人教版A版高中数学必修二2.2.1直线与平面平行的判定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知直线和平面，那么能得出//的一个条件是（
）
A．存在一条直线，//且
B．存在一条直线，//且
C．存在一个平面，且//
D．存在一个平面，//且//
2．在空间四边形中，分别为上的点，且，分别为的中点，则（
）
A．平面，且四边形是平行四边形
B．平面，且四边形是梯形
C．平面，且四边形是平行四边形
D．平面，且四边形是梯形
3．过平面外两点作该平面的平行平面，可以作（
）
A．0个
B．1个
C．0个或1个
D．1个或2个
4．如图，的边在平面内，是的中位线，则（
）
A．与平面平行
B．与平面不平行
C．与平面可能平行
D．与平面可能相交
5．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；
④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC．其中正确的个数是(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
6．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是
(
)
A．直线m在平面α外
B．直线m与平面α内的两条直线平行
C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行
D．直线m与平面α内的一条直线平行
7．如图，在正方体中，已知、、分别是线段上的点，且.则下列直线与平面平行的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在正方体中
，点在线段上运动，则下列判断中，正确命题的个数是
①三棱锥的体积不变；②
；③；④与所成角的范围是.
A．4个
B．3个
C．2个
D．个
9．如图，在正方体中，
分别是
的中点，则下列命题正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
10．在正方体中，，，分别为，，的中点，现有下面三个结论：①为正三角形；②异面直线与所成角为；③平面.其中所有正确结论的编号是（
）
A．①
B．②③
C．①②
D．①③
二、填空题
11．请你正确地使用符号写出直线与平面平行的判定定理条件______.
12．在正方体中，是的中点，则与平面的位置关系为__________．
13．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
（1）如果直线，那么a平行于经过b的任何平面.（______）
（2）如果直线a与平面满足，那么a与内的任何直线平行.（______）
（3）如果直线和平面满足，，那么.（______）
（4）如果直线和平面满足，，，那么.（______）
14．如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论中错误的是____________．
①；
②平面；
③三棱锥的体积为定值；
④异面直线，所成的角为定值．
15．如图，为正方体，下面结论中正确的是_______.（把你认为正确的结论都填上）
①平面；
②平面；
③与底面所成角的正切值是；
④过点与异面直线AD与成角的直线有2条.
三、解答题
16．已知正方体，
（1）证明：平面；
（2）求异面直线与所成的角．
17．如图所示，为平行四边形所在平面外一点，，分别为，的中点.求证：平面.
18．如图，在直三棱柱中，分别是和的中点.求证：平面.
19．已知直角梯形的下底与等腰直角三角形的斜边重合，且（如图（1）所示），将此图形沿折叠成直二面角，连接，，得到四棱锥（如图（2）所示）.
（1）线段上是否存在点，使平面？若存在，求出；若不存在，说明理由；
（2）在（1）的条件下，求平面与平面的夹角的余弦值.
20．如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，点，分别在棱，上，且满足，.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
试卷第1页，总3页人教版A版高中数学必修二2.2.1直线与平面平行的判定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知直线和平面，那么能得出//的一个条件是（
）
A．存在一条直线，//且
B．存在一条直线，//且
C．存在一个平面，且//
D．存在一个平面，//且//
【答案】C
【解析】
【分析】
根据线面平行的判定定理，可得结果.
【详解】
在选项A，B，D中，
均有可能在平面内，错误；
在C中，两平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线
都平行于另一个平面，故C正确
故选：C
【点睛】
本题考查线面平行的判定，属基础题.
2．在空间四边形中，分别为上的点，且，分别为的中点，则（
）
A．平面，且四边形是平行四边形
B．平面，且四边形是梯形
C．平面，且四边形是平行四边形
D．平面，且四边形是梯形
【答案】B
【解析】
【分析】
作出草图，根据平行线的传递性可得，且，可得四边形为梯形，而由条件知，从而根据线面平行的判定定理，即可得出平面，由此即可得到结果．
【详解】
如图，由题意，得，且，，且，∴且，∴四边形是梯形；又，平面，平面，∴平面；
所以选项B正确．
故选：B.
【点睛】
考查平行线分线段成比例定理，中位线的性质，以及平行线的传递性，线面平行的判定定理及性质定理，属于基础题．
3．过平面外两点作该平面的平行平面，可以作（
）
A．0个
B．1个
C．0个或1个
D．1个或2个
【答案】C
【解析】
【分析】
考虑这两点连线与平面的位置关系．
【详解】
根据平面外两点的连线与已知平面的位置关系有两种情况：
①连线与平面相交，可以作0个平行平面.
②连线与平面平行，可以作1个平行平面.
故选：C.
【点睛】
本题考查直线与平面的位置关系，考查平行平面的概念与判断．属于基础题．
4．如图，的边在平面内，是的中位线，则（
）
A．与平面平行
B．与平面不平行
C．与平面可能平行
D．与平面可能相交
【答案】A
【解析】
【分析】
根据线面平行的判定定理，即可得出结果.
【详解】
因为是的中位线，所以；
又，，
所以.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查判断直线与平面是否平行，熟记线面平行的判定定理即可，属于常考题型.
5．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；
④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC．其中正确的个数是(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据中位线判断①，结合线面平行的判定定理判断②③，由图像判断④⑤.
【详解】
由于是中点，是中点，所以，所以①正确.
由于平面，平面，所以OM∥平面PCD.所以②正确.
由于平面，平面，所以OM∥平面PDA.所以③正确.
根据图像可知，和平面、平面相交，故④⑤错误.
综上所述，正确的个数为个.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查线面平行的判定定理，考查线线平行的证明，属于基础题.
6．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是
(
)
A．直线m在平面α外
B．直线m与平面α内的两条直线平行
C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行
D．直线m与平面α内的一条直线平行
【答案】C
【解析】
【分析】
根据线面平行的判定定理，选出正确选项.
【详解】
根据线面平行的判定定理可知，C选项正确.A选项直线可能与平面相交，B和D选项直线可能在平面内，所以ABD三个选项不正确.
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查线面平行的判定定理，属于基础题.
7．如图，在正方体中，已知、、分别是线段上的点，且.则下列直线与平面平行的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接，使交于点，连接、，可证四边形为平行四边形，可得，利用线面平行的判定定理即可得解．
【详解】
如图，连接，使交于点，连接、，则为的中点，
在正方体中，且，则四边形为平行四边形，
且，
、分别为、的中点，且，
所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，因此，平面.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了线面平行的判定，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中档题．
8．如图，在正方体中
，点在线段上运动，则下列判断中，正确命题的个数是
①三棱锥的体积不变；②
；③；④与所成角的范围是.
A．4个
B．3个
C．2个
D．个
【答案】B
【解析】
在正方体中，三角形的面积为定值，又，可以推出平面，因此点到平面的距离为定值，①三棱锥的体积不变是正确的；，可以推出平面
平面，平面，则
平面，②
是正确的；由于
平面，则③是正确的；当
为的中点时，，与所成角的范围是，④错误，选B.
【点睛】涉及到三棱锥的体积为定值问题，要考虑到动点（棱锥的顶点）在直线上，而直线与平面（棱锥的底面）平行，这样不论动点怎样移动，棱锥的高都不变，底面积为定值，高为定值，体积就是定值；两条异面直线所成的角的范围，首先平移一条直线，找出两条异面直线所成的角，移动动点观察特殊点时，异面直线所成的角，就会很容易得出你的角的范围，很适合做选填题.
9．如图，在正方体中，
分别是
的中点，则下列命题正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
分析：记AC∩BD=O，则MN∥OD1，利用线面平行的判定可得MN∥平面BD1D．
详解：
A：和是异面直线，故选项不正确；
B：和是异面直线，故选项不正确；
C：记AC∩BD=O．
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别C1D1，BC是的中点，
∴ON∥D1M∥CD，ON=D1M=CD，
∴MNOD1为平行四边形，
∴MN∥OD1，
∵MN?平面BD1D，OD1?平面BD1D，
∴MN∥平面BD1D．
D：由C知，而面和面相交，故选项不正确；
故答案为C.
点睛：这个题目考查了空间中点线面的位置关系，对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断.还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断.
10．在正方体中，，，分别为，，的中点，现有下面三个结论：①为正三角形；②异面直线与所成角为；③平面.其中所有正确结论的编号是（
）
A．①
B．②③
C．①②
D．①③
【答案】D
【解析】
【分析】
①计算出三边是否相等；②平移与，使得它们的平行线交于一点，解三角形求角的大小；③探究平面内是否有与平行的直线．
【详解】
易证的三边相等，所以它是正三角形.
平面截正方体所得截面为正六边形，且该截面与的交点为的中点，
易证，从而平面.取的中点，连接，，
则，易知，
所以与所成角不可能是，从而异面直线与所成角不是.
故①③正确.
【点睛】
本题考查点、线、面的位置关系，考查直观想象与数学运算的核心素养.
二、填空题
11．请你正确地使用符号写出直线与平面平行的判定定理条件______.
【答案】
【解析】
【分析】
直线与平面平行的判定定理为：如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行，将文字语言转化为符号语言即可.
【详解】
直线与平面平行的判定定理的条件为“平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行”，转化为符号语言为：“”
故答案为：
【点睛】
本题主要考查直线与平面平行的判定定理，考查学生正确运用符号表示立体几何位置关系的能力，属于基础题.
12．在正方体中，是的中点，则与平面的位置关系为__________．
【答案】平行
【解析】
【分析】
题设给出了一个正方体,已知点为一条棱上的中点,要确定的是与平面的位置关系,做出图像不能发现在平面上,且平面上的一条直线平行则答案即可得到.
【详解】
如图，连接交于点,连接.所以,而平面,平面,所以平面．
故答案为平行
【点睛】
该题考查的是空间中直线与平面之间的位置关系,要熟练掌握空间直线与平面的位置关系下的各种定理,利用这些定理来推断直线与平面的位置关系,是基础题型.
13．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
（1）如果直线，那么a平行于经过b的任何平面.（______）
（2）如果直线a与平面满足，那么a与内的任何直线平行.（______）
（3）如果直线和平面满足，，那么.（______）
（4）如果直线和平面满足，，，那么.（______）
【答案】×
×
×
√
【解析】
【分析】
（1）根据“在以确定的平面内”，由此判断（1）错误.
（2）根据与内直线可能异面，判断（2）错误.
（3）根据可能平行、相交或异面，判断（3）错误.
（4）根据线面平行的性质定理和判定定理，以及平行公理，证得，由此判断（4）正确.
【详解】
（1）不平行于同时过这两条直线的平面.
（2）a与内的直线有平行和异面两种位置关系.
（3）a与b可能出现三种位置关系：平行、相交、异面.
（4）已知，，，过a作平面交于直线c，则，所以，所以.
故答案为：（1）×（2）×（3）×（4）√
【点睛】
本小题主要考查线线、线面平行的有关命题真假性的判断，属于基础题.
14．如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论中错误的是____________．
①；
②平面；
③三棱锥的体积为定值；
④异面直线，所成的角为定值．
【答案】④
【解析】
【分析】
①根据正方体的几何特征，易证平面.
②根据，利用线面平行的判定定理判断.③根据体积公式，判断是否为定值，再根据平面，判断点A到平面的距离是否为定值.④取特殊位置，当E为的中点，F与重合时和当F为的中点，E与重合时角是否相等判断.
【详解】
在正方体中，平面ABCD，所以AC，又因为，，所以平面，所以，故正确.
②因为平面；平面，所以平面，所以平面，故正确.
③因为是定值，因为平面，点A到平面的距离为是定值，故三棱锥的体积为定值，故正确.
④当E为的中点，F与重合时，，异面直线，所成的角，当F为的中点，E与重合时，，异面直线，所成的角，所以，故异面直线，所成的角不是定值，故④错误.
故答案为：④
【点睛】
本题主要考查空间几何体的几何特征和点、线、面的位置关系，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于中档题.
15．如图，为正方体，下面结论中正确的是_______.（把你认为正确的结论都填上）
①平面；
②平面；
③与底面所成角的正切值是；
④过点与异面直线AD与成角的直线有2条.
【答案】①②④
【解析】
【详解】
，因为面，所以，由此平面，故①对．由三垂线定理可知，，，所以面，故②对．
由①②可知，为与面的所成角，所以，所以③错．
在正方体中，所以过与异面直线所成角为与直线所成角．将图形抽象出来如下图所示．由于，所以如下图，有上下两条直线分别直线，所成角为，故与异面直线和成，所以④对．
【点睛】
本题考查线线垂直，线面垂直，判断定理和性质定理，以及异面直线所成角，
综合性很强，题目偏难．在使用线线垂直，线面垂直的性质定理时，三垂线定理学生要熟练掌握．求解异面直线所成角的步骤：先平移找到角，再证明，最后求解．
三、解答题
16．已知正方体，
（1）证明：平面；
（2）求异面直线与所成的角．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）证明，再根据线面平行的判定定理即可证明结论；
（2）即为异面直线与所成的角，求出即可．
【详解】
（1）证：在正方体中，
，且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又∵平面，平面；
∴平面；
（2）解：∵，
∴即为异面直线与所成的角，
设正方体的边长为，
则易得，
∴为等边三角形，
∴，
故异面直线与所成的角为．
【点睛】
本题主要考查线面平行的判定与异面直线所成的角，属于基础题．
17．如图所示，为平行四边形所在平面外一点，，分别为，的中点.求证：平面.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
取的中点，连接，，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立.
【详解】
证明：取的中点，如图所示，连接，.
∵，分别为，的中点，∴，且.
∵四边形为平行四边形，为的中点，
∴且，∴平行且相等，
∴四边形为平行四边形，∴.
又平面，平面，
∴平面.
【点睛】
本题主要考查证明线面平行，熟记线面平行的判定定理即可，属于常考题型.
18．如图，在直三棱柱中，分别是和的中点.求证：平面.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
取的中点D，由中位线定理和平行线的传递性可证四边形为平行四边形，可得，再根据线面平行的判定定理即可证明结果.
【详解】
证明：取的中点D，连接，.
∵M，D分别为AC，的中点，∴且.
又为的中点，∴且，
∴且，∴四边形为平行四边形，
∴.
∵平面平面，
∴平面.
【点睛】
本题主要考查了平行线的传递性和线面平行的判定定理，属于基础题.
19．已知直角梯形的下底与等腰直角三角形的斜边重合，且（如图（1）所示），将此图形沿折叠成直二面角，连接，，得到四棱锥（如图（2）所示）.
（1）线段上是否存在点，使平面？若存在，求出；若不存在，说明理由；
（2）在（1）的条件下，求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）存在点，（2）
【解析】
【分析】
（1）假设存在满足题意的点，根据线面平行的性质定理可知，由平行线分线段成比例可求得，则假设成立；
（2）取中点，根据垂直关系，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.
【详解】
（1）假设在线段上存在点，使得平面，
连接，交于点，连接，
若平面，平面平面，平面，，
.
，，，
在线段上存在点，使得平面，此时.
（2）取中点，连接，
，，四边形为平行四边形，，
又，.
，为中点，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面.
以为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：
为等腰直角三角形，，
设，则，，，，，，，
，，.
设平面的一个法向量，
则，令，则，，.
平面，是平面的一个法向量，
，
即平面与平面的夹角的余弦值为.
【点睛】
本题考查立体几何中存在性问题、平面与平面夹角的求解问题；求解存在性问题的常用方法是通过假设存在，将结论作为已知来反向说明，找到矛盾或验证成立的条件，从而得到结论.
20．如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，点，分别在棱，上，且满足，.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析；
（2）.
【解析】
【分析】
（1）在棱上取一点，使得，连接，，可证明是平行四边形，可得，由线面平行的判定定理可得结果；（2）以为坐标原点以为轴建立空间直角坐标系，设，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面的法向量，结合平面的一个法向量为，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.
【详解】
（1）在棱上取一点，使得，连接，，
因为，，所以，
所以.又因为，，所以，，
所以是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）依题意，以为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，
所以，.
设平面的法向量为，则，即，取，
则.
又平面，所以平面的一个法向量为，
所以，
又二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
【点睛】
本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
试卷第1页，总3页
