人教版A版高中数学必修二2.2.3直线与平面平行的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chu
meng）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体ABCDEF是一个刍甍，其中都是正三角形，，则以下两个结论：①；②，说法正确的是（
）
A．①和②都不成立
B．①成立，但②不成立
C．①不成立，但②成立
D．①和②都成立
2．如图，是正方体，为棱上的动点（不含端点），平面与底面的交线为，则与的位置关系是（
）
A．异面
B．平行
C．相交
D．与点位置有关
3．如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，错误的为
A．
B．截面
C．
D．异面直线与所成的角为
4．设为直线，是两个不同的平面，下列说法中正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5．如果直线a平行于平面，则（
）
A．平面内有且只有一直线与a平行
B．平面内有无数条直线与a平行
C．平面内不存在与a平行的直线
D．平面内的任意直线与直线a都平行
6．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l（ ）
A．异面
B．相交
C．平行
D．垂直
7．如图，在正四棱锥S－ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC，其中恒成立的为(
)
A．①③
B．③④
C．①②
D．②③④
8．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB＝4，则过B，E，F的平面截该正方体所得的截面周长为（
）
A．64
B．62
C．34
D．32
9．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．已知棱长为3的正方体,点是棱AB的中点，，动点P在正方形（包括边界）内运动，且面，则PC的长度范围为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．如图，几何体是正方体，若过、、三点的平面与底面的交线为，则与的位置关系是______.
12．若直线与平面平行，则该直线与平面内的任一直线的位置关系是______．
13．在长方体ABCD?A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有________个．
14．空间四边形ABCD的对棱AD，BC成60°的角，且AD＝a，BC＝b，平行于AD与BC的截面分别交AB，AC，CD，BD于E、F、G、H，则截面EFGH面积的最大值为_____.
15．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面ABCD是边长为6的正方形，M，N分别为线段AC1，D1C上的动点，若直线MN与平面B1BCC1没有公共点或有无数个公共点，点E为MN的中点，则E点的轨迹长度为_____．
三、解答题
16．如图所示，OA，OB，OC为不共面的三条线段，点，，分别是OA，OB，OC上的点，且成立.求证：.
17．如图，，，，，求证.
18．如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，点E在线段PA上，平面BDE．
求证：；
若是等边三角形，，平面平面ABCD，四棱锥的体积为，求点E到平面PCD的距离．
19．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，是棱上的一点，满足平面.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）设，，若为棱上一点，使得直线与平面所成角的大小为30°，求的值.
20．如图，在三棱柱中，底面，，，，，是线段的中点.
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积.
试卷第1页，总3页人教版A版高中数学必修二2.2.3直线与平面平行的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chu
meng）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体ABCDEF是一个刍甍，其中都是正三角形，，则以下两个结论：①；②，说法正确的是（
）
A．①和②都不成立
B．①成立，但②不成立
C．①不成立，但②成立
D．①和②都成立
【答案】D
【解析】
【分析】
利用线面平行的判定定理和性质定理和勾股定理进行求解即可.
【详解】
因为底面为矩形，所以有，平面，平面，所以平面，而平面平面，所以，故结论①是正确的；
取的中点，连接如下图所示：因为，所以有
，因此四边形是平行四边形，所以有，
不妨设，因此，，因为都是正三角形，所以，因此有，因为，所以
，因此，故结论②是正确的.
故选：D
【点睛】
本题考查了线面平行的判定定理和性质定理，考查了勾股定理，考查了数学阅读能力
2．如图，是正方体，为棱上的动点（不含端点），平面与底面的交线为，则与的位置关系是（
）
A．异面
B．平行
C．相交
D．与点位置有关
【答案】B
【解析】
【分析】
根据线面平行的性质定理和平行公理，判断出正确选项.
【详解】
由于平面，平面平面，根据线面平行的性质定理可知，由于，所以.
故选：B.
【点睛】
本小题主要考查线面平行的性质定理，考查平行公理，属于基础题.
3．如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，错误的为
A．
B．截面
C．
D．异面直线与所成的角为
【答案】C
【解析】
【分析】
首先由正方形中的线线平行推导线面平行，再利用线面平行推导线线平行，将AC、BD平移到正方形内，即可利用平面图形知识作出判断．
【详解】
因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN、QM∥PN，
则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，
所以PQ∥AC，QM∥BD，
由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；
由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；
异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，故D正确；
综上C是错误的．
故选C．
【点睛】
本题主要考查线面平行的性质与判定，考查了异面直线所成角的定义及求法，属于基础题．
4．设为直线，是两个不同的平面，下列说法中正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【解析】
【分析】
画出长方体，按照选项的内容在长方体中找到相应的情况，即可得到答案
【详解】
对于选项A，在长方体中，任何一条棱都和它相对的两个平面平行，但这两个平面相交，所以A不正确；
对于选项B，若，分别是长方体的上、下底面，在下底面所在平面中任选一条直线，都有，但，所以B不正确；
对于选项D，在长方体中，令下底面为，左边侧面为，此时，在右边侧面中取一条对角线，则，但与不垂直，所以D不正确；
对于选项C，设平面，且，因为，所以，又，所以，又，所以，所以C正确.
【点睛】
本题考查直线与平面的位置关系，属于简单题
5．如果直线a平行于平面，则（
）
A．平面内有且只有一直线与a平行
B．平面内有无数条直线与a平行
C．平面内不存在与a平行的直线
D．平面内的任意直线与直线a都平行
【答案】B
【解析】
【分析】
根据线面平行的性质解答本题．
【详解】
根据线面平行的性质定理，已知直线平面.
对于A，根据线面平行的性质定理，只要过直线a的平面与平面相交得到的交线，都与直线a平行；所以平面内有无数条直线与a平行；故A错误；
对于B，只要过直线a的平面与平面相交得到的交线，都与直线a平行；所以平面内有无数条直线与a平行；故B正确；
对于C，根据线面平行的性质，过直线a的平面与平面相交得到的交线，则直线，所以C错误；
对于D，根据线面平行的性质，过直线a的平面与平面相交得到的交线，则直线，则在平面内与直线相交的直线与a不平行，所以D错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了线面平行的性质定理；如果直线与平面平行，那么过直线的平面与已知平面相交，直线与交线平行．
6．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l（ ）
A．异面
B．相交
C．平行
D．垂直
【答案】D
【解析】
若直线l∥α，α内至少有一条直线与l垂直，
当l与α相交时，α内至少有一条直线与l垂直．
当l?α，α内至少有一条直线与l垂直．
故选D．
7．如图，在正四棱锥S－ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC，其中恒成立的为(
)
A．①③
B．③④
C．①②
D．②③④
【答案】A
【解析】
【分析】
在①中：由题意得
AC⊥平面SBD，从而平面EMN∥平面SBD，由此得到AC⊥EP；在②中：由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线；在③中：由平面EMN∥平面SBD，从而得到EP∥平面SBD；在④中：由已知得EM⊥平面SAC，从而得到EP与平面SAC不垂直．
【详解】
如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．
在①中：由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．
∵SO∩BD＝O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，
∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN＝M，∴平面EMN∥平面SBD，
∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．
在②中：由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确；
在③中：由①可知平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确．
在④中：由①同理可得：EM⊥平面SAC，
若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM＝E相矛盾，
因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．
∴恒成立的结论是：①③．
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题的真假判断与应用，考查空间线面、面面的位置关系判定，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．
8．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB＝4，则过B，E，F的平面截该正方体所得的截面周长为（
）
A．64
B．62
C．34
D．32
【答案】A
【解析】
【分析】
利用线面平行的判定与性质证明直线为过直线且过点B的平面与平面的交线,从而证得四点共面,然后在正方体中求等腰梯形的周长即可.
【详解】
作图如下:
因为是棱的中点,
所以,
因为平面,平面,
所以平面，
由线面平行的性质定理知,
过直线且过点B的平面与平面的交线平行于直线,
结合图形知,即为直线,
过B，E，F的平面截该正方体所得的截面即为等腰梯形,
因为正方体的棱长AB＝4,
所以,
所以所求截面的周长为64,
故选:A
【点睛】
本题主要考查多面体的截面问题和线面平行的判定定理和性质定理；重点考查学生的空间想象能力;属于中档题.
9．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【解析】
【分析】
对于A，利用线面平行的判定可得A正确.对于B，利用线面垂直的性质可得B正确.对于C，利用面面垂直的判定可得C正确.根据平面与平面的位置关系即可判断D不正确.
【详解】
对于A，根据平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，
则这条直线平行于这个平面，可判定A正确.
对于B，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，判定B正确.
对于C，根据一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直，
可判定C正确.
对于D，若，则或相交，所以D不正确.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了线面平行和面面垂直的判定，同时考查了线面垂直的性质，属于中档题.
10．已知棱长为3的正方体,点是棱AB的中点，，动点P在正方形（包括边界）内运动，且面，则PC的长度范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
如图:先作出过且与平面平行的平面,可知点的轨迹为,然后根据平面几何知识求出的最小值和最大值,根据勾股定理可求出的取值范围.
【详解】
如图所示:
在上取点,使得,连接,因为,所以;
取的中点,连接,因为为的中点,所以;
因此平面平面,
过作交于,则四点共面,且,
因为平面,所以点在线段上运动,
连接,根据正方体的性质可知,
所以,
在平面中,,,,所以,
,所以点到的距离为,
所以的最小值为,最大值为,
所以的最小值为,最大值为.
所以的取值范围是.
故选:B
【点睛】
本题考查了作几何体的截面,考查了平面与平面平行的判定,考查了立体几何中的轨迹问题,关键是作出点的运动轨迹,属于中档题.
二、填空题
11．如图，几何体是正方体，若过、、三点的平面与底面的交线为，则与的位置关系是______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据正方体的性质可得，通过线面平行的判定定理和线面平行的性质定理可以判断出与的位置关系.
【详解】
解析连接平面平面，平面，又平面，平面平面.
故答案为：
【点睛】
本题考查了线面平行的性质定理和判定定理，考查了推理论证能力，属于基础题.
12．若直线与平面平行，则该直线与平面内的任一直线的位置关系是______．
【答案】平行或异面
【解析】
【分析】
由直线与平面平行的定义可得，该直线与此平面无公共点，所以该直线与此平面内的直线也无公共点，可判断直线与直线间的关系
【详解】
由直线与平面平行的定义可得，该直线与此平面无公共点，所以该直线与平面内的任一直线也无公共点，所以直线与直线间的位置关系是平行或异面．
故答案为：平行或异面．
【点睛】
直线与平面平行的定义是直线与平面无公共点，当直线与直线无公共点时，两条直线平行或异面
13．在长方体ABCD?A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有________个．
【答案】3
【解析】
画出图形如下图所示，
结合图形可得平面，平面，平面。所以棱AA1平行的平面共有3个。
答案：3
14．空间四边形ABCD的对棱AD，BC成60°的角，且AD＝a，BC＝b，平行于AD与BC的截面分别交AB，AC，CD，BD于E、F、G、H，则截面EFGH面积的最大值为_____.
【答案】ab.
【解析】
【分析】
利用线面平行的性质定理证明四边形为平行四边形,然后根据题意或,设,根据相似三角形的相似比把用表示,利用三角形的面积公式把平行四边形的面积表示成关于的二次函数,转化为二次函数求最值的问题求解即可.
【详解】
因为平面，平面ADC,平面平面,
由线面平行的性质定理知,,同理可证,,
所以,同理可证,
所以四边形为平行四边形.
因为AD，BC成60°的角,所以或,
设,则，
因为,所以,
因为,,
所以,
所以平行四边形的面积为
,
即,
所以当时,平行四边形的面积有最大值为，
故答案为:
【点睛】
本题主要考查线面平行的性质定理和利用三角形的面积公式及函数的思想求截面面积的最大值;考查函数与方程的思想、转化与化归的能力;证得四边形为平行四边形和把求平行四边形的面积最大值转化为求关于的二次函数最值问题是求解本题的关键;
属于中档题、常考题型.
15．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面ABCD是边长为6的正方形，M，N分别为线段AC1，D1C上的动点，若直线MN与平面B1BCC1没有公共点或有无数个公共点，点E为MN的中点，则E点的轨迹长度为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
由条件，平面B1BCC1，或平面B1BCC1，过点M作MH交AC于H，过点N作NG交CD于G，构造平面MHGN平面B1BCC1，得到MN的中点E的轨迹长度等于的边AD上的中线长，即得解.
【详解】
连接AC，因为直线MN与平面B1BCC1没有公共点或有无数个公共点，
故平面B1BCC1，或平面B1BCC1，
过点M作MH交AC于H，过点N作NG交CD于G，
所以平面MHGN平面B1BCC1，
因为M，N为AC1，D1C上的动点，所以这样的MN有无数条，
其中MN的中点E的轨迹长度等于的边AD上的中线长，
该中线长为.
故答案为：
【点睛】
本题考查了空间中点线面的位置关系，考查了学生空间想象，转化构造，逻辑推理能力，属于较难题.
三、解答题
16．如图所示，OA，OB，OC为不共面的三条线段，点，，分别是OA，OB，OC上的点，且成立.求证：.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据,可得,,进而通过平行线得两个角和对应相等,即可证明.
【详解】
证明；在中,因为,
所以.
同理可证,.
所以,.
所以.
【点睛】
本题考查了通过线段成比例,证明线线平行,根据空间中角的两边分别平行判断两个角的关系,属于基础题.
17．如图，，，，，求证.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
首先根据线面平行的判定定理，证得；再根据线面平行的性质定理证得，由平行公理证得，从而证得.
【详解】
，.
，
，
，
.
【点睛】
本小题主要考查线面平行的判定定理和性质定理，考查平行公理，属于基础题.
18．如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，点E在线段PA上，平面BDE．
求证：；
若是等边三角形，，平面平面ABCD，四棱锥的体积为，求点E到平面PCD的距离．
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）连结AC、BD，交于点M，连结ME则M是AC中点，由PC∥平面BDE，得PC∥ME，由此能证明AE=PE．
（2）以AD中点O为原点，OA为x轴，在平面ABCD中，过点O作AB的平行线为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出E到平面PCD的距离．
【详解】
连结AC、BD，交于点M，连结ME，
底面ABCD为矩形，是AC中点，
平面BDE，，在中，ME为的中位线，
又M为中点，E为中点
．
是等边三角形，，平面平面ABCD，
以AD中点O为原点，OA为x轴，在平面ABCD中，过点O作AB的平行线为y轴，
以OP为z轴，建立空间直角坐标系，
设，四棱锥的体积为，
，解得．
0，，0，，0，，0，，6，．
0，，6，，0，，
设平面PCD的法向量y，，
则，取，得0，，
到平面PCD的距离．
【点睛】
本题考查线段相等的证明，考查点到直线的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
19．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，是棱上的一点，满足平面.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）设，，若为棱上一点，使得直线与平面所成角的大小为30°，求的值.
【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由平面，可得，又因为是的中点，即得证；
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，设，计算平面的法向量，由直线与平面所成角的大小为30°，列出等式，即得解.
【详解】
（Ⅰ）如图，
连接交于点，连接，
则是平面与平面的交线，
因为平面，
故，
又因为是的中点，
所以是的中点，
故.
（Ⅱ）由条件可知，，所以，故以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
设，
则，
设平面的法向量为，
则，即，故取
因为直线与平面所成角的大小为30°
所以，
即，
解得，故此时.
【点睛】
本题考查了立体几何和空间向量综合，考查了学生逻辑推理，空间想象，数学运算的能力，属于中档题.
20．如图，在三棱柱中，底面，，，，，是线段的中点.
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）见证明；（2）.
【解析】
【分析】
（1），利用三角形中位线定理，判定平行，结合直线与平面平行判定，即可。（2）结合等腰三角形性质和直线与平面垂直性质，判定，利用，计算体积，即可。
【详解】
（1）证明：∵三棱柱中，，∴是中点，
连接，∵是中点，∴，
∵平面，平面，∴平面；
（2）由知是的中点，
所以，
由，，是的中点，知，，
又底面，平面，∴，
∵，∴平面，
∵，∴，∴，
∴三棱锥的体积.
【点睛】
本道题考查了直线与平面平行判定以及三棱锥体积计算公式，属于中等题，判定直线与平面平行，关键找出直线与该平面一条直线平行即可；计算三棱锥，可以将所求三棱锥不断联系较为好求的三棱锥上，即可。
试卷第1页，总3页
