍角公式与利用辅助角公式求最值，属于中档题.
求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式利用三角函数有界性求最值；③型，可化为求最值
.
三、解答题
16．如图所示，图（2）是图（1）中实物的主视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出它的左视图．
【答案】主视图正确，俯视图错误，图见解析
【解析】
【分析】
主视图正确,俯视图不正确,要用虚线画出被遮住的轮廓.根据左视方向可作出左视图.
【详解】
图（1）是由两个长方体组合而成的，主视图正确，俯视图错误.俯视图应该画出不可见轮廓（用虚线表示），左视图轮廓是一个矩形，有一条可见的交线（用实线表示），正确画法如下图所示.
【点睛】
本题考查了几何体的左视图的作法,即画从左看几何体的轮廓,属于基础题.
17．如图所示，四棱锥的所有棱长都为，试画出其三视图．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
正视图与侧视图均为等腰三角形、俯视图为对角线连接完整的正方形，按三视图的画法逐个画出即可。
【详解】
四棱锥的三视图如图所示．
【点睛】
（1）一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度与正视图一样，宽度与俯视图的宽度一样，即“长对正、高平齐、宽相等”。
（2）三视图应满足：①棱用实线表示；②被挡的轮廓线用虚线表示；③不同的投影面三视图也不一样，一般所取的投影面是较规则图形。
（3）本例中，正视图与侧视图均非正三角形。
18．如图，在正方体中，E，F分别是AB，BC的中点，指出在该正方体各表面上的投影．
【答案】，，
【解析】
【分析】
按在正方体表面上下、左右、前后三种情况讨论即可。
【详解】
在正方体上下两底面的投影与形状相同；在左右侧面的投影与形状相同；在前后侧面的投影与形状相同。
【点睛】
本题主要考查平面图形的投影问题，当平面图形位置固定，投影面位置变化时，投影可能会发生改变，属基础题。
19．在有阳光时，一根长为3米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为米，同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上，如图所示，求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示)．
【答案】6π(米2)
【解析】
【分析】
先求出射影角，再由射影比例求球的阴影部分的面积。
【详解】
解：由题意知，光线与地面成60°角，设球的阴影部分面积为S，垂直于光线的大圆面积为
S′，则Scos30°＝S′,并且S′＝9π，所以S＝6π(米2)
【点睛】
先求出射影角，再由射影比例求球的阴影部分的面积。
20．用数个小正方体组成一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中的字母表示在该位置的小立方体的个数.
（1）你能确定哪些字母表示的数？
（2）该几何体可能有多少种不同的形状？
【答案】见解析
【解析】
（1）根据正视图与俯视图可以得出下列结论：①a=3，b=1，c=1；
②d，e，f中的最大值为2.所以可以确定的是a=3，b=1，c=1.
（2）当d，e，f中有一个是2时，有3种不同的形状；
当d，e，f有两个是2时，有3种不同的形状；
当d，e，f都是2时，有一种形状.
所以该几何体可能有7种不同的形状.
考点：三视图.
