（北师大版）2021年暑假广东省揭阳市三木教育机构八年级数学上册第一学周检测卷：第一章 勾股定理（Word版 含解析）

2021年暑假广东省揭阳市三木教育机构八年级数学上册第一学周检测卷：第一章勾股定理（北师大版）
一、选择题
1.以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是（ ??）
A.?3， 4，5????????????B.?? 13，5，12????????????C.?5，6，7??????????D.?41，40，9
2.如图是小军设计的一面彩旗，其中 ∠ACB=90° ， ∠D=15° ，点 A 在 CD 上， AD=AB=4m ，则 AC 的长为（?? ）
A.?2m?????????????????B.?23m???????????????????C.?4m???????????????D.?8m
3.若 Rt△ABC 的两边长a，b满足 (a-4)2+b-3=0 ，则第三边的长是（?? ）
A.?5?????????????????B.?7???????????????????????C.?5或7??????????????D.?5或 7
4.如图所示，数轴上与点A所对应的实数为a，则 a+1 的值为（ ??）
A.?-5-1???????????????????B.?-5+1????????????C.?-5????????????D.?5-1
5.在 △ABC 中，已知 AC:BC:AB=5:12:13 ，AD是 △ABC 的角平分线， DE⊥AB 于点E.若 △ABC 的面积为S，则 △ACD 的面积为（?? ）
A.?14S????????????????B.?518S????????????????????C.?625S??????????????????????????D.?725S
6.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度x（罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计）范围是（? ）
A.?12≤x≤13??????????????B.?12≤x≤15?????????????????C.?5≤x≤12?????????????D.?5≤x≤13
7.等腰三角形一腰长为5，这一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边长为（?? ）
A.?10??????????????????B.?310???????????C.?310 或 10????????????D.?4或 310
8.如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF ， 若BC＝1，则AB的长度为（?? ）
A.?2??????????????????????B.?2+12????????????????C.?5+12?????????????????????D.?43
9.如图，以直角三角形的一条直角边和斜边为一边作正方形M和N，它们的面积分别为9cm2和25cm2 ， 则直角三角形的面积为（? ）
A.?6cm2????????????????????????B.?12cm2???????C.?24cm2??????????????D.?3cm2
10.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于D，DE 垂直平分AB交AB 于E。若 DE=0.5AD=1.5cm，则 BC=(???? )
A.?3 cm?????????????????????B.?7.5 cm????????????????C.?6 cm??????????????????D.?4.5 cm
二、填空题
11.如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是________cm.
12.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别为 S1 ， S2 ，则 S1 + S2 =________.
13.已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE＝CD＝1，连接DE，则DE等于________.
14.如图所示，等腰三角形ABC的底边为8cm，腰长为5cm ，一动点P（与B、C不重合）在底边上从B向C以1cm/s的速度移动，当P运动________秒时，△ACP是直角三角形
15.一个直角三角形面积为3，斜边长 13 ，则这个直角三角形的周长为________．
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E是AB边上一点．将△CEB沿直线CE折叠到△CEF ， 使点B与点F重合．当CF⊥AB时，线段EB的长为________．
17.如图，已知 △ABC 中， AB=10 ， AC=8 ， BC=6 ， AB 的垂直平分线分别交 AC ， AB 于点 D ， E ．连接 BD ，则 CD 的长为________．
18.如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为________
三、解答题
19.如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D ， AC＝20，BC＝15，DB＝9.求AB的长.
20.如图所示，在四边形 ABCD 中，∠B= 90°， AB=3， BC=4,? CD=12， AD=13，求四边形ABCD的面积．
21.为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中 AB 所在的直线上建一图书馆，本社区有两所学校，分别在点 C 和点 D 处， CA⊥AB 于点 A ， DB⊥AB 于点 B ．已知 AB=25km ， CA=15km ， DB=10km ．问：图书室 E 应建在距点 A 多少米处，才能使它到两所学校的距离相等？
22.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O ， 且AC⊥BD有以下结论：
① AB2+CD2=BC2+AD2 ；② S四边形ABCD=AD·BC ；③ S△OAB·S△OCD=S△OBC·S△ODA
? ?
（1）以上结论中，正确的有________（只要填序号即可）；
（2）证明（1）中一个正确的结论.
23.如图，一架25米长的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上，梯子底端 B 离墙 AO 有7米.
（1）求梯子靠墙的顶端A距地面有多少米？
（2）小燕说“如果梯子的顶端A沿墙下滑了4米，那么梯子的底端B在水平方向就滑动了4米.”她的说法正确吗？若不正确，请说明理由.
24.如图，每个小正方形的边长都是1．A、B、C、D均在网格的格点上．
（1）∠BCD是直角吗？请证明你的判断．
（2）直接写出四边形ABCD的面积
（3）找到格点E，并画出四边形ABED（一个即可），使得其面积与四边形ABCD面积相等．
25.已知一次函数 y=-34x+6 的图像与坐标轴交于 A 、 B 点（如图）， AE 平分 ∠BAO ，交 x 轴于点 E .
（1）求点 B 的坐标；
（2）先求点E坐标，然后在 x 轴上找点P，使得 ΔAEP 为等腰三角形，请直接写出符合条件的点P坐标；
（3）过点 B 作 BF⊥AE ，垂足为 F ，联结OF ， 试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积.
答案
一、选择题
1.解：A.3?+4?=5?，故A选项是直角三角形；
B.12?+5?=13?，故B选项是直角三角形；
C.5?+6?=61≠7?，故C选项不是直角三角形；
D.9?+40?=41?，故D选项是直角三角形。
故答案为：C
2.解：如图，∵AD=AB=4cm，∠D=15°，
∴∠ABD=∠D=15°，
∴∠BAC=∠ABD+∠D=30°，
∵∠ACB=90°，AB=4cm，
∴BC=12AB=2cm ，
在Rt△ABC中， AC=AB2-BC2=42-22=23cm ，
故答案为：B．
3.解：∵ (a-4)2≥0,b-3≥0,
又∵ (a-4)2+b-3=0 ，
∴ a-4=0,b-3=0,
∴ a=4,b=3,
设第三边长为x，由 a>b, 则共有以下两种情况：
①当 a2+b2=x2 时， x=5,
②当 b2+x2=a2 时，由 x>0, 所以 x=7 ，
∴第三边长是5或 7 ；
故答案为：D.
4.解：由图可知，直角三角形的两边长分别为2和1，有勾股定理可得，斜边长为:
22+12=5 ，
∴ 5 为圆的半径，
∴ -1-a=5 ，
∴ 1+a=-5 ，
故答案为：C.
5.解：
∵ AC:BC:AB=5:12:13 ，
设AC=5k，BC=12k，AB=13k，
∴AC2+BC2=AB2
∴ △ABC 为直角三角形，∠C=90°，
∵AD是 △ABC 的角平分线， DE⊥AB ，
∴∠CAD=∠BAD，∠C=∠AED =90°，
∵AD=AD，
∴ △ACD?△AED ，
∴ S△ACD=S△AED ，AE=AC=5k，
∴BE=13k-5k=8k，
∵ △AED 和 △BED 同高，
∴ S△BED:S△AED=8:5 ，
∵ △ABC 的面积为S，
∴ S△ACD=518S .
故答案为：B.
6.如图，
当吸管底部在O点时吸管在罐内部分x最短，
此时x就是圆柱形的高，
即x＝12；
当吸管底部在A点时吸管在罐内部分x最长，
即线段AB的长，
在Rt△ABO中，AB＝ AO2+B02 ，
＝ 52+122 ，
＝13，
∴此时x＝13，
所以12≤x≤13．
故答案为：A．
7.解：顶角为钝角时，如下图所示：

∵AO=AC2-CO2=4，
∴OB=AB+AO=5+4=9.
∴BC=OB2+OC2=310.
顶角为锐角时，如下图所示：

∵AD=AC2-DC2=4，
∴DB=AB-AD=5-4=1.
∴BC=BD2+DC2=10.
综上可得：这个等腰三角形的底边长为310或10.
故答案为：C.
8.解：

如图，在第三个图中，连接EF，
∵△BEF为等腰直角三角形
∴BE=BF
设BE=BF=x
则EF=2BE=2BF=2x
因为点C折叠后与E重合，
所以CF=EF=2x
又BC=1,BF=x，
所以CF=1-x
所以1-x=2x
解得x=2-1 ， 即BE=BF=2-1
AB=AE+EB=A′E+EB=BC+EB=2
故答案为：A
9.解：根据勾股定理可得直角三角形的另一边长为： 25-9 ＝4（厘米），
可得这个直角三角形的面积为： 12×9 ×4＝6（平方厘米）．
故答案为：A．
10.解：∵AD平分∠BAC，
DE⊥AB，CD⊥AC，
∴DE=DC=1.5cm，
在△ACD和△AED中，
∠DAE=∠DAC∠AED=∠ACDAD=AD ，
∴△ACD≌AED（AAS），
∴AE=AC，
∴AC=AE=AD2-DE2=32-1.52=332 ，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AB=2AE=33 ，
∴BC=AB2-AC2=332-3322=4.5 ，
故答案为：D.
二、填空题
11.解：由题意可得，
当展开前面和右面时，最短路线长是： (7+5)2+92=225=15(cm)
当展开前面和上面时，最短路线长是： 72+(9+5)2=245=75(cm)
当展开左面和上面时，最短路线长是： 52+(9+7)2=281(cm)
∵15<75<281
∴一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是15cm，
故答案为：15.
12.解：S1= 12 π (AC2)2 = 18 πAC2 ， S2= 18 πBC2 ，
所以S1+S2= 18 π（AC2+BC2）= 18 πAB2= 9π2 .
故答案为 9π2 .
13.解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，
∵BD为中线，
∴∠DBC= 12 ∠ABC=30°，
∵CD=CE，
∴∠E=∠CDE，
∵∠E+∠CDE=∠ACB，
∴∠E=30°=∠DBC，
∴BD=DE，
∵BD是AC中线，CD=1，
∴AD=DC=1，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC=1+1=2，BD⊥AC，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：BD= 22-12=3 ，
即DE=BD= 3 .
故答案为： 3 .
14.解：如图，作AD⊥BC，
∵AB=AC=5cm，BC=8cm，
∴BD=CD=4cm，AD=AC2-CD2=52-42=3
当点P运动到与点D重合时， ΔACP 是直角三角形，
此时BP=4，
∴运动时间为4÷1=4（秒）；
当∠PAC=90°时，设PD=x
∴ PA2=PD2+AD2=x2+32=x2+9 ，
又∵ PA2=PC2-AC2=(x+4)2-52=x2+8x-9 ，
∴ x2+9=x2+8x-9 ，
∴ x=2.25 ，
∴BP=4－2.25=1.75，
所以运动时间为1.75÷1=1.75（秒）；
综上可得：当P运动4秒或1.75秒时， ΔACP 是直角三角形；
故答案为：1.75或4.
15.解：设两条直角边为a、b，
∴12ab=3a2+b2=13,
∴a2+b2+2ab=（a+b）2=13+12=25，
∴a+b=5或a+b=-5（舍），
∴周长=a+b+3=5+13 ，
故答案为：5+13.
16.解：如图，取CF和AB的交点为E，

∵CF=CB=4，
∵AB=AC2+BC2=32+42=5，
∵S△ABC=12AB×CD=12AC×BC，
∴CD=AC×BCAB=125 ，
∴FD=CF-CD=4-125=85 ，
BD=42-1252=165 ，
设BE=EF=x，
∴ED=165-x，
在Rt△EDF中，EF2=ED2+FD2 ，
∴x2=（165-x）2+（85）2 ，
解得x=2，即EB=2，
故答案为：2.
17.解： ∵ΔABC 中， AB=10 ， AC=8 ， BC=6 ，
∴AB2=AC2+BC2 ，
∴ΔABC 是直角三角形，
∵AB 的垂直平分线分别交 AC ， AB 于 D ， E ，
∴AD=DB ，
设 CD 为 x ， AD=DB=8-x ，
在 RtΔCDB 中， CD2+BC2=DB2 ，
即 x2+62=(8-x)2 ，
解得： x=74 ，
即 CD=74 ，
故答案为： 74 ．
18.解：∵正方形C，D的面积为6，18，
∴中间正方形的面积为18-6=12，
∵正方形A的面积为4，
∴正方形B的面积为12-4=8.
三、解答题
19. 解：∵CD⊥AB于D，且BC=15，BD=9，AC=20
∴∠CDA=∠CDB=90°
在Rt△CDB中，CD2+BD2=CB2 ，
∴CD2+92=152
∴CD=12；
在Rt△CDA中，CD2+AD2=AC2
∴122+AD2=202
∴AD=16，
∴AB=AD+BD=16+9=25．
20. 解：如图所示，连接AC.
∵∠B=90°，∴ΔABC是直角三角形.
依据勾股定理得AC2=AB2+BC2=32+42=25=52 ，
∴AC=5.
在ΔACD中，AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=169，
∴AD2=AC2+CD2.
∴ΔACD是直角三角形，∠ACD=90°.
∴S四边形ABCD=SΔABC+SΔACD
= 12 AB?BC+ 12 AC?CD
= 12 ×4×3+ 12 ×5×12
=6+30=36.
∴四边形ABCD的面积为36.
21.解：设AE=xkm，则BE=（25-x）km，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE2=AE2+AC2=x2+152 ，
同理可得：DE2=BE2+BD2=（25-x）2+102 ，
若CE=DE，则AE2+AC2=BE2+BD2 ，
x2+152=（25-x）2+102 ，
解得：x=10km；
答：图书室E应该建在距A点10km处，才能使它到两所学校的距离相等．
22. （1）①③
（2）解：①∵AC⊥BD，
? ∴ AB2=AO2+BO2 ， CD2=OC2+OD2 ?????? ，
BC2=BO2+CO2 ， AD2=OA2+OD2 ???? ，
∴ AB2+CD2=BC2+AD2 . ?
③ S△OAB·S△OCD=12OA·OB·12OC·OD=12OB·OC·12OA·OD=S△OBC·S△ODA
解：①∵ AC⊥BD，
∴∠AOB=∠AOD=90°，
∴AB2=OA2+OB2 ， CD2=OC2+OD2 ， BC2=OB2+OC2 ， AD2=OA2+OD2 ，
∴AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2 ， BC2+AD2=OB2+OC2+OA2+OD2 ，
∴AB2+CD2=BC2+AD2 ，
故①正确；
②∵S△ABD+S△CBD=12BD·OA+12BD·OC=12BD·AC，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD=12BD·AC，
故②错误；
③∵S△OAB=12OA·OB，S△OCD=12OC·OD，S△OBC=12OC·OB，S△ODA=12OA·OD，
∴S△OAB·S△OCD=12OA·OB·12OC·OD=14OA·OB·OC·OD，
S△OBC·S△ODA=12OC·OB·12OA·OD=14OA·OB·OC·OD，
∴S△OAB·S△OCD=S△OBC·S△ODA；
故③正确，
故答案为：①③；
23. （1）解：如图，
由题意得 AB=25 ， OB=7 ，
∴ AO2=AB2-OB2=576
∴ AO=24
即顶端A距地面有24米
（2）解：她的说法不正确；
由题意得 A1B1=25 ， AA1=4 ， A1O=20 ，
∴ B1O2=A1B12-A1O2=225 ，
∴ B1O=15 ，
∴ B1B=15-7=8 ，
∴梯子水平滑动了8米，
∴她的说法不正确.
24. （1）解：∠BCD不是直角．
理由：∵BC2＝52+22＝29，CD2＝5，BD2＝42+42＝32，
∴BC2+CD2≠BD2 ，
∴∠BCD不是直角．
（2）解：S四边形ABCD＝5×5﹣ 12 ×2×5﹣ 12 ×1×5﹣ 12 ×1×2﹣ 12 ×1×3﹣1＝14．
（3）解：如图，四边形ABED即为所求作．
25. （1）解：对于 y=-34x+6 ，当 x=0 时， y=6 ；当 y=0 时， x=8 .易得 OA=6 、 OB=8 、 AB=10 、 A(0,6) 、 B(8,0)
（2）解：过点 E 作 EG⊥AB ，垂足为 G .
由 AE 平分 ∠BAO ，易得 EG=OE ， ΔAOE?ΔAGE ， AG=AO .
设 OE=x ，由题意可得 EG=x ， BE=8-x ， BG=AB-AG=10-6=4 .
在 RtΔBEG 中，由勾股定理得
x2+42=(8-x)2 ，解得 x=3 ， 8-x=5 .进而得 E(3,0) .
? P1(-3,0),P2(3+35,0),P3(3-35,0),P4(-92,0)
（3）解：延长 BF 交 y 轴于点 K .
由 AE 平分 ∠BAO ， BF⊥AE 易证
ΔAFK?ABK ， FK=FB ， OF=12BK=BF .
所以， ΔOFB 为等腰三角形.
过点 F 作 FH⊥OB ，垂足为 H
因为 OF=BF ， FH⊥OB ，所以 OH=BH=4 .
由此易得 F 点的横坐标为 4 ，可设 F(4，y) ，将 F(4，y) 代入直线AE解析式，易得 lAE : y=-2x+6 ，得 y=-2 .
故 FH=2 ， SΔOBF=12?OB?FH=12×8×2=8 .
本题可能还有以下方法：
方法2：利用 12AE?BF=SΔABE=12BE?AO 求出 BF ，然后在 RtΔBEF 中利用勾股定理求出 EF=BE2-BF2 ，再利用 12FH?BE=SΔBEF=12EF?BF 求出 FH .