1.2.1 函数的概念 导学案

1．2　函数及其表示
1.2.1　函数的概念
Q　
某人到一个水果店去买西瓜，价格表上写的是：6斤以下，每斤0.4元，6斤以上9斤以下，每斤0.5元；9斤以上，每斤0.6元．此人挑了一个西瓜，称重后店主说5元1角，1角就不要了，给5元吧．可这位聪明的顾客马上说，你不仅没少要，反而多收了我的钱．当顾客讲出理由，店主只好承认了错误，照实收了钱．同学们，你知道顾客是怎么晓得店主骗人的吗？
X　
1．函数的概念
定义
设A、B是非空的__数集__，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的__任意一个数x__，在集合B中都有__唯一确定__的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素
对应关系
y＝f(x)，x∈A
定义域
__x__的取值集合
值域
与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}.
[知识点拨]　(1)对数集的要求：集合A、B为非空数集．
(2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．
(3)对符号“f”的认识：它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．
(4)一个区别：f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值．
(5)函数三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，三者缺一不可．
2．区间及有关概念
(1)一般区间的表示．
设a，b∈R，且a定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
__[a，b]__
{x|a＜x＜b}
开区间
__(a，b)__
{x|a≤x＜b}
半开半
闭区间
[a，b)
{x|a＜x≤b}
半开半
闭区间
(a，b]
(2)特殊区间的表示.
定义
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x符号
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
[知识点拨]　(1)关注实心点、空心圈：用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点．
(2)区分开和闭：在用区间表示集合时，开和闭不能混淆．
(3)正确理解“∞”：“∞”是一个趋向符号，不是一个数，它表示数的变化趋势．以“－∞”和“＋∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号．
Y　
1．(2019·山东莒县一中高一期末测试)下列四个图形中，是函数图象的为(　D　)
A．③④　　　　　　
B．①
C．①②③
D．①③④
[解析]　由函数定义可知，对定义域内的任意一个自变量x的值，都有唯一的函数值y与其对应，图①③④满足函数的定义，故选D．
2．区间[5,8)表示的集合是(　C　)
A．{x|x≤5或x>8}
B．{x|5C．{x|5≤x<8}
D．{x|5≤x≤8}
[解析]　区间[5,8)表示的集合是{x|5≤x<8}，故选C．
3．已知f(x)＝2x＋1，则f(5)＝(　C　)
A．3
B．7
C．11
D．25
[解析]　f(5)＝2×5＋1＝11，故选C．
4．(2019·江苏，4)函数y＝的定义域是__[－1,7]__.
[解析]　要使函数y＝有意义，应满足7＋6x－x2≥0，
∴x2－6x－7≤0，∴(x－7)(x＋1)≤0，
∴－1≤x≤7，
∴函数y＝的定义域是[－1,7]．
5．已知f(x)＝，g(x)＝x2＋2.
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f[g(2)]的值；
(3)求f[g(x)]的解析式．
[解析]　(1)f(2)＝＝，g(2)＝22＋2＝6.
(2)f[g(2)]＝＝＝.
(3)f[g(x)]＝＝＝.
H　
命题方向1　?函数概念的理解
典例1　(1)下列对应或关系式中是A到B的函数的是(　B　)
A．A∈R，B∈R，x2＋y2＝1
B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：
C．A＝R，B＝R，f：x→y＝
D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
(2)设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数y＝f(x)的定义域为M，值域为N，对于下列四个图象，不可作为函数y＝f(x)的图象的是(　C　)
[思路分析]　(1)如何利用函数定义．对于集合A中的元素通过对应关系在集合B中有唯一元素与之对应进行判断．
(2)当对应关系用图象表示时，怎样判断是否为函数关系．
[解析]　(1)对于A项，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任x∈A，y值不唯一，故不符合．对于B项，符合函数的定义．对于C项，2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．对于D项，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．
(2)由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的函数．
『规律方法』　1.判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A，B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．
2．函数的定义中“任一x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．
〔跟踪练习1〕
下列对应是否为A到B的函数：
(1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；
(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；
(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝；
(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.
[解析]　(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；
(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与之对应，故是集合A到集合B的函数；
(3)A中元素负整数没有平方根，故在B中没有对应的元素，故此对应不是A到B的函数；
(4)对于集合A中一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与之对应故是集合A到集合B的函数．
命题方向2　?求函数的定义域
典例2　求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)f(x)＝－.
[思路分析]　→→
[解析]　(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足，即，解得x<0，且x≠－2.
故原函数的定义域为(－∞，－2)∪(－2,0)．
(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足，即.
故原函数的定义域为(－∞，1)∪(1,4]．
『规律方法』　求函数的定义域：
(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.
(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．
(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
〔跟踪练习2〕
(2019·吉林乾安七中高一期末测试)函数y＝的定义域是(　C　)
A．[－1，＋∞)
B．[－1,0]
C．(－1，＋∞)
D．(－1,0)
[解析]　要使函数y＝有意义，应满足x＋1>0，∴x>－1，
∴函数y＝的定义域为(－1，＋∞)．
命题方向3　?求函数值
典例3　(2019·安徽合肥高一期末测试)已知f(x)＝，x∈R.
(1)求f(2)，f()，f(3)，f()的值；
(2)求f(2)＋f(3)＋…＋f(2
018)＋f()＋f()＋…＋f()的值．
[思路分析]　(1)将x＝2，，3，代入f(x)＝计算即可；
(2)由(1)中求得f(2)，f()，f(3)，f()的值可得f(2)＋f()与f(3)＋f()的值是定值这一规律，再求得f(2)＋f(3)＋…＋f(2
018)＋f()＋f()＋…＋f()的值．
[解析]　(1)∵f(x)＝，
∴f(2)＝＝，f()＝＝，f(3)＝＝，f()＝＝.
(2)由(1)知，
f(2)＋f()＝1，f(3)＋f()＝1.
∴f(a)＋f()＝＋＝＋·＝＋＝1，
∴f(2)＋f(3)＋…＋f(2
018)＋f()＋f()＋…＋f()
＝f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋…＋f(2
018)＋f()
＝2
017.
『规律方法』　解题时要注意审题，观察分析、发现规律．
〔跟踪练习3〕已知函数f(x)＝，则f(1)＋＋…＋＝__－9__.
[解析]　＝＝＝－1，
∴＝＝…＝＝－1，
又∵f(1)＝0，
∴f(1)＋＋…＋＝－9.
Y　　求函数定义域时非等价化简解析式而致误　　
典例4　求函数y＝·的定义域．
[错解]　y＝·＝，由x2－4≥0，得x≥2或x≤－2.∴函数的定义域为{x|x≥2或x≤－2}．
[错因分析]　事实上，函数y＝·与y＝并不表示同一个函数，求函数定义域应根据原始条件的制约．
[正解]　由，得.即x≥2.∴函数的定义域为{x|x≥2}．
X　　求函数值域的方法——转化与化归思想及数形结合思想的应用　　
1．分离常数法
典例5　求函数y＝的值域．
[思路分析]　这种求函数值域的问题，我们常把它们化为y＝a＋的形式再求函数的值域．
[解析]　∵y＝＝＝3＋，
又∵≠0，∴y≠3.∴函数y＝的值域是{y|y∈R，且y≠3}．
『规律方法』　求y＝这种类型的函数的值域，应采用分离常数法，将函数化为y＝a＋的形式．
2．配方法
典例6　求函数y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域．
[思路分析]　这种题型，我们常利用配方法把它们化成y＝a(x＋b)2＋c的形式来求函数的值域．
[解析]　∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，x∈[－5，－2]，
∴其图象是开口向下，顶点为(－1,4)，在x∈[－5，－2]上对应的抛物线上的一段弧．
根据x∈[－5，－2]时的抛物线上升，则当x＝－5时，y取最小值，且ymin＝－12；当x＝－2时，y取最大值，且ymax＝3.
故y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域是[－12,3]．
『规律方法』　遇到求解一般二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域时，应采用配方法，将函数化为y＝a(x＋)2＋的形式，从而求得函数的值域．
3．换元法
典例7　求函数y＝x＋的值域．
[思路分析]　忽略常数系数，则x与隐含二次关系，若令＝t，则x＝(t2＋1)，于是函数转化为以t为自变量的二次函数，由于原函数的定义域由有意义确定，故t的允许取值范围就是的取值范围．
[解析]　设u＝(x≥)，则x＝(u≥0)，
于是y＝＋u＝(u≥0)．由u≥0知(u＋1)2≥1，则y≥.
故函数y＝x＋的值域为[，＋∞)．
『规律方法』　求解带根号且被开方式为一次式的函数的值域，直接求解很困难，既费时又费力，所以遇到这样的问题，我们要想到用一个字母代换掉带根号的式子．值得注意的是，在代换过程中，要注意新变量的取值范围．
K　
1．下列表格中的x与y能构成函数的是(　C　)
A．
x
非负数
非正数
y
1
－1
　B．
x
奇数
0
偶数
y
1
0
－1
C．
x
有理数
无理数
y
1
－1
D．
x
自然数
整数
有理数
y
1
0
－1
[解析]　A中，0既是非负数又是非正数；B中，0又是偶数；D中，自然数也是整数，也是有理数，故选C．
2．(2019·山东莒县一中高一期末测试)下列各组函数中，表示同一函数的是(　A　)
A．y＝x与y＝　　
B．y＝x2与y＝
C．y＝1与y＝(x－1)0
D．y＝|x|与y＝()2
[解析]　选项B、C、D中两函数的定义域不同，只有A中的两函数是同一函数．
3．(2019·江苏苏州市高一期末测试)函数f(x)＝的定义域为(　D　)
A．(1，＋∞)
B．[1，＋∞)
C．[1,2)
D．[1,2)∪(2，＋∞)
[解析]　要使函数有意义，应满足，
∴x≥1且x≠2，故选D．
4．(2019·安徽合肥众兴中学高一期末测试)已知f(x)＝2x＋3，f(m)＝6，则m＝____.
[解析]　∵f(x)＝2x＋3，∴f(m)＝2m＋3＝6，
∴2m＝3，∴m＝.
5．已知函数f(x)＝2x＋a，g(x)＝(x2＋3)，若g[f(x)]＝x2＋x＋1，求a的值．
[解析]　∵f(x)＝2x＋a，g(x)＝(x2＋3)，
∴g[f(x)]＝g(2x＋a)＝[(2x＋a)2＋3]
＝x2＋ax＋(a2＋3)．
又∵g[f(x)]＝x2＋x＋1，
∴x2＋ax＋(a2＋3)＝x2＋x＋1，
故a＝1.
A级　基础巩固
一、选择题
1．下列四种说法中，不正确的是(　B　)
A．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应
B．函数的定义域和值域一定是无限集合
C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了
D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素
[解析]　由函数定义域、值域、对应关系的相关知识，易知选B．
2．已知区间，则实数a满足的条件是(　D　)
A．a∈R　　　　　　　　
B．a≤－1
C．a≥－1
D．a>－1
[解析]　由题意得2a＋1>a，∴a>－1，故选D．
3．函数y＝2x＋1，x∈N
，且2≤x≤4，则函数的值域是(　C　)
A．(5,9)
B．[5,0]
C．{5,7,9}
D．{5,6,7,8,9}
[解析]　由题意，函数的定义域为{2,3,4}，当x＝2时，y＝5；当x＝3时，y＝7；当x＝4时，y＝9，所以函数的值域为{5,7,9}．
4．集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数是(　C　)
A．f：x→y＝x　　　　
B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x
D．f:
x→y＝
[解析]　对于选项C，当x＝4时，y＝＞2不合题意．故选C．
5．函数f(x)对于任意实数x满足f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，则f[f(5)]＝(　C　)
A．2
B．5
C．－5
D．－
[解析]　∵f(x＋2)＝，∴f(x)＝，
∴f(1)＝＝－5，∴f(3)＝－.
∴f(5)＝＝－5.
6．函数y＝f(x)的图象与直线x＝m的交点个数为(　C　)
A．可能有无数个　　
B．只有一个
C．至多一个
D．至少一个
[解析]　根据函数定义，一个自变量x只能对应一个函数值y，而y＝f(x)的定义域中不一定含有m.
二、填空题
7．已知函数f(x)＝，又知f(t)＝6，则t＝__－__.
[解析]　f(t)＝＝6.∴t＝－.
8．已知f(x)＝2x－1，则f[f(2)]＝__5__.
[解析]　∵f(x)＝2x－1，∴f(2)＝2×2－1＝3，
∴f[f(2)]＝f(3)＝2×3－1＝5.
三、解答题
9．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝＋.
[解析]　(1)要使函数有意义，须使x＋2≠0，
∴x≠－2，∴函数f(x)的定义域为{x|x≠－2}．
(2)要使函数有意义，须使3x＋2≥0，∴x≥－，
∴函数f(x)的定义域为{x|x≥－}．
(3)要使函数有意义，须使，∴x≥－1且x≠3，∴函数f(x)的定义域为{x|x≥－1且x≠3}．
B级　素养提升
一、选择题
1．设函数f(x)＝3x2－1，则f(a)－f(－a)的值是(　A　)
A．0
B．3a2－1
C．6a2－2
D．6a2
[解析]　∵f(x)＝3x2－1，
∴f(a)－f(－a)＝3a2－1－[3(－a)2－1]＝3a2－1－3a2＋1＝0.
2．A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是(　B　)
[解析]　A、C、D的值域都不是[1,2]，故选B．
3．函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝的定义域为N，则M∩N＝(　B　)
A．[－1，＋∞)
B．[－1，)
C．(－1，)
D．(－∞，)
[解析]　∵M＝{x|x<}，N＝{x|x≥－1}，
∴M∩N＝{x|－1≤x<}．
故选B．
4．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：则方程g[f(x)]＝x的解集为(　C　)
x
1
2
3
f(x)
2
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
A．{1}
B．{2}
C．{3}
D．?
[解析]　由题意可知，当x＝1时，g[f(1)]＝g(2)＝2，不满足方程；
当x＝2时，g[f(2)]＝g(3)＝1，不满足方程；
当x＝3时，g[f(3)]＝g(1)＝3，满足方程，故选C．
二、填空题
5．若函数f(x)＝ax2－1，a为正常数，且f[f(－1)]＝－1，则a的值是__1__.
[解析]　f(－1)＝a－1，∴f[f(－1)]＝f(a－1)＝a(a－1)2－1＝－1，
∴a(a－1)2＝0，
又∵a>0，∴(a－1)2＝0，∴a＝1.
6．函数y＝(1≤x≤3)的值域为__[，8]__.
[解析]　∵1≤x≤3，∴1≤x2≤9，
∴≤≤1，
∴≤≤8，
∴函数y＝(1≤x≤3)的值域为[，8]．
三、解答题
7．已知函数f(x)＝x＋.
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．
[解析]　(1)要使函数有意义，必须使x≠0，
∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)f(－1)＝－1＋＝－2，f(2)＝2＋＝.
(3)当a≠－1时，a＋1≠0，∴f(a＋1)＝a＋1＋.
8．已知f(x)＝x＋1，g(x)＝x2，求f[g(x)]，g[f(x)]．
[解析]　∵f(x)＝x＋1，g(x)＝x2，
∴f[g(x)]＝f(x2)
＝x2＋1.
g[f(x)]＝g(x＋1)＝(x＋1)2＝x2＋2x＋1.
9．已知函数f(x)＝x2－x＋，是否存在实数m，使得该函数在x∈[1，m]时，f(x)的取值范围也是[1，m](m>1)？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
[解析]　f(x)＝x2－x＋＝(x－1)2＋1的图象是一条抛物线，它的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1,1)，开口向上，若存在实数m，使该函数在x∈[1，m]时，f(x)的取值范围也是[1，m]，则需m>1，且f(m)＝m，
即m2－m＋＝m，即m2－4m＋3＝0，
解得m＝3或m＝1(舍去m＝1)．
故存在实数m＝3满足条件．