2.3 确定圆的条件（基础训练）2021-2022学年九年级数学苏科版上册（Word版含答案）

2.3确定圆的条件（基础训练）
一、单选题
1．下列说法错误的是（　　）
A．已知圆心和半径可以作一个圆
B．经过一个已知点A的圆能做无数个
C．经过两个已知点A，B的圆能做两个
D．经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能做一个圆
2．的直径为，圆心O到点A的距离为，则点A与的位置关系是（　　　）
A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．无法确定
3．已知⊙O的半径是5 cm，P是⊙O外一点，则OP的长可能是（　　　）
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
4．在ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，以A为圆心，以3为半径画圆，则点C与⊙A的位置关系是（）
A．在⊙A外 B．在⊙A上 C．在⊙A内 D．不能确定
5．小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（　　）
A．① B．② C．③ D．均不可能
6．如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
7．已知⊙O的半径为1,点P到圆心的距离为m,且关于x的一元二次方程x2?2x+m=0有两个不相等实数根，则点P与⊙O位置关系是( )
A．点p在⊙O内 B．点p在⊙O上 C．点p在⊙O外 D．以上都不对
8．在⊿ABC中，∠C=90°，AB＝3cm，BC＝2cm,以点A为圆心，以2.5cm为半径作圆，则点C和⊙A的位置关系是( )
A．C在⊙A上 B．C在⊙A外
C．C在⊙A内 D．C在⊙A位置不能确定
9．设⊙O的半径为5，圆心的坐标为(0，0)，点 P的坐标为(4，-3)，则点P在( ).
A．在⊙O内 B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．在⊙O内或外
10．下列四个说法：①经过任意三点可以作一个圆；②三角形的外心一定在三角形内；③等腰三角形的外心必在底边的中线上；④矩形一定有外接圆，圆心是对角线的交点.其中正确的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝4 cm，BC＝6 cm，D是BC的中点，以点D为圆心作一个半径为3 cm的圆，则下列说法正确的是(　　)
A．点A在⊙D外 B．点B在⊙D内 C．点C在⊙D上 D．无法确定
12．给定下列条件可以确定一个圆的是（　　）
A．已知圆心 B．已知半径
C．已知直径 D．不在同一直线上三点
13．已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离OP＝3 cm，Q为l上一点，且PQ＝4.2 cm，则点Q( )
A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．以上情况都有可能
14．已知⊙O 的半径为3，点A 与点O 的距离为5，则点A 与⊙O 的位置关系是（）
A．点A在⊙O 内 B．点A在⊙O 上 C．点A在⊙O 外 D．不能确定
15．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离为（　　）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
16．如图，所示的正方形网格中，一条，，三点均在格点上，那么的外接圆圆心是（）
A．点 B．点 C．点 D．点

17．如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）
A．点P B．点Q C．点R D．点M
18．如图，在中，．小丽按照下列方法作图：
①作的角平分线，交于点D；
②作的垂直平分线，交于点E．
根据小丽画出的图形，判断下列说法中正确的是（）
A．点E是的外心 B．点E是的内心
C．点E在的平分线上 D．点E到边的距离相等
19．已知⊙O的半径OA长为1，OB＝，则正确图形可能是（）
A． B． C． D．
20．下列说法正确的是（）
A．三点确定一个圆 B．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弦的直径垂直于弦
21．已知的半径为，点P在上，则的长为（）
A． B． C． D．
22．有下到结论：（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）三角形的外心到三角形各边的距离相等，其中正确的结论的个数有（）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
23．给出下列说法：
①经过三点一定可以作圆；
②任何一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；
③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；
④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
24．如图，外接圆的圆心坐标是（）
A．(5，2) B．(2，3) C．(1，4) D．(0，0)
25．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过，，三点，那么点在这条圆弧所在圆的（）.
A．内部 B．外部 C．圆上 D．不能确定
26．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90?,AC=3,AB=5,CD是斜边AB上的中线,以AC为直径作O,设线段CD的中点为P,则点P与O的位置关系是（）
A．点P在O外 B．点P在O上 C．点P在O内 D．无法确定
27．如图，正方形ABCD的边长为1，弧CE，弧EF 的圆心分别为D、A两点，则CF的长为（）
A．1 B． C．3 D．
28．如图，Rt△ABC中，AB=10 cm，BC=8 cm，若点C在⊙A上，则⊙A的半径是( )
A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm
29．已知点为直角坐标系原点，圆的半径为，点的坐标是，则下列关于点与圆的位置关系的说法正确的是（）
A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定
30．点为半径为的上一点，若，则点与的位置关系为（ ）
A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．都有可能
二、填空题
31．如图，中，，是的平分线，是的垂直平分线，交于点O．若，则外接圆的面积为______．
32．已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是_______．（填序号）
33．平面直角坐标系内的三个点A（1，－3）、B（0，－3）、C（2，－3），___确定一个圆．（填“能”或“不能”）
34．如图1是一扇旋转门，它由一个圆柱形空间的三片旋转翼组成，三片旋转翼将圆柱形空间等分为三个扇形空间，AB与CD处为出入口，在旋转过程中，当某一片旋转翼的一端与点B重合时，另两片中的一片旋转翼的一端与点D重合；继续旋转，当某一片旋转翼的一端与点A重合时，另两片中的一片旋转翼的一端则与点C重合。图2是从顶部俯视的示意图，点O为圆心，若圆O的直径为3米，且旋转门出入口的宽度相等，则该旋转门出入口的宽度为_____米.
35．如图,AB是☉O的直径,AC是弦,D是AC的中点,若OD=4,则BC=_____.
三、解答题
36．已知：在△ABC中，AB＝AC．
（1）求作：△ABC的外接圆，圆心为O．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则⊙O的半径长为　　．
37．如图是一个锐角为的直角三角形,是直角.用直尺和圆规在此三角形中作出一个半圆, 使它的圆心在线段上,且与都相切(保留作图痕迹，不必写出作法);
求(1)中所作半圆与三角形的面积比(保留一个有效数字).
()
38．如图，在⊙O中，CD为⊙O的直径，=，点E为OD上任意一点(不与O、D重合).求证：AE=BE.
40．如图，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，∠B=90°，以AD为直径作圆O，证明点C在圆O上；
41．如图：已知P是半径为10cm的⊙O内一点．解答下列问题：
（1）用尺规作图作出圆心O的位置．（要求：保留所有的作图痕迹，不写作法）
（2）用三角板分别画出过点P的最长弦AB和最短弦CD．
（3）已知OP=6cm，过点P的弦中，长度为整数的弦共有　　条．
42．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．
（1）请完成如下操作：①以点O为原点、竖直和水平方向为轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系； ②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连结AD、CD．
（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：
①写出点的坐标：C、D；
②⊙D的半径=（结果保留根号）；
43．如图1，图2，在的方格上建立平面直角坐标系（小方格的单位长度为1），，，，，，都在格点上．
（1）请在图1中作出经过，，三点的圆，并求出圆的半径．
（2）请在图2中作出经过，，三点的圆，并求出圆的半径．
44．如图，已知在中，．
(1)请用圆规和直尺作出，使圆心P在边上，且与，两边都相切(保留作图痕迹，不写作法和证明)；
(2)若，，求的面积．
45．下面是小菲设计的“作一个角等于已知角的二倍”的尺规作图过程．
已知：中，．
求作：，使得．
作法：如图，
①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于、点，作直线；
②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于、点，作直线，和交于点；
③连接和；
④以点为圆心，的长为半径作．
所以．
根据小菲设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接
∵和分别为、的垂直平分线，
∴________．
∴是的外接圆．
∵点是上的一点，
∴．（____________）．（填推理的依据）
46．用无刻度直尺作图（辅助线请画虚线）
（1）如图1，在?ABCD中画一条直线平分周长；
（2）如图2，在⊙O中，AB为⊙O内的一条弦，D为优弧AB的中点，C为优弧AB的一动点，画出∠ACB的平分线；
（3）如图3，在正方形ABCD中，E为CB上的任意一点，在AB上截取一点F，使得BF=BE．
47．下面是小如同学设计的“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程
已知：，．
求作：的外接圆．
作法：如图，
①分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；
②作直线，交于点；
③以为圆心，为半径作．
即为所求作的圆．
根据小如同学设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）．
（2）完成下面的证明：
证明：连接，，，，，
由作图，，，
且（__________）（填推理的依据）．
，
（__________）（填推理的依据）．
，
，，三点在以为圆心，为直径的圆上．
为的外接圆．
48．尺规作图：已知△ABC，如图．
（1）求作：△ABC的外接圆⊙O；
（2）若AC＝4，∠B＝30°，则△ABC的外接圆⊙O的半径为　　．
49．如图，AB为⊙O的直径，弦AC的长为8cm．
（1）尺规作图：过圆心O作弦AC的垂线DE，交弦AC于点D，交优弧于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）若DE的长为8cm，求直径AB的长．
50．如图，在矩形中，.
（1）尺规作图：在线段上求作一点，使得，（保留作图痕迹，不写作法与证明）；
（2）连接，若点为边的中点，求证：.
【答案与解析】
一、单选题
1．下列说法错误的是（　　）
A．已知圆心和半径可以作一个圆
B．经过一个已知点A的圆能做无数个
C．经过两个已知点A，B的圆能做两个
D．经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能做一个圆
【答案】C
【分析】
根据确定圆的条件依次判断即可．
【详解】
解：A.已知圆心和半径可以作一个圆，正确，不符合题意；
B.经过一个已知点A的圆能做无数个，正确，不符合题意；
C.经过两个已知点A，B的圆能做无数个，错误，符合题意；
D.经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能做一个圆，正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查确定圆的条件．注意过三点确定一个圆，要画一个圆需要知道它的圆心和半径．
2．的直径为，圆心O到点A的距离为，则点A与的位置关系是（　　　）
A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．无法确定
【答案】A
【分析】
由点与圆心的距离与圆的半径的关系：＞，点在圆外，，点在圆上，＜，点在圆内，可得答案．
【详解】
解：的直径为，
的半径为，
圆心O到点A的距离为，而＞，
点A在外，
故选：
【点睛】
本题考查的是点与圆的位置关系，掌握点与圆心的距离与圆的半径的关系：＞，点在圆外，，点在圆上，＜，点在圆内，是解题的关键．
3．已知⊙O的半径是5 cm，P是⊙O外一点，则OP的长可能是（　　　）
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
【答案】D
【分析】
由点在圆外，则点到圆心的距离，从而可得答案．
【详解】
解：因为点在圆外，
所以：
故选D．
【点睛】
本题考查的是点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系的结论是解题的关键．
4．在ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，以A为圆心，以3为半径画圆，则点C与⊙A的位置关系是（）
A．在⊙A外 B．在⊙A上 C．在⊙A内 D．不能确定
【答案】B
【分析】
根据勾股定理求出AC的值，根据点与圆的位关系特点，判断即可．
【详解】
解：由勾股定理得：
∵AC=半径=3，
∴点C与⊙A的位置关系是：点C在⊙A上，
故选：B．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系定理和勾股定理等知识点的应用，点与圆（圆的半径是r，点到圆心的距离是d）的位置关系有3种：d=r时，点在圆上；d＜r点在圆内；d＞r点在圆外．掌握以上知识是解题的关键．
5．小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（　　）
A．① B．② C．③ D．均不可能
【答案】A
【分析】
要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
【详解】
第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
【点睛】
本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．
6．如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【分析】
根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得．
【详解】
解：如图，
以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），
以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），
以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），
以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），
以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），
以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），
共6组．
故选D．
【点睛】
本题考查四点共圆的判断方法．解题的关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆．
7．已知⊙O的半径为1,点P到圆心的距离为m,且关于x的一元二次方程x2?2x+m=0有两个不相等实数根，则点P与⊙O位置关系是( )
A．点p在⊙O内 B．点p在⊙O上 C．点p在⊙O外 D．以上都不对
【答案】A
【分析】
关于x的方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2-4ac>0．即可得到关于m的不等式，从而求得m的范围，进而判断点P与⊙O的位置关系．
【详解】
∵a=1，b=?2，c=m，
∴△=b2?4ac=(?2)2?4×1×m=4?4m>0，
解得：m<1.
则点P在⊙O内部.
故答案为A.
【点睛】
本题考查根的判别式和点与圆的位置关系，解题的关键是掌握根的判别式和点与圆的位置关系.
8．在⊿ABC中，∠C=90°，AB＝3cm，BC＝2cm,以点A为圆心，以2.5cm为半径作圆，则点C和⊙A的位置关系是( )
A．C在⊙A上 B．C在⊙A外
C．C在⊙A内 D．C在⊙A位置不能确定
【答案】C
【分析】
先根据勾股定理计算出AC的长，再比较AC与2.5的大小，然后根据点与圆的位置关系进行判断．
【详解】
解：∵∠C=90°，AB=3cm，BC=2cm，
∴AC==，
∵r=2.5＞，
∴点C在⊙A内．
故选：C．
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外?d＞r；点P在圆上?d=r；点P在圆内?d＜r．也考查了勾股定理．
9．设⊙O的半径为5，圆心的坐标为(0，0)，点 P的坐标为(4，-3)，则点P在( ).
A．在⊙O内 B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．在⊙O内或外
【答案】C
【分析】
先利用两点间的距离公式计算出OP的长，然后根据点与圆的位置关系判断点P与⊙O的位置关系．
【详解】
解：∵点P的坐标是（-4，3），
∴OP==5，
∵OP等于圆O的半径，
∴点P在圆O上．
故选：C．
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
10．下列四个说法：①经过任意三点可以作一个圆；②三角形的外心一定在三角形内；③等腰三角形的外心必在底边的中线上；④矩形一定有外接圆，圆心是对角线的交点.其中正确的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】
【分析】
利用确定圆的条件、三角形的外心的定义、等腰三角形的性质及外接圆的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：①经过任意不在同一直线上的三点可以确定一个圆，故错误；
②三角形的外心可能在三角形的外部或斜边上，故错误；
③等腰三角形的外心肯定在底边上的中线所在直线上，故错误；
④矩形一定有外接圆，圆心是对角线的交点，故正确．
故选A．
【点睛】
本题考查确定圆的条件、三角形的外心、等腰三角形的性质及外接圆的定义，主要考查学生的理解能力和辨析能力．
11．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝4 cm，BC＝6 cm，D是BC的中点，以点D为圆心作一个半径为3 cm的圆，则下列说法正确的是(　　)
A．点A在⊙D外 B．点B在⊙D内 C．点C在⊙D上 D．无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
连接AD，由等腰三角形三线合一得AD⊥BC，求出BD，根据勾股定理求出AD，和半径比较即可．
【详解】
连接AD，
∵AB=AC=4cm，BC=6cm，D是BC的中点，
∴BD=CD=3cm，AD⊥BC，
∴∠ADB=90，
∴在Rt△ADB中，由勾股定理得：
AD= ==
∵<3，
∴点A在⊙D内，点C在⊙D上.
故选C.
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系.
12．给定下列条件可以确定一个圆的是（　　）
A．已知圆心 B．已知半径
C．已知直径 D．不在同一直线上三点
【答案】D
【解析】
【分析】
根据确定圆的条件和圆的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A、不能确定．因为半径不确定，故不符合题意；
B、不能确定．因为圆心的位置不确定，故不符合题意；
C、不能确定，因为圆心的位置不确定，故不符合题意；
D．不在同一直线上三点可以确定一个圆．故符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查了圆的定义及确定圆的条件，解题的关键是能够了解不在同一直线上的三点共圆，难度不大．
13．已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离OP＝3 cm，Q为l上一点，且PQ＝4.2 cm，则点Q( )
A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．以上情况都有可能
【答案】C
【解析】
【分析】
要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，本题可由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【详解】
由垂径定理知，点P是圆截得的弦的中点，如图，
OP⊥PA，OP=3cm，OA=5cm，
∴PA==4（cm），
∵4cm＜4.2cm，
所以点Q在圆外．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查点和圆的位置关系的判定，只要计算出N点到圆心的距离再与半径比较大小即可．
14．已知⊙O 的半径为3，点A 与点O 的距离为5，则点A 与⊙O 的位置关系是（）
A．点A在⊙O 内 B．点A在⊙O 上 C．点A在⊙O 外 D．不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】
由点与圆的距离可得点与圆的位置关系.
【详解】
解：点A 与点O 的距离为5>3,则点A与⊙O的位置关系是:点A在圆外.
故选C.
【点睛】
本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆心的距离d, 当d>r时, 点在圆外; 当d=r时, 点在圆上; 当d15．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离为（　　）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
【答案】A
【详解】
试题解析：
的外心为斜边AB的中点，
的外接圆半径为
∴它的外心与顶点C的距离为
故选A.
16．如图，所示的正方形网格中，一条，，三点均在格点上，那么的外接圆圆心是（）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】C
【分析】
由的外接圆圆心在AB与BC的垂直平分线上，根据网格可知EG所在直线是AB的垂直平分线，BC的垂直平分线是点G所在直线即可．
【详解】
解：∵，，三点均在格点上，连结BC，
∴的外接圆圆心在AB与BC的垂直平分线上，
由网格可知EG所在直线是AB的垂直平分线，
BC的垂直平分线是点G所在直线，
∴点G是的外接圆圆心．
故选择：C．
【点睛】
本题考查网格三角形，三角形外接圆圆心，线段垂直平分线，掌握网格三角形，三角形外接圆圆心，线段垂直平分线是解题关键．
17．如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）
A．点P B．点Q C．点R D．点M
【答案】B
【分析】
根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到答案．
【详解】
解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，
它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．
18．如图，在中，．小丽按照下列方法作图：
①作的角平分线，交于点D；
②作的垂直平分线，交于点E．
根据小丽画出的图形，判断下列说法中正确的是（）
A．点E是的外心 B．点E是的内心
C．点E在的平分线上 D．点E到边的距离相等
【答案】A
【分析】
根据等腰三角形“三线合一”，可得是底边BC的垂直平分线，进而即可得到答案．
【详解】
∵在中，，
∴的角平分线也是底边BC的垂直平分线，
∵的垂直平分线，交于点E，
∴点E是的外心，
故选A．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形的外心的定义，掌握“三角形各边上的垂直平分线的交点是三角形的外心”是解题的关键．
19．已知⊙O的半径OA长为1，OB＝，则正确图形可能是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据点到圆心的距离和圆的半径的大小关系判断点与圆的位置关系即可．
【详解】
解：∵⊙O的半径OA长为1，若OB＝，
∴OA＜OB，
∴点B在圆外，
故选：B．
【点睛】
本题考查了点和圆的位置关系，解题关键是熟知点圆的位置关系与点到圆心的距离和半径决定．
20．下列说法正确的是（）
A．三点确定一个圆 B．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弦的直径垂直于弦
【答案】B
【分析】
根据圆的定义、外心的定义、圆心角与弧的关系、垂径定理，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：不在同一条直线上的三点确定一个圆，故A错误；
三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，故B正确；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C错误；
平分弦的直径垂直于弦（不是直径的弦），故D错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆的定义、外心的定义、圆心角与弧的关系、垂径定理，解题的关键是熟记定义进行判断．
21．已知的半径为，点P在上，则的长为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据点在圆上，点到圆心的距离等于圆的半径求解．
【详解】
∵⊙O的半径为6cm，点P在⊙O上，
∴OP=6cm．
故选：C．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外?d＞r；点P在圆上?d=r；点P在圆内?d＜r．
22．有下到结论：（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）三角形的外心到三角形各边的距离相等，其中正确的结论的个数有（）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【分析】
（1）根据确定圆的条件进行解答即可；（2）根据垂径定理即可得出结论；（3）根据三角形外心的性质可得出结论.
【详解】
解：不在同一直线上的三点确定一个圆，故（1）错误；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故（2）错误；三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，故（3）错误；
故答案选：A．
【点睛】
本题考查了确定圆的条件，垂径定理，三角形外心的性质．
23．给出下列说法：
①经过三点一定可以作圆；
②任何一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；
③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；
④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】
分别根据确定圆的条件、三角形的外接圆的性质及三角形外心的定义对各小题进行逐一判断即可.
【详解】
①必须不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆,故本选项错误;
②根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆,故本选项正确;
③圆上有无数个点,任意连接3个点即是圆的一个内接三角形,故本选项错误;
④三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点,所以到三角形三个顶点的距离相等,故本选项正确.
故选C..
【点睛】
本题考查的是确定圆的条件及三角形的外接圆与外心,解答此题时要熟知三角形外心的定义,即三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心.
24．如图，外接圆的圆心坐标是（）
A．(5，2) B．(2，3) C．(1，4) D．(0，0)
【答案】A
【分析】
根据三角形各边的中垂线的交点为三角形外接圆的圆心，作出外接圆的圆心，进而即可得到坐标．
【详解】
如图，作AB，BC的中垂线，交于点D，点D即为外接圆的圆心，坐标为（5，2）．
故选A．
【点睛】
本题主要考查三角形外接圆的圆心，熟练掌握三角形外接圆的圆心是各边中垂线的交点，是解题的关键．
25．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过，，三点，那么点在这条圆弧所在圆的（）.
A．内部 B．外部 C．圆上 D．不能确定
【答案】C
【分析】
根据弦的中垂线的交点是弧所在圆的圆心，先确定圆心的位置，再求出半径，最后根据点和圆心的距离，判断点和圆的位置关系.
【详解】
如图，根据弦的中垂线的交点是弧所在圆的圆心，确定圆心为O，
∵，
∴点M在圆上，
故选C.
【点睛】
本题考查了点和圆的位置关系，根据垂径定理，确定圆的圆心，是初中圆这一部分常见的作图，需要引起注意.
26．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90?,AC=3,AB=5,CD是斜边AB上的中线,以AC为直径作O,设线段CD的中点为P,则点P与O的位置关系是（）
A．点P在O外 B．点P在O上 C．点P在O内 D．无法确定
【答案】C
【分析】
先利用中线得到AD=AB=，再证明OP为△CAD的中位线，得到OP=，然后比较OP与半径的大小后根据点与圆的位置关系进行判断．
【详解】
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD=AB=，
∵点O为AC的中点，P为CD的中点，
∴OP为△CAD的中位线，
∴OP=AD=，
而AC为⊙O的直径,即半径为，
∴点P到圆心O的距离小于圆的半径，
∴点P在⊙O内.
故选C.
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆的位置关系的判定方法.
27．如图，正方形ABCD的边长为1，弧CE，弧EF 的圆心分别为D、A两点，则CF的长为（）
A．1 B． C．3 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据圆弧的定义求出AE,AF,BF的长，再利用勾股定理求出CF即可.
【详解】
解：弧CE是以D为圆心，DC＝1为半径旋转90°得到的圆弧，
∴AE＝2．
弧EF是以A为圆心，AE＝2为半径旋转90°得到的圆弧，
∴AF＝2，BF＝3．
在Rt△BCF中，利用勾股定理可得CF＝．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查圆弧的性质，解题的关键是熟知圆弧的定义.
28．如图，Rt△ABC中，AB=10 cm，BC=8 cm，若点C在⊙A上，则⊙A的半径是( )
A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用勾股定理计算出AB=10 cm，然后根据圆的半径的定义求解.
【详解】
∵∠ACB=90°,
∴AC=cm ,
∵点C在⊙A上，
∴⊙A的半径为6cm.
故选B.
【点睛】
本题考查了勾股定理和圆的有关概念，根据勾股定理求出AC的长是解答本题的关键.
29．已知点为直角坐标系原点，圆的半径为，点的坐标是，则下列关于点与圆的位置关系的说法正确的是（）
A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】
利用点A的坐标求得线段OA的长，与圆的半径比较后即可得到答案．
【详解】
点A的坐标是(2,1)，
∴
∵圆O的半径为2，
∴2<
∴点A在圆外，
故选：C.
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系,解题的关键是求出点A到原点的距离.
30．点为半径为的上一点，若，则点与的位置关系为（ ）
A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．都有可能
【答案】D
【解析】
【分析】
根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【详解】
∵PQ=OP，OQ的大小不能确定，
∴点Q与⊙O的位置关系不能确定．
故选D．
【点睛】
本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键
二、填空题
31．如图，中，，是的平分线，是的垂直平分线，交于点O．若，则外接圆的面积为______．
【答案】
【分析】
由等腰三角形的性质得出BD=CD，AD⊥BC，结合已知条件可得点O是△ABC外接圆的圆心，则由圆的面积公式可得出答案．
【详解】
解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BD=CD，AD⊥BC，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴点O是△ABC外接圆的圆心，
∵OA=3，
∴△ABC外接圆的面积=
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外接圆和外心的概念和性质．
32．已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是_______．（填序号）
【答案】③
【分析】
根据过直线外一点作这条直线的垂线，及线段中垂线的做法，圆周角定理，分别作出直角三角形斜边上的垂线，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；即可作出判断.
【详解】
①、在角∠BAC内作作∠CAD=∠B,交BC于点D,根据余角的定义及等量代换得出∠B＋∠BAD=90°,进而得出AD⊥BC,根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；
②、以点A为圆心，略小于AB的长为半径，画弧，交线段BC两点，再分别以这两点为圆心，大于两交点间的距离为半径画弧，两弧相交于一点，过这一点与A点作直线，该直线是BC的垂线；根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形是彼此相似的；
③、以点B为圆心BA的长为半径画弧，交BC于点E，再以E点为圆心，AB的长为半径画弧，在BC的另一侧交前弧于一点，过这一点及A点作直线，该直线不一定是BE的垂线；从而就不能保证两个小三角形相似;
④、以AB为直径作圆，该圆交BC于点D，根据圆周角定理，过AD两点作直线该直线垂直于BC，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；
故答案为:③.
【点睛】
此题主要考查了相似变换以及相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
33．平面直角坐标系内的三个点A（1，－3）、B（0，－3）、C（2，－3），___确定一个圆．（填“能”或“不能”）
【答案】不能
【分析】
根据三个点的坐标特征得到它们共线，于是根据确定圆的条件可判断它们不能确定一个圆．
【详解】
解：∵B（0，-3）、C（2，-3），
∴BC∥x轴，
而点A（1，-3）与C、B共线，
∴点A、B、C共线，
∴三个点A（1，-3）、B（0，-3）、C（2，-3）不能确定一个圆．
故答案为：不能．
【点睛】
本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．
34．如图1是一扇旋转门，它由一个圆柱形空间的三片旋转翼组成，三片旋转翼将圆柱形空间等分为三个扇形空间，AB与CD处为出入口，在旋转过程中，当某一片旋转翼的一端与点B重合时，另两片中的一片旋转翼的一端与点D重合；继续旋转，当某一片旋转翼的一端与点A重合时，另两片中的一片旋转翼的一端则与点C重合。图2是从顶部俯视的示意图，点O为圆心，若圆O的直径为3米，且旋转门出入口的宽度相等，则该旋转门出入口的宽度为_____米.
【答案】1.5
【分析】
连结OA，易得△AOB是等边三角形，根据直径为3米可得AB=OB=1.5米.
【详解】
解：连结OA，
由题意得：∠AOB=∠BOD=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OB=1.5米，
故答案为：1.5.
【点睛】
本题考查了圆的基本性质以及等边三角形的判定和性质，正确理解题意得出∠AOB=∠BOD是解题关键.
35．如图,AB是☉O的直径,AC是弦,D是AC的中点,若OD=4,则BC=_____.
【答案】8
【解析】
∵AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AC的中点，
∴AD=CD，OA=OB，
即OD是△ABC的中位线，
∴BC=2OD=2×4=8.
故答案为：8.
三、解答题
36．已知：在△ABC中，AB＝AC．
（1）求作：△ABC的外接圆，圆心为O．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则⊙O的半径长为　　．
【答案】（1）见解析；（2）5
【分析】
（1）作线段AB，BC的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O即为所求．
（2）在Rt△OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图⊙O即为所求．
（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E．
由题意OE＝4，BE＝EC＝3，
在Rt△OBE中，OB＝＝5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查作三角形的外接圆，勾股定理，作垂直平分线.理解三角形的外接圆的圆心即为三角形三边垂直平分线的交点是解决此题的关键
37．如图是一个锐角为的直角三角形,是直角.用直尺和圆规在此三角形中作出一个半圆, 使它的圆心在线段上,且与都相切(保留作图痕迹，不必写出作法);
求(1)中所作半圆与三角形的面积比(保留一个有效数字).
()
【答案】0.6
【解析】
试题分析：(1) 所作半圆如图:
(2) 设边, 则
.
考点：基本作图
点评：解答本题的关键是熟练掌握几种基本变换的作图方法，准确找到关键点的对应点.
38．如图，在⊙O中，CD为⊙O的直径，=，点E为OD上任意一点(不与O、D重合).求证：AE=BE.
【答案】通过证明△AOE≌△BOE 得出AE=BE
【解析】
试题分析：∵∴∠AOC=∠BOC ∴∠AOE=∠BOE ∵OA、OB是⊙O的半径
∴OA=OB 又∵OE=OE∴△AOE≌△BOE ∴AE="BE"
考点：三角形全等
点评：本题考查三角形全等，考生应掌握三角形全等的判定方法，会灵活应用其方法判断三角形全等
39．已知长方形的长是cm，宽是cm，求与此长方形面积相等的圆的半径.
【答案】r=.
【解析】
利用面积公式列出方程·=πr2，解得r=.
40．如图，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，∠B=90°，以AD为直径作圆O，证明点C在圆O上；
【答案】证明见解析
【分析】
连接CO；由勾股定理求出AC，利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，得出∠ACD=90°；再根据斜边上中线的性质和圆的对称性分析，即可完成证明．
【详解】
如图，连接CO
∵AB=6，BC=8，∠B=90°，
∴
∵CD=24，AD=26
∴
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD=90°
∵AD为⊙O的直径
∴AO=OD
∴OC为Rt△ACD斜边上的中线
∴
∴点C在圆O上．
【点睛】
本题考查了圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、勾股定理及其逆定理、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．
41．如图：已知P是半径为10cm的⊙O内一点．解答下列问题：
（1）用尺规作图作出圆心O的位置．（要求：保留所有的作图痕迹，不写作法）
（2）用三角板分别画出过点P的最长弦AB和最短弦CD．
（3）已知OP=6cm，过点P的弦中，长度为整数的弦共有　　条．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8
【分析】
（1）利用过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，进而画出即可；
（2）利用最长弦AB即为直径和最短弦CD，即为与AB垂直的弦，进而得出答案；
（3）求出CD的长，进而得出长度为整数的弦，注意长度为17、18、19的分别有两条．
【详解】
解：（1）如图所示：点O即为所求；
（2）如图所示：AB，CD即为所求；
（3）如图：连接DO，
∵OP=6cm，DO=10cm，
∴在Rt△OPD中，DP==8cm，
∴CD=16cm，
∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有：8条．
故答案为：8．
【点睛】
此题主要考查了复杂作图以及勾股定理和垂径定理，注意长度为整数的弦不要漏解．
42．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．
（1）请完成如下操作：①以点O为原点、竖直和水平方向为轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系； ②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连结AD、CD．
（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：
①写出点的坐标：C、D；
②⊙D的半径=（结果保留根号）；
【答案】(1) 见解析；(2) ①C (6, 2), D (2,0)；②.
【分析】
（1）根据题意，画出弧所在圆的圆心，即可；
（2）直接写出C，D的坐标，再利用勾股定理求出圆的半径，即可．
【详解】
解：（1）如图所示；
（2）①由图知C（6,2）、D（2,0）
②由勾股定理得：⊙D的半径.
【点睛】
本题主要考查点的坐标，勾股定理以及垂径定理，掌握勾股定理和垂径定理是解题的关键．
43．如图1，图2，在的方格上建立平面直角坐标系（小方格的单位长度为1），，，，，，都在格点上．
（1）请在图1中作出经过，，三点的圆，并求出圆的半径．
（2）请在图2中作出经过，，三点的圆，并求出圆的半径．
【答案】（1）画图见解析，半径；（2）画图见解析，半径．
【分析】
（1）三角形的外接圆圆心在三边的垂直平分线上，据此画图计算；
（2）三角形的外接圆圆心在三边的垂直平分线上，据此画图计算．
【详解】
解：（1）圆O'即为所求：
，
半径r＝；
（2）圆A即为所求：
，
半径r＝．
【点睛】
本题考查三角形的外接圆圆心的确定，牢记外接圆的圆心在三边的垂直平分线上是解题关键，半径的求得需要借助勾股定理．
44．如图，已知在中，．
(1)请用圆规和直尺作出，使圆心P在边上，且与，两边都相切(保留作图痕迹，不写作法和证明)；
(2)若，，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）作∠ABC的平分线交AC于P，再以P为圆心PA为半径即可作出⊙P；
（2）首先求得∠ABP=∠PBC=30°，根据三角函数可得BC=2，再根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】
解：(1)如图所示，则为所求作的图．
(2)设与相切于点，连接，则．
【点睛】
本题主要考查了作图-复杂作图，角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等．同时考查了三角形的面积．
45．下面是小菲设计的“作一个角等于已知角的二倍”的尺规作图过程．
已知：中，．
求作：，使得．
作法：如图，
①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于、点，作直线；
②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于、点，作直线，和交于点；
③连接和；
④以点为圆心，的长为半径作．
所以．
根据小菲设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接
∵和分别为、的垂直平分线，
∴________．
∴是的外接圆．
∵点是上的一点，
∴．（____________）．（填推理的依据）
【答案】（1）见解析；（2）；一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半
【分析】
（1）由题意直接根据小菲设计的尺规作图过程进行作图即可补全图形；
（2）由题意直接根据圆周角定理进行分析即可完成证明．
【详解】
解：（1）如图，即为补全的图形，
（2）证明：连接CD，
∵MN和PQ分别为AC、AB的垂直平分线，
∴CD=AD=BD．
∴⊙D是△ABC的外接圆．
∵点C是⊙D上的一点，
∴∠ADB=2∠C．（一条弧所对圆周角是它所对圆心角的一半）．
故答案为：；一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半.
【点睛】
本题考查作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质、三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握圆周角定理．
46．用无刻度直尺作图（辅助线请画虚线）
（1）如图1，在?ABCD中画一条直线平分周长；
（2）如图2，在⊙O中，AB为⊙O内的一条弦，D为优弧AB的中点，C为优弧AB的一动点，画出∠ACB的平分线；
（3）如图3，在正方形ABCD中，E为CB上的任意一点，在AB上截取一点F，使得BF=BE．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）根据平行四边形的性质在?ABCD中画一条直线平分周长即可；
（2）根据垂径定理即可在⊙O中，画出∠ACB的平分线；
（3）连接AC、BD，连接AE交BD于点G，连接CG并延长交AB于点F，根据正方形的对角线的性质可得AG=CG，进而可得BF=BE即可．
【详解】
如图所示，
（1）图1中直线AD即为所求（答案不唯一）；
（2）图2中，连接DO交圆于点E，根据垂径定理，连接CE，CE即为∠ACB的平分线；
（3）图3中点F即为所求．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图、平行四边形的性质、正方形的性质、圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理，解决本题的关键是综合运用以上知识画图．
47．下面是小如同学设计的“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程
已知：，．
求作：的外接圆．
作法：如图，
①分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；
②作直线，交于点；
③以为圆心，为半径作．
即为所求作的圆．
根据小如同学设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）．
（2）完成下面的证明：
证明：连接，，，，，
由作图，，，
且（__________）（填推理的依据）．
，
（__________）（填推理的依据）．
，
，，三点在以为圆心，为直径的圆上．
为的外接圆．
【答案】（1）见解析；（2）作图见解析，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【分析】
（1）由题意利用尺规作图的方法，根据要求作出图形即可；
（2）根据题意利用直角三角形斜边中线的性质以及垂直平分线的性质进行分析即可．
【详解】
解：（1）作图如下，
（2）连接，，，，
由作图可知，，，
且（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）．
，
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
，
三点在以为圆心，为直径的圆上．
为的外接圆．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握相关的基本知识．
48．尺规作图：已知△ABC，如图．
（1）求作：△ABC的外接圆⊙O；
（2）若AC＝4，∠B＝30°，则△ABC的外接圆⊙O的半径为　　．
【答案】（1）答案见解析；（2）4．
【分析】
（1）确定三角形的外接圆的圆心，根据其是三角形边的垂直平分线的交点进行确定即可；
（2）连接OA，OC，先证明△AOC是等边三角形，从而得到圆的半径．
【详解】
解：（1）作法如下：
①作线段AB的垂直平分线，
②作线段BC的垂直平分线，
③以两条垂直平分线的交点O为圆心，OA长为半圆画圆，则圆O即为所求作的圆；
（2）连接OA，OC，
∵∠B＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∵AC＝4，
∴OA＝OC＝4，即圆的半径是4，
故答案为4．
【点睛】
本题考查了尺规作三角形外接圆、圆中的计算问题，解题的关键是熟知“三角形边的垂直平分线的交点是三角形的外接圆的圆心”．
49．如图，AB为⊙O的直径，弦AC的长为8cm．
（1）尺规作图：过圆心O作弦AC的垂线DE，交弦AC于点D，交优弧于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）若DE的长为8cm，求直径AB的长．
【答案】（1）见解析；（2）10cm．
【分析】
（1）以点A，点C为圆心，大于AC为半径画弧，两弧的交点和点O的连线交弦AC于点D，交优弧于点E；
（2）由垂径定理可得AD=CD=4cm，由勾股定理可求OA的长，即可求解．
【详解】
（1）如图所示：
（2）∵DE⊥AC，
∴AD＝CD＝4cm，
∵AO2＝DO2+AD2，
∴AO2＝（DE﹣AO）2+16，
∴AO＝5，
∴AB＝2AO＝10cm．
【点睛】
本题考查了圆的有关知识，勾股定理，灵活运用勾股定理求AO的长是本题的关键．
50．如图，在矩形中，.
（1）尺规作图：在线段上求作一点，使得，（保留作图痕迹，不写作法与证明）；
（2）连接，若点为边的中点，求证：.
【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）以A为圆心，AB为半径作圆交CD与点E，点E即为所求；
（2）由已知条件可得出平分，进而有，再求出，即可得以证明．
【详解】
（1）如图，点是所求作的．
（2）如图，∵四边形为矩形，
∴，，
∴．
∵，点为边的中点，
∴平分，即（三线合一）．
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查的知识点是尺规作图以及矩形的性质和三角形的内角和定理，掌握以上知识点是解此题的关键．