1.2.2 第二课时 分段函数与映射 师 教案

第二课时　分段函数与映射
Q　
某魔术师猜牌的表演过程是这样的，表演者手中持有六张扑克牌，不含王牌和牌号数相同的牌，让6位观众每人从他手里任意摸一张，并嘱咐摸牌时看清和记住自己的牌号，牌号数是这样规定的，A为1，J为11，Q为12，K为13，其余的以牌上的数字为准，然后，表演者让他们按如下的方法进行计算，将自己的牌号乘2加3后乘5，再减去25，把计算结果告诉表演者(要求数值绝对准确)，表演者便能立即准确地猜出谁拿的是什么牌，你能说出其中的道理吗？
X　
1．分段函数
所谓分段函数，是指在定义域的不同部分，有不同的对应关系的函数．
[知识点拨]　分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
2．映射
(1)定义：一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有__唯一确定__的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合__A__到集合__B__的一个映射．
[知识点拨]　满足下列条件的对应f：A→B为映射：
(1)A，B为非空集合；
(2)有对应法则f；
(3)集合A中的每一个元素在集合B中均有唯一元素与之对应．
(2)映射与函数的关系：函数是特殊的映射，即当两个集合A，B均为__非空数集__时，从A到B的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数，映射是函数的推广．
[知识点拨]　函数新概念，记准三要素；定义域，值域，关系式相连；函数表示法，记住也不难；图象和列表，解析最常见；函数变映射，只是数集变；不再是数集，任何集不限．
Y　
1．下列对应不是映射的是(　D　)
[解析]　结合映射的定义可知A，B，C均满足M中任意一个数x，在N中有唯一确定的y与之对应，而D中元素1在N中有a，b两个元素与之对应，故不是映射．
2．函数y＝|x|的图象是(　B　)
[解析]　因为y＝|x|＝所以B选项正确．
3．(2019·江西宜丰中学高一期末测试)已知集合A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b是从A到B的映射，若1和8的原象分别是3和10，则5在f下的象是(　A　)
A．3　　　　　　
B．4
C．5
D．6
[解析]　由题意得，
解得.
∴y＝x－2，∴5在f下的象是5－2＝3.
4．已知集合A＝{a，b}，B＝{m，n}，则从集合A到集合B的映射的个数为__4__.
[解析]　由题意可知，从集合A到集合B的映射如下，
共有4个映射．
5．(2019·江苏徐州高一期中测试)已知f(x)＝，则f[f(－3)]的值为__－3__.
[解析]　∵f(x)＝，
∴f(－3)＝1，
∴f[f(－3)]＝f(1)＝－3.
H　
命题方向1　?分段函数的求值问题
典例1　已知函数f(x)＝.
(1)求f(－4)，f(3)，f[f(－2)]；
(2)若f(a)＝10，求a的值．
[思路分析]　分段函数的解析式?求函数值或已知函数值列方程求字母的值．
[解析]　(1)f(－4)＝－4＋2＝－2，
f(3)＝2×3＝6，f(－2)＝－2＋2＝0，
f[f(－2)]＝f(0)＝02＝0.
(2)当a≤－1时，a＋2＝10，可得a＝8，不符合题意；
当－1当a≥2时，2a＝10，可得a＝5，符合题意；
综上可知，a＝5.
『规律方法』　求分段函数函数值的方法
(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间．
(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．
当出现f[f(x0)]的形式时，应从内到外依次求值．
〔跟踪练习1〕
已知f(x)＝，则f(5)的值是(　A　)
A．24　　　
B．21
C．18
D．16
[解析]　f(5)＝f[f(10)]，f(10)＝f[f(15)]＝f(18)＝21,
f(5)＝f(21)＝24.
命题方向2　?映射的概念
典例2　判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射：
(1)A＝N
，B＝N
，对应关系f：x→|x－3|；
(2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系f；作圆的内接矩形；
(3)A＝{高一(1)班的男生}，B＝R，对应关系f：每个男生对应自己的身高；
(4)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤6}，对应关系f：x→y＝x.
[思路分析]　(1)从集合A到B的映射中元素是怎样对应的？
(2)怎样判断一个对应是映射？
[解析]　(1)A中元素3在对应关系f的作用下与3的差的绝对值为0，而0?B，故不是映射．
(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射．
(3)对A中任何一个元素，按照对应关系f，在B中都有唯一的元素与之对应，符合映射定义，是映射．
(4)因为A中每一个元素在f：x→y＝x作用下对应的元素构成的集合C＝{y|0≤y≤1}?B，符合映射定义，是映射．
『规律方法』　(1)映射是一种特殊的对应，它具有：①方向性：映射是有次序的，一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的；②唯一性：集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，可以是：一对一，多对一，但不能一对多．
(2)映射的判断方法
依据映射的定义：先看集合A中每一个元素在集合B中是否均有对应元素．若有，看对应元素是否唯一；集合B中有剩余元素不影响映射的成立．对应是一对一或多对一．
〔跟踪练习2〕
已知A＝{1,2,3，…，9}，B＝R，从集合A到集合B的映射f：x→.
(1)与A中元素1相对应的B中的元素是什么？
(2)与B中元素相对应的A中的元素是什么？
[解析]　(1)A中元素1，即x＝1，代入对应关系，得＝＝，即与A中元素1相对应的B中的元素是.
(2)B中元素，即＝，解得x＝4，因此与B中元素相对应的A中的元素是4.
命题方向3　?分段函数的图象及应用
典例3　已知函数f(x)＝1＋(－2(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；
(2)画出函数f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域．
[思路分析]　先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，再利用描点法作出函数图象．
[解析]　(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1；
当－2所以f(x)＝.
(2)函数f(x)的图象如图所示．
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
『规律方法』　1.由分段函数的图象确定函数解析式的步骤
(1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型．
(2)设函数式：设出函数的解析式．
(3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式．
(4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围．
2．作分段函数图象的注意点
作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点．
〔跟踪练习3〕
已知函数f(x)＝.
(1)画出函数的图象；
(2)若f(x)＝1，求x的值．
[解析]　(1)函数图象如图所示．
(2)由f(x)＝1和函数图象综合判断可知，当x∈(－∞，1)时，得f(x)＝－2x＋1＝1，解得x＝0；
当x∈[1，＋∞)时，得f(x)＝x2－2x＝1，解得x＝1＋或x＝1－(舍去)．
综上可知x的值为0或1＋
.
Y　　分段函数概念的理解错误．　　
典例4　求函数f(x)＝的定义域．
[错解]　∵x≥0时，f(x)＝x2－1，x<0时，
f(x)＝x，
∴当x≥0时，f(x)的定义域为[0，＋∞)，
当x<0时，f(x)的定义域为(－∞，0)．
[错因分析]　错解的原因是对分段函数概念不理解，认为分段函数f(x)＝是两个函数．
[正解]　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪[0，＋∞)，即(－∞，＋∞)，∴函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．
X　　　
建模应用能力
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．
主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题.
数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式．数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力.
在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验．
学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新意识．
典例5　如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P运动的路程为x，△APB的面积为y.
(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)；
(2)画出y＝f(x)的图象；
(3)若△APB的面积不小于2，求x的取值范围．
[思路分析]　(1)点P位置不同△ABP的形状一样吗？
(2)注意该函数的定义域．
[解析]　(1)y＝.
(2)y＝f(x)的图象如图所示．
(3)即f(x)≥2，当0≤x≤4时，2x≥2，∴x≥1，当8∴x≤11，∴x的取值范围是1≤x≤11.
[点评]　(3)可以作直线y＝2与函数y＝f(x)的图象交于点A(1,2)，B(11,2)，要使y≥2，应有1≤x≤11.
『规律方法』　利用分段函数求解实际应用题的策略
(1)首要条件：把文字语言转换为数学语言．
(2)解题关键：建立恰当的分段函数模型．
(3)思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法．
K　
1．在如图的对应关系中，哪些对应不是集合A到集合B的映射(　D　)
A．①②　　　　　　　　
B．①④
C．②⑤
D．①②③
[解析]　由图知①②中元素a1在B中对应元素不唯一，③中元素a2，a3在B中无象，都不是映射，④⑤是映射，故选D．
2．已知函数f(x)中，f(1)＝0，且对任意n∈N
，都有f(n＋1)＝f(n)＋3，则f(3)＝(　C　)
A．0　　　　　　　　
B．3
C．6
D．9
[解析]　f(3)＝f(2)＋3＝f(1)＋6＝6.
3．函数f(x)＝，若f(x)＝3，则x的值为(　D　)
A．1　　
B．1或　　　
C．　　
D．
[解析]　当x≤－1时，由x＋2＝3，得x＝1(舍)；当－14．设f：x→ax－1为从集合A到B的映射，若f(2)＝3，则f(3)＝__5__.
[解析]　f(2)＝2a－1＝3，
∴a＝2，∴f(x)＝2x－1，
∴f(3)＝5.
5．已知函数f(x)＝.求f[f()]的值．
[解析]　f()＝×2－3＝－2，f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，
∴f[f()]＝f(－2)＝－1.
一、选择题
1．设f(x)＝，则f[f(－1)]＝(　A　)
A．3　　
B．1　　　
C．0　　
D．－1
[解析]　∵x<0时，f(x)＝1，
∴f(－1)＝1，∴f[f(－1)]＝f(1)，
又∵x≥0时，f(x)＝x＋2，
∴f(1)＝1＋2＝3.故选A．
2．设函数f(x)＝，则f[]的值为(　A　)
A．
B．－
C．
D．18
[解析]　∵x>1时，f(x)＝x2＋x－2，
∴f(2)＝22＋2－2＝4，∴＝∴f[]＝f()，
又∵x≤1时，f(x)＝1－x2，
∴f()＝1－()2＝1－＝，
故选A．
3．某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3
km)，以后每1
km价为1.8元(不足1
km按1
km计价)，则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图象大致为下列图中的(　B　)
[解析]　由已知得y＝.故选B．
4．已知映射f：A→B，其中A＝B＝R，对应为f：x→y＝x2－2x＋2，若对实数k∈B，在集合A中没有元素对应，则k的取值范围是(　B　)
A．(－∞，1]
B．(－∞，1)
C．(1，＋∞)
D．[1，＋∞)
[解析]　设k＝x2－2x＋2即x2－2x＋2－k＝0，k没有元素对应即上述方程无解Δ＜0，(－2)2－4(2－k)＜0，∴k＜1，故选B．
5．设f(x)＝，g(x)＝，则f[g(π)]的值为(　B　)
A．1　　　　　　　　　　
B．0
C．－1
D．π
[解析]　由题设，g(π)＝0，f[g(π)]＝f(0)＝0.故选B．
6．函数f(x)＝的值域是(　D　)
A．R
B．[0，＋∞)
C．[0,3]
D．[0,2]∪{3}
[解析]　作出y＝f(x)的图象，如图所示．由图象知，f(x)的值域是[0,2]∪{3}，故选D．
二、填空题
7．设函数f(x)＝，若f(x0)＝8，则x0＝__－或4__.
[解析]　当x0≤2时，x＋2＝8，∴x＝6，∴x0＝±，
∵x0≤2，∴x0＝－.
当x0>2时，2x0＝8，
x0＝4.
综上可知x0＝－或4.
8．已知f(x)＝，则不等式xf(x)＋x≤2的解集是__{x|x≤1}__.
[解析]　当x≥0时，f(x)＝1，由xf(x)＋x≤2，知x≤1，∴0≤x≤1；
当x＜0时，f(x)＝0，知x≤2，∴x＜0.
综上，不等式的解集为{x|x≤1}．
三、解答题
9．若方程x2－4|x|＋5＝m有4个互不相等的实数根，求m的取值范围．
[解析]　令f(x)＝.
作其图象，如图所示
由图可知1