人教版A版高中数学必修二2.2.2平面与平面平行的判定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列条件中，能判断两个平面平行的是（
）
A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面
B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面
D．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
2．下列说法正确的是（
）
A．若两条直线与同一条直线所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线分别平行于两个相交平面，则一定平行它们的交线
D．若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行
3．已知是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是（
）
A．内有无穷多条直线与平行
B．直线////
C．直线满足//////
D．异面直线满足，且////
4．已知三条互不相同的直线和三个互不相同的平面，现给出下列三个命题：
①若与为异面直线，，则；
②若，，则；
③若，则.
其中真命题的个数为（
）
A．3
B．2
C．1
D．0
5．设，表示两个不同平面，表示一条直线，下列命题正确的是（
）
A．若，，则.
B．若，，则.
C．若，，则.
D．若，，则.
6．平面∥平面的一个充分条件是（
）
A．存在一条直线，∥，∥
B．存在一条直线，?，∥
C．存在两条平行直线，，?，?，∥，∥
D．存在两条异面直线，，?，?，∥，∥
7．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（
）
A．存在两条异面直线，.
B．存在一条直线，.
C．存在一条直线，.
D．存在两条平行直线，.
8．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，对于下列四个命题：
①，，，
②，
③，，
④，
其中正确命题的个数有（
）
A．个
B．个
C．个
D．个
9．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：
①存在平面γ，使得α，β都平行于γ
②存在两条不同的直线l，m，使得l?β，m?β，使得l∥α，m∥α
③α内有不共线的三点到β的距离相等；
④存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.
其中，可以判定α与β平行的条件有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
10．如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且，则线段长度的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．给出下列命题：
①任意三点确定一个平面；
②三条平行直线最多可以确定三个个平面；
③不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行；
④一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行；
其中说法正确的有_____（填序号）.
12．过平面外两点，可作______个平面与已知平面平行．
13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与面ABCD平行的面是____________．
14．设直线，平面，下列条件能得出的是_____.，且；且；③，且；
，且.
15．如图，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点（包括边界），且，则的最小值为____．
三、解答题
16．如图，在四棱锥中，，，，分别为棱，的中点，，，且.
（1）证明：平面平面.
（2）若四棱锥的高为3，求该四棱锥的体积.
17．如图，在正方体中，分别是，的中点.
求证：
（1）平面；
（2）平面平面.
18．如图，在三棱柱中，、分别是棱，的中点，求证：
（1）平面；
（2）平面平面．
19．如图，在正方体中，?分别是平面?平面的中心，证明:
（1）平面；
（2）平面平面.
20．如图，矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，，分别是的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的正切值．
试卷第1页，总3页人教版A版高中数学必修二2.2.2平面与平面平行的判定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列条件中，能判断两个平面平行的是（
）
A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面
B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面
D．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
【答案】C
【解析】
【分析】
根据面面平行的判定定理或定义可得出结论.
【详解】
根据面面平行的定义可知，若两个平面没有公共点，则这两个平面平行，则一个平面内所有直线都与另一个平面没有公共点，则这两个平面平行.
由面面平行的判定定理可知，一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
故选：C.
【点睛】
本题考查面面平行的判断，一般利用面面平行的定义或判定定理来判断，考查对面面平行的定义和判定定理的理解，属于基础题.
2．下列说法正确的是（
）
A．若两条直线与同一条直线所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线分别平行于两个相交平面，则一定平行它们的交线
D．若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行
【答案】C
【解析】
【分析】
利用逐一验证法，结合面面平行的判定以及线线平行的特点，可得结果.
【详解】
A错，由两条直线与同一条直线所成的角相等，
可知两条直线可能平行，可能相交，也可能异面；
B错，
若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，
则这两个平面可能平行或相交；
C正确，设////，
利用线面平行的性质定理，在平面中存在直线//，
在平面中存在直线//，所以可知//，
根据线面平行的判定定理，可得//，
然后根据线面平行的性质定理可知//，所以//；
D错，两个平面可能平行，也可能相交.
故选：C
【点睛】
本题考查面面平行的判定，还考查线面平行的判定定理以及性质定理，重点在于对定理的熟练应用，属基础题.
3．已知是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是（
）
A．内有无穷多条直线与平行
B．直线////
C．直线满足//////
D．异面直线满足，且////
【答案】D
【解析】
【分析】
采用逐一验证法，根据面面平行的判定定理，可得结果.
【详解】
A错
内有无穷多条直线与平行，
平面与平面可能平行，也可能相交，
B错
若直线////，
则平面与平面可能平行，也可能相交，
C错
若//////，
则平面与平面可能平行，也可能相交，
D正确
当异面直线满足，且////时，
可在上取一点，过点在内作直线//，
由线面平行的判定定理，得//，
异面，所以
相交，
再由面面平行的判定定理，得//，
故选：D.
【点睛】
本题考查面面平行的判定，属基础题.
4．已知三条互不相同的直线和三个互不相同的平面，现给出下列三个命题：
①若与为异面直线，，则；
②若，，则；
③若，则.
其中真命题的个数为（
）
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】C
【解析】
【分析】
通过线面平行的性质与判定，以及线面关系，对三个命题进行判断，得到答案.
【详解】
①中，两平面也可能相交，故①错误；
②中，与也可能异面，故②错误；
③中，易知，又，所以由线面平行的性质定理知，同理，所以，故③正确.
【点睛】
本题考查线面平行的判定和性质，线面关系，属于简单题.
5．设，表示两个不同平面，表示一条直线，下列命题正确的是（
）
A．若，，则.
B．若，，则.
C．若，，则.
D．若，，则.
【答案】C
【解析】
【分析】
由或判断；由，或相交判断；根据线面平行与面面平行的定义判断
；由或相交，判断.
【详解】
若，，则或，不正确；
若，，则，或相交，不正确；
若，，可得没有公共点，即，正确；
若，，则或相交，不正确,故选C.
【点睛】
本题主要考查空间平行关系的性质与判断，属于基础题.
空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.
6．平面∥平面的一个充分条件是（
）
A．存在一条直线，∥，∥
B．存在一条直线，?，∥
C．存在两条平行直线，，?，?，∥，∥
D．存在两条异面直线，，?，?，∥，∥
【答案】D
【解析】
试题分析：对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故A不对；
对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不对；
对于C，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不对；
对于D，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D正确
考点：空间线面平行的判定与性质
7．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（
）
A．存在两条异面直线，.
B．存在一条直线，.
C．存在一条直线，.
D．存在两条平行直线，.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据面面平行的判定定理，以及线面，面面位置关系，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
对于A选项，如图：为异面直线，且，在内过上一点作，则内有两相交直线平行于，则有；故A正确；
对于B选项，若，则可能平行于与的交线，因此与可能平行，也可能相交，故B错；
对于C选项，若，则与可能平行，也可能相交，故C错；
对于D选项，若，则与可能平行，也可能相交，故D错.
故选：A
【点睛】
本题主要考查探求面面平行的充分条件，熟记面面平行的判定定理，以及线面，面面位置关系即可，属于常考题型.
8．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，对于下列四个命题：
①，，，
②，
③，，
④，
其中正确命题的个数有（
）
A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】A
【解析】
①，，，，则与可能相交，①错；②，，则可能在平面内，②错；③，，，则与可能异面，③错；④，，则与可能异面，④错，故所有命题均不正确，故选．
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面平行判定与性质，属于中档题.
空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.
9．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：
①存在平面γ，使得α，β都平行于γ
②存在两条不同的直线l，m，使得l?β，m?β，使得l∥α，m∥α
③α内有不共线的三点到β的距离相等；
④存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.
其中，可以判定α与β平行的条件有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
利用直线与平面、平面与平面的位置关系,对选项进行逐一判断,确定出正确选项即可.
【详解】
对于①:由平行于同一平面的两个平面平行可知①正确;
对于②:由面面平行的判定定理知,若是同一平面内的两条相交直线时,可以判定α与β平行,反之不成立,故②不正确;
对于③:若是两个相交平面时,如果平面内不共线的三点在平面的异侧时，此三点可以到平面的距离等,此时不能判定α与β平行,故③不正确;
对于④:在平面内作,因为是两条异面直线,所以必有相交,又因为,所以,由面面平行的判定定理知,α与β平行,故④正确;
故选:B
【点睛】
本题考查面面平行的判定及线面平行的判定;熟练掌握面面平行的判定定理是求解本题的关键;重点考查学生的逻辑思维能力;属于中档题、常考题型.
10．如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且，则线段长度的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
取的中点，的中点，的中点，根据面面平行的判定定理，得到平面平面，确定线段扫过的图形是，再由题中数据，得到是直角，进而即可求出结果.
【详解】
取的中点，的中点，的中点，则，，
∴平面平面，
∴平面，线段扫过的图形是
∵，∴，
∴，∴是直角，
∴线段长度的取值范围是.
故选B.
【点睛】
本题主要考查面面平行的判定，熟记面面平行的判定定理即可，属于常考题型.
二、填空题
11．给出下列命题：
①任意三点确定一个平面；
②三条平行直线最多可以确定三个个平面；
③不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行；
④一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行；
其中说法正确的有_____（填序号）.
【答案】②③
【解析】
【分析】
对四个选项进行逐一分析即可.
【详解】
对①：根据公理可知，只有不在同一条直线上的三点才能确定一个平面，故错误；
对②：三条平行线，可以确定平面的个数为1个或者3个，故正确；
对③：垂直于同一个平面的两条直线平行，故正确；
对④：一个平面中，只有相交的两条直线平行于另一个平面，两平面才平行，故错误.
综上所述，正确的有②③.
故答案为：②③.
【点睛】
本题考查立体几何中的公理、线面平行的判定，属综合基础题.
12．过平面外两点，可作______个平面与已知平面平行．
【答案】0或1
【解析】
【分析】
当这两点在平面的同一侧，且距离平面相等，这样就有一个平面与已知平面平行，当这两点在平面的异侧，不管两个点与平面的距离是多少，都没有平面与已知平面平行，结论不唯一，得到结果．
【详解】
两点与平面的位置不同，得到的结论是不同的，
当这两点在平面的同一侧，且距离平面相等，这样就有一个平面与已知平面平行，
当这两点在平面的异侧，不管两个点与平面的距离是多少，都没有平面与已知平面平行，
这样的平面可能有，可能没有，
故答案为0或1．
【点睛】
本题考查平面的基本性质及推论，考查过两个点的平面与已知平面的关系，本题要考查学生的空间想象能力，是一个基础题．
13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与面ABCD平行的面是____________．
【答案】面A1B1C1D1
【解析】
【分析】
根据正方体的性质，得到答案.
【详解】
在正方体ABCD－A1B1C1D1中
根据正方体的性质，对面互相平行
所以与面ABCD平行的面是A1B1C1D1
【点睛】
本题考查正方体的基本性质，属于简单题.
14．设直线，平面，下列条件能得出的是_____.，且；且；③，且；
，且.
【答案】③
【解析】
【分析】
利用空间直线和平面的位置关系对每一个命题分析判断得解.
【详解】
设直线，平面，
①，且；与不相交时不能得出.
②且与可能相交.
③，且；能得出.
④，且.可能得出与相交.
故答案为：③.
【点睛】
本题主要考查空间直线和平面位置关系的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象能力.
15．如图，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点（包括边界），且，则的最小值为____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，可知，即求的最小值.在侧面内找到满足平面且最小的点即可.
【详解】
由题得，取中点H，中点G，连结，，GH，，平面，，平面，平面平面，平面，故平面，又平面，则点F在两平面交线直线GH上，那么的最小值是时，，则为最小值.
【点睛】
本题考查空间向量以及平面之间的位置关系，有一定的综合性.
三、解答题
16．如图，在四棱锥中，，，，分别为棱，的中点，，，且.
（1）证明：平面平面.
（2）若四棱锥的高为3，求该四棱锥的体积.
【答案】（1）见解析（2）9
【解析】
【分析】
（1）根据,可知,由可证明,又根据中位线可证明即可由平面与平面平行的判定定理证明平面平面.
（2）利用勾股定理,求得.底面为直角梯形,求得底面积后即可由四棱锥的体积公式求得解.
【详解】
（1）证明：因为为的中点,且,所以.
因为,所以,所以四边形为平行四边形,
所以.
在中,因为,分别为,的中点,所以,
因为,,
所以平面平面.
（2）因为,所以,
又,
所以.
所以四边形的面积为,
故四棱锥的体积为.
【点睛】
本题考查了平面与平面平行的判定,四棱锥体积的求法,属于基础题.
17．如图，在正方体中，分别是，的中点.
求证：
（1）平面；
（2）平面平面.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
（1）连接，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；
（2）连接，，先由线面平行的判定定理，得到平面，再由（1）的结果，结合面面平行的判定定理，即可证明结论成立.
【详解】
（1）如图，连接.
∵四边形是正方形，是的中点，∴是的中点.
又∵是的中点，∴.
∵平面，平面，
∴平面.
（2）连接，，
∵四边形是正方形，是的中点，∴是的中点.
又∵是中点，∴.
∵平面平面，
∴平面.
由（1）知平面，且，
∴平面平面.
【点睛】
本题主要考查证明线面平行与面面平行，熟记线面平行的判定定理以及面面平行的判定定理即可，属于常考题型.
18．如图，在三棱柱中，、分别是棱，的中点，求证：
（1）平面；
（2）平面平面．
【答案】（1）见证明；（2）见证明
【解析】
【分析】
（1）设与的交点为，连结，证明，再由线面平行的判定可得平面；
（2）由为线段的中点，点是的中点，证得四边形为平行四边形，得到，进一步得到平面．再由平面，结合面面平行的判定可得平面平面．
【详解】
证明：（1）设与的交点为，连结，
∵四边形为平行四边形，∴为中点，
又是的中点，∴是三角形的中位线，则，
又∵平面，平面，
∴平面；
（2）∵为线段的中点，点是的中点，
∴且，则四边形为平行四边形，
∴，
又∵平面，平面，
∴平面．
又平面，，且平面，平面，
∴平面平面．
【点睛】
本题考查直线与平面，平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
19．如图，在正方体中，?分别是平面?平面的中心，证明:
（1）平面；
（2）平面平面.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
【分析】
(1)证明即可.
(2)根据(1)中的结论再证明即可.
【详解】
（1）由是正方体,可知,,∵平面,平面,∴平面.
（2）由是正方体,可知,,
∵平面,年平面,
∴平面,由（1）知,平面,又,
∴平面平面.
【点睛】
本题主要考查了线面平行与面面平行的证明,属于基础题.
20．如图，矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，，分别是的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的正切值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）由几何关系可知四边形是平行四边形，则．
由线面平行的判定定理可得平面．
由中位线的性质可知，则面
利用面面平行的判定定理即可证得平面平面．
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，计算可得平面的一个法向量．而平面的一个法向量为．据此可得，然后结合同角三角函数基本关系求解二面角的正切值即可.
【详解】
（1）因为是的中点，，所以．
又因为，
，所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以．
又因为平面平面，所以平面．
因为分别是的中点，所以．
又因为平面平面，所以面
又因为平面平面，所以平面平面．
（2）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则，
所以．
设平面的一个法向量为，则，令，得，
所以．
易知平面的一个法向量为．
所以．
又因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的正切值．
【点睛】
本题主要考查面面平行的判定定理，空间向量处理面面角的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
试卷第1页，总3页
