1.2.2　函数的表示法 第一课时 师 教案

1.2.2　函数的表示法
第一课时　函数的表示法
Q　
如果一个人极有才华，我们会用“才高八斗”来形容他；如果一个人兼有文武才能，我们会用“出将入相”来形容他；如果一个人是稀有而可贵的人才，我们会用“凤毛麟角”来形容他；如果一个人品行卓越，天下绝无仅有，我们会用“斗南一人”来形容他．那么对于函数，又有哪些不同的表示方法呢？
X　
函数的表示法
表示法
定义
解析法
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式
图象法
以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数y＝f(x)的图象，这种用__图象__表示两个变量之间对应关系的方法叫做图象法
列表法
列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种列出__表格__来表示两个变量之间对应关系的方法叫做列表法
[知识点拨]　三种表示法的优缺点如下表：
表示法
优点
缺点
解析法
简明、全面地概括了变量之间的关系，且利用解析式可求任一自变量对应的函数值
不够形象直观，而且并不是所有函数都有解析式
图象法
能形象直观地表示变量的变化情况
只能近似地求出自变量所对应的函数值
列表法
不需计算可以直接看出与自变量对应的函数值
只能表示有限个数的自变量所对应的函数值
Y　
1．已知f(x)＝π(x∈R)，则f(π2)等于(　B　)
A．π2　　　　　　　　　
B．π
C．
D．不确定
[解析]　因为π2∈R，所以f(π2)＝π.
2．某同学在一学期的5次大型考试中的数学成绩(总分120分)如下表所示：
考试次数x
1
2
3
4
5
成绩y(分)
90
102
106
105
106
则下列说法正确的是(　B　)
A．成绩y不是考试次数x的函数
B．成绩y是考试次数x的函数
C．考试次数x是成绩y的函数
D．成绩y不一定是考试次数x的函数
[解析]　把考试次数组成的集合看作A＝{1,2,3,4,5}，成绩组成的集合看作B＝{90,102,105,106}，
∴集合A中的任一个数在集合B中有唯一一个数与之对应，
∴成绩y是考试次数x的函数．
3．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是(　C　)
A．(－∞，1)∪(1，＋∞)
B．R
C．(－∞，0)∪(0，＋∞)
D．(－1,0)
[解析]　由图象，知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．
4．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f[f(3)]的值等于__2__.
[解析]　据图象，知f(3)＝1，所以f[f(3)]＝f(1)＝2.
H　
命题方向1　?函数的三种表示方法
典例1　某商场新进了10台彩电，每台售价3
000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
[思路分析]　函数的定义域是{1,2,3，…，10}，值域是{3
000，6
000,9
000，…，30
000}，可直接列表、画图表示．分析题意得到表达y与x关系的解析式，注意定义域．
[解析]　(1)列表法：
x(台)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y(元)
3
000
6
000
9
000
12
000
15
000
18
000
21
000
24
000
27
000
30
000
(2)图象法：如图所示：
(3)解析法：y＝3
000x，x∈{1,2,3，…，10}．
『规律方法』　列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在应用三种方法表示函数时要注意：
(1)解析法：必须注明函数的定义域；
(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；
(3)图象法：是否连线．
〔跟踪练习1〕
将一条长为10
cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形．试用多种方法表示两个正方形的面积之和S与其中一段铁丝长x的函数关系．(x属于正整数集)
[解析]　(1)解析法：S＝()2＋()2.
将上式整理得S＝x2－x＋，x∈{x|1≤x<10，x∈N
}．
(2)列表法：
一段铁丝长x(cm)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
两个正方形的面
积之和S(cm2)
(3)图象法：
命题方向2　?与函数图象有关的问题
典例2　作出下列函数的图象并求出其值域．
(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
[思路分析]　(1)画函数的图象时首先要注意的是什么？
(2)所给三个函数的大致图象分别是什么形式的？
[解析]　(1)列表：
x
0
1
2
y
1
2
3
4
5
当x∈[0,2]时，图象是直线的一部分，观察图象可知，其值域为[1,5]．
(2)列表
x
2
3
4
5
…
y
1
…
当x∈[2，＋∞)，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]．
(3)列表
x
－2
－1
0
1
2
y
0
－1
0
3
8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．
由图可得函数的值域是[－1,8]．
『规律方法』　(1)常见函数图象的特征：
①一次函数y＝kx＋b(k≠0)是一条直线；
②y＝(k≠0)是与坐标轴无限接近的双曲线；
③y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是顶点为(－，)，对称轴为x＝－的抛物线．
(2)作函数图象时应注意以下几点：
①在定义域内作图；
②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；
③要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．
〔跟踪练习2〕
作出下列函数的图象，并指出其值域．
(1)y＝x2＋x(－1≤x≤1)；
(2)y＝(－2≤x≤1，且x≠0)．
[解析]　(1)用描点法可以作出函数的图象如图．
由图可知y＝x2＋x(－1≤x≤1)的值域为[－，2]．
(2)用描点法可以作出函数的图象如图．
由图可知y＝(－2≤x≤1，且x≠0)的值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
Y　　换元求解析式时忽略自变量的取值范围致误　　
典例3　已知f()＝3－x，求f(x)的解析式．
[错解]　令＝t，则x＝t2＋1，
所以f(t)＝3－(t2＋1)＝2－t2，即有f(x)＝2－x2.
[错因分析]　本例的错误是由于忽视了已知条件中“f”作用的对象“”是有范围限制的．利用换元法求函数的解析式时，一定要注意换元后新元的限制条件．
[正解]　令＝t，则t≥0，且x＝t2＋1，
所以f(t)＝3－(t2＋1)＝2－t2(t≥0)，即f(x)＝2－x2(x≥0)．
[警示]　利用换元法求函数解析式时，一定要注意保持换元前后自变量的范围不变．
X　　求函数解析式的常用方法　　
1．待定系数法
已知函数类型(如一次、二次、正比例、反比例函数等)，可先设出函数解析式，再依据所给条件，确定待定系数．
典例4　已知f(x)为二次函数，其图象的顶点坐标为(1,3)，且过原点，求f(x)的解析式．
[思路分析]　已知二次函数f(x)的顶点坐标，可设顶点(配方)式，再利用其他条件确定待定系数．
[解析]　由于函数图象的顶点坐标为(1,3)，则设f(x)＝a(x－1)2＋3(a≠0)．
∵函数图象过原点(0,0)，∴a＋3＝0，∴a＝－3.
故f(x)＝－3(x－1)2＋3.
即f(x)＝－3x2＋6x.
『规律方法』　(1)一次函数可设为y＝kx＋b(k≠0)，正比例函数可设为y＝kx(k≠0)；反比例函数可设为y＝(k≠0)；已知二次函数f(x)的顶点或对称轴、最值时，可设顶点式f(x)＝a(x＋m)2＋n；已知二次函数与x轴两交点坐标时，常设分解(标根)式f(x)＝a(x－x1)(x－x2)．已知f(x)的图象过某三点时，常设一般式f(x)＝ax2＋bx＋c；
(2)凡是已知函数(或方程、不等式等)的形式时，常用待定系数法求解．
2．恒成立的应用
一般地，若f(x)与g(x)是同类型的函数(或具有相同的表达式)，f(x)＝g(x)恒成立，则f(x)与g(x)的对应项系数相等．
典例5　已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)．
[解析]　由题意可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17，
∴，∴a＝2，b＝7.∴f(x)＝2x＋7.
典例6　已知f(x)＋2f(－x)＝x＋1，求f(x)的解析式．
[思路分析]　这是关于x的一个恒等式，由于x∈R，∴对任意x∈R，此等式都成立，当x∈R时，－x∈R，因此上述等式对－x也成立．用－x代替原等式中的x，可构造关于f(x)与f(－x)的方程组求解．
[解析]　因为f(x)＋2f(－x)＝x＋1，对任意x∈R都成立，所以用－x替换x，得f(－x)＋2f(x)＝－x＋1，由以上两式可解得f(x)＝－x＋.
K　
1．如图，函数f(x)的图象是折线段，其中点A，B，C的坐标分别是(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f[f(2)]＝(　C　)
A．0　　　　　　　　
B．2
C．4
D．6
[解析]　由图象可得f[f(2)]＝f(0)＝4.
2．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为(　A　)
A．{－1,0,3}
B．{0,1,2,3}
C．{y|－1≤y≤3}
D．{y|0≤y≤3}
[解析]　把x＝0,1,2,3分别代入y＝x2－2x中得y的值共三个为－1,0,3，故值域为{－1,0,3}．
3．某人开车去某地旅行，先沿直线匀速前行了a
km，到达目的地后游玩了一段时间，又原路返回匀速行驶了b
km(bkm，则此人距起点的距离s与时间t的关系示意图正确的是(　C　)
[解析]　注意理解两坐标轴s，t的含义，这里s是指距起点的距离，不是路程的累加，结合题意可知C符合．故选C．
4．一个面积为100
cm2的等腰梯形，上底长为x
cm，下底长为上底长的3倍，则它的高y与x的函数关系为__y＝(x＞0)__.
[解析]　由梯形的面积公式有100＝·y，
得y＝(x>0)．
5．已知函数f(x)＝ax＋b，且f(－1)＝－4，f(2)＝5，
求：(1)a，b的值；(2)f(0)的值．
[解析]　(1)由，得，
解得a＝3，b＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝3x－1，所以f(0)＝－1.
一、选择题
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于(　C　)
x
1≤x<2
2
2f(x)
1
2
3
A．1　　　　　　　　
B．2
C．3
D．不存在
[解析]　∵2f(x)＝3，∴f(3)＝3，故选C．
2．已知y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为(　C　)
A．y＝
B．y＝－
C．y＝
D．y＝－
[解析]　设y＝，由1＝得，k＝2，因此，y关于x的函
数关系式为y＝.
3．一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为(　D　)
A．y＝20－2x
B．y＝20－2x(0＜x＜10)
C．y＝20－2x(5≤x≤10)
D．y＝20－2x(5＜x＜10)
[解析]　由题意得y＋2x＝20，∴y＝20－2x.
又∵2x＞y，∴2x＞20－2x，即x＞5.由y＞0，即20－2x＞0得x＜10，∴5＜x＜10.故选D．
4．若f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的表达式为(　B　)
A．g(x)＝2x＋1
B．g(x)＝2x－1
C．g(x)＝2x－3
D．g(x)＝2x＋7
[解析]　∵g(x＋2)＝f(x)＝2x＋3，
令x＋2＝t，∴x＝t－2，
∴g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1，
∴g(x)＝2x－1.
5．观察下表：
x
－3
－2
－1
1
2
3
f(x)
4
1
－1
－3
3
5
g(x)
1
4
2
3
－2
－4
则f[g(3)－f(－1)]＝(　B　)
A．3
B．4
C．－3
D．5
[解析]　由题表知，g(3)－f(－1)＝－4－(－1)＝－3，
∴f[g(3)－f(－1)]＝f(－3)＝4.
6．若f()＝，则当x≠0，且x≠1时，f(x)＝(　B　)
A．
B．
C．
D．－1
[解析]　f()＝＝
∴f(x)＝，故选B．
二、填空题
7．已知函数f(x)是反比例函数，且f(－1)＝2，则f(x)＝__－__.
[解析]　设f(x)＝(k≠0)，
∴f(－1)＝－k＝2，∴k＝－2，
∴f(x)＝－.
8．已知g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝(x≠0)，则f()等于__15__.
[解析]　令g(x)＝1－2x＝，∴x＝，
∴f()＝f[g()]＝＝15.
三、解答题
9．作出下列函数的图象．
(1)y＝＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．
[解析]　(1)函数y＝＋1，x∈{1,2,3,4,5}是由(1，)，(2,2)，(3，)，(4,3)，(5，)五个孤立的点构成，如图．
(2)因为0≤x<3，所以这个函数的图象是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x<3之间的一段曲线，且y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3，如图所示．
10．已知函数f(x)＝(a，b为常数，且a≠0)满足f(2)＝1，且f(x)＝x有唯一解，求函数y＝f(x)的解析式和f[f(－3)]的值．
[解析]　因为f(2)＝1，所以＝1，
即2a＋b＝2，①
又因为f(x)＝x有唯一解，即＝x有唯一解，所以ax2＋(b－1)x＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(b－1)2＝0，即b＝1.代入①得a＝.
所以f(x)＝＝，所以f(－3)＝＝6，
所以f[(f(－3)]＝f(6)＝＝.