2.3 确定圆的条件（能力提优）2021-2022学年九年级数学苏科版上册（Word版含答案）

2.3确定圆的条件（能力提优）
一、单选题
1．下列命题正确的是（　　）
A．两直线平行同位角互补
B．三角形的外心到三角形三条边的距离相等
C．顺次连接矩形四边中点构成的四边形是菱形
D．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
2．下列关于圆的说法，正确的是（）
A．弦是直径，直径也是弦
B．半圆是圆中最长的弧
C．圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴
D．过三点可以作一个圆
3．如图，半圆O的半径长为5，点P为直径AB上的一个动点，已知CP⊥AB，交半圆O于点C，若D为半圆O上的一动点，且CD=4，M是CD的中点，则PM的值有（）
A．最小值5 B．最小值4 C．最大值5 D．最大值4
4．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（）
A．(－1，－2) B．(－2，－1) C．(1，2) D．(2，1)
5．下列有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等．其中错误的结论有（　　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．下列四个命题中，正确的有（）
A．圆的对称轴是直径 B．半径相等的两个半圆是等弧
C．三角形的外心到三角形各边的距离相等 D．经过三个点一定可以作圆
7．给出下列说法：①圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径；②三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；③经过三个点一定可以画一个圆；④平分弦的直径垂直于弦；⑤垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．正确的有（）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（）
A．为等腰三角形 B．与相互垂直平分
C．点A、B都在以为直径的圆上 D．为的边上的中线
9．如图，每个小正方形的边长为1，格点A、B、C在同一圆弧上，若点A的坐标为(﹣2，3)，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）
A．(﹣1，1) B．(﹣3，0) C．(﹣3，1) D．(0，1)
10．下列四个命题：
①等边三角形是中心对称图形；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；
③三角形有且只有一个外接圆；④平分弦的直径垂直于弦；⑤过三点有且只有一个圆．
其中真命题的个数有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，在等边△ABC中，AB＝12，点D在AB边上，AD＝4，E为AC中点，P为△ABC内一点，且∠BPD＝90°，则线段PE的最小值为（　　）
A．3﹣2 B． C．2﹣4 D．4﹣8
12．平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（　　）
A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或4
13．下列说法正确的有（　　）
①相等的圆心角所对的弧相等；②长度相等的两条弧是等弧；③三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；④三点可以确定一个圆．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
14．下列命题正确的是（）
A．菱形的四个顶点都在同一个圆上
B．过圆心的线段是圆的直径
C．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．三个点一定能确定一个圆
15．一点到圆上各点的最大距离为，最小距离为，则此圆的半径为（）
A． B． C．或 D．无法确定
16．下列条件中，能确定圆的是（）
A．以点为圆心 B．以为半径
C．经过已知点 D．以为圆心，为半径
17．下列说法正确的是（）
A．所有的半圆都是等弧
B．所有的优弧都大于劣弧
C．同圆中劣弧必小于半圆
D．圆的一条弦必对着一优弧一劣弧
18．下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④两个半圆是等弧。其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
19．如图，点P（3,4），⊙P半径为2，A（2.8，0），B（5.6,0）.点M是P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值为（）
A．14 B． C． D．26
20．如图,已知△ABC,∠ABC=2∠C,以B为圆心任意长为半径作弧,交BA、BC于点E. F,分别以E. F为圆心,以大于EF的长为半径作弧,两弧交于点P,作射线BP交AC于点,则下列说法不正确的是( )
A．∠ADB=∠ABC B．AB=BD C．AC=AD+BD D．∠ABD=∠BCD
21．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤：（1）分别以B、C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交M、N；（2）作直线MN，交AB于D，连结CD，若CD＝AD，∠B＝20°，则下列结论：①∠ADC＝40°②∠ACD＝70°③点D为△ABC的外心④∠ACD＝90°，正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
22．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在的圆的圆心为图中的(　　)
A．M B．P C．Q D．R
23．如图在圆中，，°，则的度数为（）
A．25° B．50° C．65° D．70°
24．如图，O是的外心，则　　
A． B． C． D．
25．如图的矩形ABCD中，E为AB的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与AD、BC相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：
(甲) 作∠DEC的角平分线L，作DE的中垂线，交L于O点，则O即为所求；
(乙) 连接PC、QD，两线段交于一点O，则O即为所求.
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？(　　)
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
26．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B在x轴上、点C在y轴上，点A、B、C的坐标分别为A（，0），B（3，0），C（0，5），点D在第一象限内，且∠ADB＝60°，则线段CD长的最小值为（　　）
A．2 B．2﹣2 C．4 D．2﹣4
27．在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，P为边AD上一点，点A关于BP的对称的点为E，AD＝2，BC＝4，AB＝2，则△CDE的面积不可能为（ ）
A．4—2 B．3－ C．4—2 D．3－
28．如图，直线l：y=-x-与坐标轴交于A，C两点，过A，O，C三点作⊙O1，点E为劣弧AO上一点，连接EC，EA，EO，当点E在劣弧AO上运动时（不与A，O两点重合），的值是否发生变化？（）
A． B． C．2 D．变化
29．已知，如图，，点在第二象限运动，求的最小值为（）.
A． B． C． D．
30．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点在线段上，点在轴上，将沿直线翻折，使点与点重合．若点在线段延长线上，且，点在轴上，点在坐标平面内，如果以点为顶点的四边形是菱形，那么点有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
31．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．则⊙O的半径为______．
32．已知点在圆外，且到圆上各点的最大距离为，最小距离为，则该圆的半径为_______．
33．如图，在⊙O中，弦BC=1，点A是圆上一点，且∠BAC=30°，则⊙O的半径是．
34．如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为．
35．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M是BC上一点，且BM＝4，点P是边AB上一动点，连接PM，将△BPM沿PM翻折得到△DPM，点D与点B对应，连接AD，则AD的最小值为_____．
三、解答题
36．已知等边的边长为8，点P是边上的一个动点（与点A、B不重合）．
（1）如图1．当时，的面积为　　；
（2）直线l是经过点P的一条直线，把沿直线l折叠，点B的对应点是点．
①如图2，当时，若直线，求的长度；
②如图3，当时，在直线l变化过程中．请直接写出面积的最大值．
37．如图，在中，，，，以为圆心，为半径作圆．试判断：
点与的位置关系；
点与的位置关系；
(3)的中点与的位置关系．
38．小清为班级办黑板报时遇到一个难题，在版面设计过程中需要将一个半圆三等分，小华帮他设计了一个尺规作图的方法．
小华的作法如下：
（1）作AB的垂直平分线CD交AB于点O；
（2）分别，以A、B为圆心，以AO（或BO）的长为半径画弧，分别交半圆于点M、N；
（3）连接OM、ON即可
请根据该同学的作图方法完成以下推理：
∵半圆AB
∴　　是直径．
∵CD是线段AB的垂直平分线
∴OA＝OB（依据：　　）
∵OA＝OM＝　　
∴△OAM为等边三角形（依据：　　）
∴∠AOM＝60°（依据：　　）
同理可得∠BON＝60°
∠AOM＝∠BON＝∠MON＝60°
39．如图，四边形ABCD是正方形，△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合．
（1）旋转中心是点________，旋转了________度．
（2）如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？为什么？
（3）请用尺规作图画出△AEF的外接圆，标明圆心M的位置，量出半径的长度为________，并判断点C与⊙M的位置关系为_________．
40．如图，等腰中，，，平分交于，若点为外一点，且，判断和的位置关系．
41．如图所示，在△ABC中，CE，BD分别是AB，AC边上的高，求证：B，C，D，E四点在同一个圆上．
42．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，点E是AB的中点，延长EO交⊙O于D点，若BC=DC，AB=2 ，求的长度．
43．在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a＝3，b和c是关于x的方程x2+mx+2-m=0的两个实数根．
（1）求△ABC的周长．
（2）求△ABC的三边均为整数时的外接圆半径．
44．如图所示，△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求△ABC外接圆的半径．
45．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径.
（1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，则该损矩形的直径是线段.
（2）在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上(即损矩形的四个顶点在同一个圆上)，请作出这个圆，并说明你的理由.友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．
（3）如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连结BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由.若此时AB＝3，BD＝，求BC的长.
46．定义：到三角形两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心，如图，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心，已知，如图，在△ABC中，∠A为直角，BC=5，AB=3．
（1）若△ABC的一个准外心P在AC边上，试用尺规找出点P的位置（保留痕迹，不写作法）；
（2）求线段PA的长．
47．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝70°．
(1) 尺规作图：作△ABC的内切圆圆O；
(2) 若圆O分别与边BC、AB、AC交于点D、E、F，求∠EDF的度数．
48．如图，,⊙是Rt△的内切圆，分别切于点,连接.的延长线交于点，.
（1）求证：四边形为正方形；
（2）求⊙的半径；
（3）求的长.
49．如图，正三角形ABC内接于⊙O，P是上的一点，且，交于E，点F是延长线上的点，，，．
（1）求证≌；
（2）求证；
（3）求和的长．
50．如图，已知AD既是△ABC的中线，又是角平分线，请判断：
（1）△ABC的形状；
（2）AD是否过△ABC外接圆的圆心O，⊙O是否是△ABC的外接圆，并证明你的结论．
51．在平面直角坐标系中，定义点P（x，y）的变换点为P′（x+y，x﹣y）．
（1）如图1，如果⊙O的半径为2，
①判断M（2，0），N（﹣2，1）两个点的变换点M′、N′与⊙O的位置关系；
②若点P在直线y=x-2上，点P的变换点P′不在⊙O外，结合图形求点P横坐标x的取值范围．
（2）如图2，如果⊙O的半径为1，且P的变换点P′在直线y=﹣2x+5上，求点P与⊙O上任意一点距离的最小值．
52．如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，0）、B（3，1）、C（1，3）．
（1）将△ABC沿x轴负方向移动2个单位长度至△A1B1C1，画图并写出点C1的坐标；
（2）以点A1为旋转中心，将△A1B1C1逆时针方向旋转90°得到△A2B2C2，画图并写出点C2的坐标；
（3）以B、C1、C2为顶点的三角形是　　三角形，其外接圆的半径R＝　　．
53．如图，点E为正方形ABCD边AB上运动，点A与点F关于DE对称，作射线CF交DE延长线于点P，连接AP、BF．
(1)若∠ADE=15°，求∠DPC的度数；
(2)试探究AP与PC的位置关系，并说明理由；
(3)若AB=2，求BF的最小值．
54．已知菱形ABCD的边长为2．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。
（1）特殊发现：如图①，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；
（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．
①猜想验证：如图②．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；
②拓展运用：如图③，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由。
55．阅读：已知△ABC，用直尺与圆规，在直线BC上方的平面内作一点M（不与点A重合），使∠BMC＝∠BAC（如图1）．
小明利用“同弧所对的圆周角相等”这条性质解决了这个问题，下面是他的作图过程：
第一步：分别作AB、BC的中垂线（虚线部分），设交点为O；
第二步：以O为圆心，OA为半径画圆（即△ABC的外接圆）
第三步：在弦BC上方的弧上（异于A点）取一点M，连结MB、MC，则∠BMC＝∠BAC．（如图2）
思考：如图2，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝10，E是CD上一点，DE＝2．
（1）请利用小明上面操作所获得的经验，在矩形ABCD内部用直尺与圆规作出一点P．点P满足：∠BPC＝∠BEC，且PB＝PC．（要求：用直尺与圆规作出点P，保留作图痕迹．）
（2）求PC的长．
【答案与解析】
一、单选题
1．下列命题正确的是（　　）
A．两直线平行同位角互补
B．三角形的外心到三角形三条边的距离相等
C．顺次连接矩形四边中点构成的四边形是菱形
D．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
【答案】C
【分析】
根据平行线的性质、外心的性质、中点四边形的判定、全等三角形的判定判断即可．
【详解】
解：A. 两直线平行同位角相等，原选项错误，不符合题意；
B. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原选项错误，不符合题意；
C. 顺次连接矩形四边中点构成的四边形是菱形，原选项正确，符合题意；
D. 有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，原选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、外心的性质、中点四边形的判定、全等三角形的判定，解题关键是准确掌握相关性质，正确进行判断．
2．下列关于圆的说法，正确的是（）
A．弦是直径，直径也是弦
B．半圆是圆中最长的弧
C．圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴
D．过三点可以作一个圆
【答案】C
【分析】
根据弧、弦的概念、对称轴的概念、过三点的圆的条件判断即可．
【详解】
解：A、弦不一定是直径，但直径是弦，本选项说法错误，不符合题意；
B、半圆小于优弧，半圆是圆中最长的弧说法错误，本选项不符合题意；
C、圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，本选项说法正确，符合题意；
D、过不在同一直线上的三点可以作一个圆，本选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆的有关概念和性质，解题关键是熟练掌握这些性质，灵活运用它们解答．
3．如图，半圆O的半径长为5，点P为直径AB上的一个动点，已知CP⊥AB，交半圆O于点C，若D为半圆O上的一动点，且CD=4，M是CD的中点，则PM的值有（）
A．最小值5 B．最小值4 C．最大值5 D．最大值4
【答案】C
【分析】
连接OM，OC，由垂径定理的推论可知OM⊥CD，从而由∠CPO=∠OMC=90°，可知点P，O，M，C四点共圆，PM为此圆的弦，因此当弦为直径时取最大值．
【详解】
解：连接OM，OC，
∵点M是CD的中点，
∴OM⊥CD，
∵CP⊥AB，
∴∠CPO=∠OMC=90°，
∴点P，O，M，C四点共圆，OC是圆的直径，设圆心为I
∴当点M，P，I三点共线时即PM是圆的直径时，即PM=OC=5时，PM的值最大．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆中的最值问题，把PM的长转化为圆中弦的最值问题是解题的关键．
4．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（）
A．(－1，－2) B．(－2，－1) C．(1，2) D．(2，1)
【答案】A
【分析】
连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点圆心D的坐标即可．
【详解】
连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：
在CB的垂直平分线上找到一点D，
CD=DB=DA=，
所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，
即D的坐标为（﹣1，﹣2），
故选：A．
【点睛】
此题考查圆心的确定方法，垂直平分线，勾股定理，点的坐标，正确作图确定圆心是解题的关键．
5．下列有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等．其中错误的结论有（　　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据确定圆的条件、垂径定理、圆心角的性质、外心性质即可．
【详解】
解：不在同一直线上的三点确定一个圆，故①错误；
在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故②错误；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故③错误；
三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，故④正确；
综上，错误结论的序号为：①②③，共有3个，
故选：C．
【点睛】
本题考查命题的真假判断，掌握确定圆的条件、垂径定理、圆心角的性质、外心是解题的关键．
6．下列四个命题中，正确的有（）
A．圆的对称轴是直径 B．半径相等的两个半圆是等弧
C．三角形的外心到三角形各边的距离相等 D．经过三个点一定可以作圆
【答案】B
【分析】
直接运用对称轴的定义、确定圆的条件、三角形外心的性质、等弧的定义逐项判定即可．
【详解】
解：A.圆的对称轴是直径所在的直线，所以A错误；
B. 半径相等的两个半圆是等弧，所以B正确；
C.三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，所以C错误；
D. 经过不共线的三个点一定可以作圆，所以D错误；
故答案为B．
【点睛】
本题主要考查了对称轴的定义、确定圆的条件、三角形外心的性质、等弧的定义等知识点，考查知识点较多，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
7．给出下列说法：①圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径；②三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；③经过三个点一定可以画一个圆；④平分弦的直径垂直于弦；⑤垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．正确的有（）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】
根据对称轴是一条直线，即可判断①；根据外心的性质即可判断②；利用确定圆的条件即可判断③；根据弦不是直径时，平分弦的直径才垂直于弦，即可判断④；根据垂径定理的推论，即可判断⑤．
【详解】
∵圆是轴对称图形，直径所在直线是它的对称轴，∴①错误；
∵三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，∴②正确；
∵经过不在同一直线上的三点确定一个圆，∴③错误；
∵平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，∴④错误；
∵垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧，∴⑤正确；
综上，正确的是②⑤，共2个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂径定理及其推论，三角形的外接圆与外心等知识点的应用，正确把握相关定义是解题关键．
8．如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（）
A．为等腰三角形 B．与相互垂直平分
C．点A、B都在以为直径的圆上 D．为的边上的中线
【答案】B
【分析】
连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，证明Rt△OPB≌Rt△OPA，可得BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出为等腰三角形，可判断A；根据△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，可得PM=OM=BM=AM，可判断C；证明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根据△BPA为等腰三角形，可判断D；无法证明与相互垂直平分，即可得出答案．
【详解】
解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，
∵B，C为切点，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OPB≌Rt△OPA，
∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，
∴为等腰三角形，故A正确；
∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，
∴PM=OM=BM=AM
∴点A、B都在以为直径的圆上，故C正确；
∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，
∴△OBC≌△OAC，
∴∠OCB=∠OCA=90°，
∴PC⊥AB，
∵△BPA为等腰三角形，
∴为的边上的中线，故D正确；
无法证明与相互垂直平分，
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆的性质，掌握知识点灵活运用是解题关键．
9．如图，每个小正方形的边长为1，格点A、B、C在同一圆弧上，若点A的坐标为(﹣2，3)，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）
A．(﹣1，1) B．(﹣3，0) C．(﹣3，1) D．(0，1)
【答案】B
【分析】
连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．
【详解】
如图所示，
连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．
∵点A的坐标为（-2，3），
∴该圆弧所在圆的圆心坐标是（-3，0）．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了垂径定理的应用，根据线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，找到圆的半径，半径的交点即为圆心是解题关键．
10．下列四个命题：
①等边三角形是中心对称图形；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；
③三角形有且只有一个外接圆；④平分弦的直径垂直于弦；⑤过三点有且只有一个圆．
其中真命题的个数有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】
根据中心对称图形的定义、圆周角的性质、三角形的外接圆、垂径定理、圆的确定依次判断即可.
【详解】
①等边三角形是中心对称图形不是中心对称图形，故错误；
②在圆中一条弦所对的圆周角有两个，则在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角不一定相等，故错误；
③三角形有且只有一个外接圆，故正确；
④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误；
⑤过不在同一直线上的三点有且只有一个圆，故错误；
故是真命题的是③，
故选：A.
【点睛】
此题考查真命题：正确的命题是真命题，正确掌握中心对称图形的定义、圆周角的性质、三角形的外接圆、垂径定理、圆的确定是解此题的关键.
11．如图，在等边△ABC中，AB＝12，点D在AB边上，AD＝4，E为AC中点，P为△ABC内一点，且∠BPD＝90°，则线段PE的最小值为（　　）
A．3﹣2 B． C．2﹣4 D．4﹣8
【答案】C
【分析】
以BD为直径作⊙O，连接OE交⊙O于点P，则OE的长度最小，即EP最小，根据勾股定理即可求出答案．
【详解】
解：以BD为直径作⊙O，连接OE交⊙O于点P，则OE的长度最小，即EP最小，
过点E作EF⊥AB于点F，在Rt△AEF中，
∠A＝60°，AE＝6，
∴AF＝3，EF＝，
在Rt△OEF中，EF＝，OF＝5，
∴OE＝，
∴PE＝﹣4，
即线段PE的最小值为﹣4，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆的性质，等边三角形的性质，勾股定理，根据题意判断出EP最小的情况是解题关键．
12．平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（　　）
A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据四个点在平面上不同的位置确定有四种情况，分别讨论构成圆的个数即可得到答案.
【详解】
如图，当四点在同一条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作一个圆，当三点在同一直线上时，可以作三个圆，当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆．
故选：C．
【点睛】
此题考查点构成圆的个数，点的位置关系，正确分析点的位置关系是解题的关键.
13．下列说法正确的有（　　）
①相等的圆心角所对的弧相等；②长度相等的两条弧是等弧；③三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；④三点可以确定一个圆．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【分析】
根据确定圆的条件，三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系定理，圆周角定理判断即可．
【详解】
解：①在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等；故不符合题意；
②在同圆或等圆中长度相等的两条弧是等弧；故不符合题意；
③三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；故符合题意；
④不在同一条直线上的三点可以确定一个圆，故不符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是确定圆的条件，三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，掌握相关的性质定理是解题的关键．
14．下列命题正确的是（）
A．菱形的四个顶点都在同一个圆上
B．过圆心的线段是圆的直径
C．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．三个点一定能确定一个圆
【答案】C
【分析】
利用直径、不在同一直线上的三点确定一个圆、圆的对称性及四点共圆即可作出判断．
【详解】
A.菱形的对角线不一定相等，故菱形的四个顶点不一定都在同一个圆上，故该选项错误，
B.过圆心的弦是圆的直径，故该选项错误，
C.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项正确，
D.不在同一直线上的三点确定一个圆，故该选项错误，
故选C.
【点睛】
本题考查了命题和定理问题，熟练掌握直径、不在同一直线上的三点确定一个圆、圆的对称性和四点共圆等知识是解题关键．
15．一点到圆上各点的最大距离为，最小距离为，则此圆的半径为（）
A． B． C．或 D．无法确定
【答案】C
【分析】
点P可能在圆内，也可能在圆外；当点P在圆内时，直径为最大距离与最小距离的和；当点P在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差；再分别计算半径．
【详解】
当点P在圆内时，直径为最大距离与最小距离的和，
∴半径为：(8+6)÷2=7cm.
当点P在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差，
∴半径为：(8-6)÷2=1cm.
故选C.
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系，灵活运用分类的思想，理解点到圆上最大距离、最小距离是解题关键．
16．下列条件中，能确定圆的是（）
A．以点为圆心 B．以为半径
C．经过已知点 D．以为圆心，为半径
【答案】D
【分析】
确定圆的条件：①确定圆心；②确定半径；据此即可得答案.
【详解】
A.无法确定半径，不能确定圆，故该选项不符合题意，
B.无法确定圆心，不能确定圆，故该选项不符合题意，
C.无法确定圆心和半径，不能确定圆，故该选项不符合题意，
D.确定了圆心和半径，能确定圆，故该选项符合题意，
故选D.
【点睛】
本题考查了确定圆的条件，必须确定圆心和半径，两个条件缺一不可.
17．下列说法正确的是（）
A．所有的半圆都是等弧
B．所有的优弧都大于劣弧
C．同圆中劣弧必小于半圆
D．圆的一条弦必对着一优弧一劣弧
【答案】C
【分析】
利用等弧及半圆的定义、优弧与劣弧的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
A.半径相等的半圆是等弧，故该选项错误，
B.在同圆或等圆中，优弧大于劣弧，故该选项错误，
C.同圆中劣弧必小于半圆，故该选项正确，
D.直径所对的弧是半圆，既不是优弧也不是劣弧，故该选项错误.
故选C.
【点睛】
本题考查了圆的有关定义，了解等弧及半圆的定义、优弧与劣弧的定义是解题关键．
18．下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④两个半圆是等弧。其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】
根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．
【详解】
①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；
②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；
③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；
④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故错误．
故选C．
【点睛】
此题考查了圆中的有关概念：弦、直径、等弧．注意：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
19．如图，点P（3,4），⊙P半径为2，A（2.8，0），B（5.6,0）.点M是P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值为（）
A．14 B． C． D．26
【答案】B
【分析】
如图，连接OP交⊙P于M′，连接OM．因为OA=AB，CM=CB，所以AC=OM，所以当OM最小时，AC最小，M运动到M′时，OM最小，由此即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接OP交⊙P于M′，连接OM．
∵点P（3,4），
∴OP=.
∵A（2.8，0），B（5.6,0）
∴OA=AB，
∵点C是MB的中点，
∴CM=CB，
∴AC=OM，
∴当OM最小时，AC最小，
∴当M运动到M′时，OM最小，此时AC的最小值=OM′=（OP﹣PM′）=．
?故选B.
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、最小值问题等知识，解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考问题，所以中考常考题型．
20．如图,已知△ABC,∠ABC=2∠C,以B为圆心任意长为半径作弧,交BA、BC于点E. F,分别以E. F为圆心,以大于EF的长为半径作弧,两弧交于点P,作射线BP交AC于点,则下列说法不正确的是( )
A．∠ADB=∠ABC B．AB=BD C．AC=AD+BD D．∠ABD=∠BCD
【答案】B
【解析】
【分析】
根据作图方法可得BD平分∠ABC，进而可得∠ABD=∠DBC=∠ABC，然后根据条件∠ABC=2∠C可证明∠ABD=∠DBC=∠C，再根据三角形内角和外角的关系可得A说法正确；根据等角对等边可得DB=CD，进而可得AC=AD+BD，可得C说法正确；根据等量代换可得D正确．
【详解】
由题意可得BD平分∠ABC，
A. ∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC,
∵∠ABC=2∠C，∠ADB=∠C+∠DBC，
∴∠ADB=2∠C，
∴∠ADB=∠ABC，故A不合题意；
B. ∵∠A≠∠ADB，
∴AB≠BD，故此选项符合题意；
C. ∵∠DBC=∠ABC，∠ABC=2∠C，
∴∠DBC=∠C，
∴DC=BD，
∵AC=AD+DC，
∴AC=AD+BD，故此选项不合题意；
D. ∵∠ABD=∠ABC，∠ABC=2∠C，
∴∠ABD=∠C，故此选项不合题意；
故选B.
【点睛】
此题考查作图—基本作图，解题关键在于掌握作图法则.
21．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤：（1）分别以B、C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交M、N；（2）作直线MN，交AB于D，连结CD，若CD＝AD，∠B＝20°，则下列结论：①∠ADC＝40°②∠ACD＝70°③点D为△ABC的外心④∠ACD＝90°，正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】
【分析】
依据直线MN是线段BC的垂直平分线，可得∠B=∠BCD=20°，进而得出∠ADC=40°；依据AD=CD与三角形内角和定理，即可得到∠ACD=70°；依据AD=BD，即可得出D是AB的中点；依据AD=CD=DB，即可得到点D是△ABC的外接圆圆心；依据∠ACD=70°得∠ACD≠90°．
【详解】
由题意可知，直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，∠B＝∠BCD＝20°，
∴∠ADC＝∠BCD+∠CBD＝40°，故A选项正确；
又∵CD＝AD，
∴∠A＝∠ACD，
又∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
∴∠ACD＝70°，故B选项正确，D选项错误；
∵AD＝CD，BD＝CD，
∴AD＝BD，即D是AB的中点，故C选项正确；
故选B．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称“中垂线”．
22．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在的圆的圆心为图中的(　　)
A．M B．P C．Q D．R
【答案】C
【分析】
根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到答案．
【详解】
解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，
它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．
故选C．
【点睛】
本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．
23．如图在圆中，，°，则的度数为（）
A．25° B．50° C．65° D．70°
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据OA=OB，∠BAO=25°得出∠B=25°，求出再由得到是等边三角形，得到根据即可得出结论．
【详解】
∵
∴
∵，
是等边三角形，
∴
故选:D.
【点睛】
考查三角形的内角和，等边三角形的判定与性质，圆的性质等，比较简单，难度不大.
24．如图，O是的外心，则　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】
如图，
，
，
同理，，，
，
，
故选C．
【点睛】
本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外接圆的概念，三角形内角和定理是解题的关键．
25．如图的矩形ABCD中，E为AB的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与AD、BC相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：
(甲) 作∠DEC的角平分线L，作DE的中垂线，交L于O点，则O即为所求；
(乙) 连接PC、QD，两线段交于一点O，则O即为所求.
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？(　　)
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【答案】A
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质判断甲，根据90°的圆周角所对的弦是直径判断乙．
【详解】
解：甲，∵ED＝EC，
∴△DEC为等腰三角形，
∴L为CD之中垂线，
∴O为两中垂线之交点，
即O为△CDE的外心，
∴O为此圆圆心．
乙，∵∠ADC＝90°，∠DCB＝90°，
∴PC、QD为此圆直径，
∴PC与QD的交点O为此圆圆心，因此甲、乙两人皆正确．
故选A．
【点睛】
本题考查的是确定圆的条件，掌握线段垂直平分线的性质、圆周角定理是解题的关键．
26．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B在x轴上、点C在y轴上，点A、B、C的坐标分别为A（，0），B（3，0），C（0，5），点D在第一象限内，且∠ADB＝60°，则线段CD长的最小值为（　　）
A．2 B．2﹣2 C．4 D．2﹣4
【答案】B
【解析】
【分析】
作圆，求出半径和PC的长度，判出点D只有在CP上时CD最短，CD=CP-DP求解．
【详解】
作圆，使∠ADB=60°，设圆心为P，连结PA、PB、PC，PE⊥AB于E，如图所示：
∵A（，0），B（3，0），
∴E（2，0），
又∠ADB=60°，
∴∠APB=120°，
∴PE=1，PA=2PE=2，
∴P（2，1），
∵C（0，5），
∴PC==2，
又∵PD=PA=2，
∴只有点D在线段PC上时，CD最短（点D在别的位置时构成△CDP），
∴CD最小值为：2-2．
故选B．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，圆周角定理及勾股定理，解决本题的关键是判出点D只有在CP上时CD最短．
27．在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，P为边AD上一点，点A关于BP的对称的点为E，AD＝2，BC＝4，AB＝2，则△CDE的面积不可能为（ ）
A．4—2 B．3－ C．4—2 D．3－
【答案】A
【解析】
如图，过点D作DF⊥BC于点F，则由题意易得四边形ABFD是正方形，△DFC是等腰直角三角形，DC=，点E在以B为圆心，BA为半径的上运动，
（1）由图可知，当点E运动到BD与的交点Q点时，点E到DC的距离最短=QD，此时△CDE的面积最小，
∵QD=BD-BQ=，CD=，
∴S△CDE最小=；
（2）由图可知，当点E运动到点F或点A处时，点E到DC的距离最大=FC，此时△CDE的面积最大，
由题意易得：FC=2，
∴S△CDE最大=；
综上所述，对比四个选项中的结果可知，△CDE的面积不可能为，
故选A.
点睛：本题解题的要点是由“点E和点A关于BP对称”可得，BE=BA，从而可知点E在以B为圆心，BA为半径的弧上运动，从而可确定出点E到CD距离最远的位置和最近的位置，这样结合已知条件通过计算即可得到所求答案.
28．如图，直线l：y=-x-与坐标轴交于A，C两点，过A，O，C三点作⊙O1，点E为劣弧AO上一点，连接EC，EA，EO，当点E在劣弧AO上运动时（不与A，O两点重合），的值是否发生变化？（）
A． B． C．2 D．变化
【答案】A
【解析】
试题分析：对于直线l：y=-x-，
令x=0，得到y=-；
令y=0，得到x=-，
∴OA=OC，又∠AOC=90°，
∴△OAC为圆内接等腰直角三角形，AC为直径，
如图，在CE上截取CM=AE，连接OM，
∵在△OAE和△OCM中，
，
∴△OAE≌△OCM（SAS），
∴∠AOE=∠COM，OM=OE，
∵∠AOC=∠AOM+∠MOC=90°，∠MOE=∠AOE+∠MOC，
∴∠MOE=90°，
∴△OME为等腰直角三角形，
∴ME=EO，
又∵ME=EC-CM=EC-AE，
∴EC-AE=EO，即=．
考点: 一次函数综合题．
29．已知，如图，，点在第二象限运动，求的最小值为（）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意知点P的运动轨迹是以点M为圆心，半径的圆弧，当点P在BC上时，PC有最小值，据此可求解.
【详解】
如图，
∵A（-1，0），B（-3，0），
∴AB=2，
∵∠APB=30°，
∴点P的轨迹是以M为圆心，半径r=2的圆弧；
易得圆心坐标为，，
.
故选
【点睛】
本题考查了线段最短问题，确定点P的位置是解本题的难点．
30．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点在线段上，点在轴上，将沿直线翻折，使点与点重合．若点在线段延长线上，且，点在轴上，点在坐标平面内，如果以点为顶点的四边形是菱形，那么点有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】
根据菱形的性质，分别以EC为边和EC为对角线进行讨论即可得出答案．
【详解】
∵点，点，
∴，
．
由折叠可知，CE是线段AB的垂直平分线，点C为AB中点，
∴．
∵以点为顶点的四边形是菱形，
若CE为菱形的边，则菱形的每个边的长度都为5，分别以点C,E为圆心，以5为半径画圆，所画的圆与y轴有4个交点，分别对应图中的，即此时对应的N点也有4个，分别为；
若以CE为菱形的对角线，根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，所以先画出CE的垂直平分线，该垂直平分线与y轴的交点即为，对应的N点即为．
所以符合条件的N有5个，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质及尺规作图，掌握菱形的性质是解题的关键．
二、填空题
31．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．则⊙O的半径为______．
【答案】5
【分析】
如图，设交于．解直角三角形求出，再在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】
解：如图，设交于．半径为，
，平分，
，，
，
在中，则有，
解得，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
32．已知点在圆外，且到圆上各点的最大距离为，最小距离为，则该圆的半径为_______．
【答案】
【分析】
点P在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差；再分别计算半径．
【详解】
∵点在圆外，且到圆上各点的最大距离为，最小距离为，
∴该圆半径为：(16-8)÷2=4cm.
故答案为：4cm
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系，理解点到圆上最大距离、最小距离是解题关键．
33．如图，在⊙O中，弦BC=1，点A是圆上一点，且∠BAC=30°，则⊙O的半径是．
【答案】1
【解析】
试题分析：连接OB，OC，根据∠BAC=30°可得∠BOC=60°，则△OBC为等边三角形，则OB=BC=1，即圆的半径是1．
考点：圆的基本性质．
34．如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为．
【答案】5.
【详解】
试题分析：根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．
如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，
以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，
故答案为5．
考点：圆的有关性质.
35．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M是BC上一点，且BM＝4，点P是边AB上一动点，连接PM，将△BPM沿PM翻折得到△DPM，点D与点B对应，连接AD，则AD的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，作辅助圆；根据勾股定理依次求出AE、EM、AM、DM的长度，即可解决问题．
【详解】
解：如图，
由题意得：DM＝MB，
∴点D在以M为圆心，BM为半径的圆上，作⊙M；连接AM交⊙M于点D′，此时AD值最小；
过A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC＝5，
∴BE＝EC＝BC＝×6＝3，
由勾股定理得：AE＝＝4，
∵BM＝4，
∴EM＝4﹣3＝1，
∴AM＝＝＝，
∵D′M＝BM＝4，
∴如图中AD′＝AM﹣D′M＝﹣4，
即线段AD长的最小值是﹣4；
故答案为：﹣4．
【点睛】
该题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理、最值问题等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助圆，从整体上把握题意，准确找出图形中数量关系．
三、解答题
36．已知等边的边长为8，点P是边上的一个动点（与点A、B不重合）．
（1）如图1．当时，的面积为　　；
（2）直线l是经过点P的一条直线，把沿直线l折叠，点B的对应点是点．
①如图2，当时，若直线，求的长度；
②如图3，当时，在直线l变化过程中．请直接写出面积的最大值．
【答案】（1）；（2）①；②
【分析】
（1）先根据等边三角形的边长为8，计算等边△ABC的面积，由同高三角形面积的比等于对应底边的比，可得△PBC的面积；
（2）①如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O．证明△PEB是等边三角形，求出OB即可解决问题；
②如图3中，过点P作PH垂直于AC，当B'、P、H共线时，△ACB′的面积最大，求出PH的长即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图1中，
∵等边△ABC的边长为8，
∴等边△ABC的面积=，
∵PB=3AP，
∴△BPC的面积为；
故答案为：12；
（2）①如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O，
∵PE∥AC，
∴∠BPE=∠A=60°，∠BEP=∠C=60°，
∴△PEB是等边三角形，
∵PB=5，且B，B′关于PE对称，
∴BB′⊥PE，BB′=2OB，
∴∠PBO=30°，
∴OP=PB=，OB=，
∴BB′=5；
②如图3中，过点P作PH垂直于AC，
由题意可得：B'在以P为圆心半径长为6的圆上运动，
当HP的延长线交圆P于点B′时面积最大，
在Rt△APH中，∵AB=8，PB=6，
∵PA=2，
∵∠PAH=60°，
∴AH=1，PH=，
∴BH=6+，
∴S△ACB′的最大值=×8×（6+）=4+24．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质和判定，轴对称变换，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
37．如图，在中，，，，以为圆心，为半径作圆．试判断：
点与的位置关系；
点与的位置关系；
(3)的中点与的位置关系．
【答案】 (1)点在上；点在外；点在内．
【解析】
【分析】
由条件可求得AC=3，且BA=5，DA=2.5，
（1）比较与圆A的半径的大小关系可分别判断出点C与圆A的关系；
（2）比较与圆A的半径的大小关系可分别判断出点B与圆A的关系；
（3）比较与圆A的半径的大小关系可分别判断出点D与圆A的关系.
【详解】
∵∠C=90°，AB=5cm，BC=4cm，
∴AC=3cm，BA=5cm，DA=2.5cm，
（1）∵AC=r=3cm，
∴点C在⊙A上；
（2）∵BA=5cm＞3cm，
∴BA＞r，
∴点B在⊙A外；
（3）∵DA=2.5cm＜3cm，
∴DA＜r，
∴点D在⊙A内．
【点睛】
本题主要考查点和圆的位置关系，掌握点和圆的位置关系的判定是解题的关键．
38．小清为班级办黑板报时遇到一个难题，在版面设计过程中需要将一个半圆三等分，小华帮他设计了一个尺规作图的方法．
小华的作法如下：
（1）作AB的垂直平分线CD交AB于点O；
（2）分别，以A、B为圆心，以AO（或BO）的长为半径画弧，分别交半圆于点M、N；
（3）连接OM、ON即可
请根据该同学的作图方法完成以下推理：
∵半圆AB
∴　　是直径．
∵CD是线段AB的垂直平分线
∴OA＝OB（依据：　　）
∵OA＝OM＝　　
∴△OAM为等边三角形（依据：　　）
∴∠AOM＝60°（依据：　　）
同理可得∠BON＝60°
∠AOM＝∠BON＝∠MON＝60°
【答案】AB，中垂线的定义，AM，等边三角形的定义，等边三角形的性质．
【解析】
【分析】
应先做线段AB的垂直平分线，得到半圆的圆心；三等分平角，那么平分而成的每个角是60°根据半径相等，可得到相邻两个半径的端点与圆心组成一个等边三角形．以A为圆心，半径长为半径画弧，就可得到一个另一半径的端点所在的位置，连接它与圆心，就得到一条三等分线，同法做到另一三等分线．
【详解】
解：∵半圆AB，
∴AB是直径．
∵CD是线段AB的垂直平分线
∴OA＝OB（依据：中垂线的定义）
∵OA＝OM＝AM，
∴△OAM为等边三角形（依据：等边三角形的定义）
∴∠AOM＝60°（依据：等边三角形的性质）
同理可得∠BON＝60°
∠AOM＝∠BON＝∠MON＝60°，
故答案为：AB，中垂线的定义，AM，等边三角形的定义，等边三角形的性质．
【点睛】
考查作图﹣复杂作图，本题用到的知识点为：弦的垂直平分线经过圆心；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
39．如图，四边形ABCD是正方形，△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合．
（1）旋转中心是点________，旋转了________度．
（2）如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？为什么？
（3）请用尺规作图画出△AEF的外接圆，标明圆心M的位置，量出半径的长度为________，并判断点C与⊙M的位置关系为_________．
【答案】（1）A，90；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）EF的一半，点C在⊙M上
【解析】
【分析】
（1）利用旋转的定义直接填写即可；
（2）可证明△ADE≌△ABF，可得出AE＝AF，且可求得∠EAF＝90°；
（3）由（2）可知M在EF的中点上，所以半径为EF的一半，利用圆周角定理可知点C在圆上．
【详解】
（1）由旋转的定义可知旋转中心为A，AD从AD到AB，可知旋转了90°．
故答案为：A；90；
（2）△AEF是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°．
∵△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合，∴△ADE≌△ABF，∠DAB＝∠EAF＝90°，∴AE＝AF，∴△AEF是等腰直角三角形；
（3）∵△AEF为等腰直角三角形，∴M点在EF的中点，其外接圆如图，∵∠ECF＝90°，∴点C在⊙M上．
故答案为：EF的一半；点C在⊙M上．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，掌握旋转前后的图形全等是解题的关键．注意直角三角形的外心在斜边的中点上．
40．如图，等腰中，，，平分交于，若点为外一点，且，判断和的位置关系．
【答案】．理由见解析.
【解析】
【分析】
通过观察可知BD⊥CD．要证BD⊥CD，只需证明B、C、D、A四点共圆，可过A、B、C三点作圆，设该圆与射线BD相交于点D′，连接AD′、CD′，如图所示，只需证到点D与点D′重合即可．
【详解】
．
理由如下：
过、、三点作圆，与射线相交于点，连接、，如图所示，
则、、、四点共圆，
所以根据圆内接四边形的性质可得．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴点与点重合，
∴、、、四点共圆，
∴根据圆周角定理可得，即．
【点睛】
本题考查四点共圆、圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识，解题关键是证明点与点重合．
41．如图所示，在△ABC中，CE，BD分别是AB，AC边上的高，求证：B，C，D，E四点在同一个圆上．
【答案】证明见解析
【分析】
求证E，B，C，D四点在同一个圆上，△BCD是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明E到BC得中点的距离等于BC的一半就可以．
【详解】
证明:如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．
∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF=EF=BF=CF．
∴E，B，C，D四点在以F点为圆心，BC为半径的圆上．
【点睛】
此题考查确定圆的条件，求证几个点在同一个圆上就是证明这几个点到一个点的距离相等．
42．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，点E是AB的中点，延长EO交⊙O于D点，若BC=DC，AB=2 ，求的长度．
【答案】.
【解析】
【分析】
连结BD，如图，利用圆心角、弧、弦的关系，由BC=DC得，则根据垂径定理得到AC垂直平分BD，所以AB=AD，同样可得DA=DB，则可判断△ABD为等边三角形，所以∠BAC=30°，∠ABD=60°，根据圆周角定理得∠AOD=2∠ABD=120°，然后在Rt△AEO中计算出AO，最后利用弧长公式计算即可．
【详解】
连结BD，如图，
∵BC=DC，
∴，
∴AC垂直平分BD，
∴AB=AD，
∵点E是AB的中点，即AE=BE，
∴DE⊥AB，
∴DA=DB，
∴AB=AD=DB，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠BAC=30°，∠ABD=60°，
∴∠AOD=2∠ABD=120°，
在Rt△AEO中，∵∠EAO=30°，
∴OE=AE=1，AO=2OE=2，
∴的长度= =．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．解决本题的关键是证明△ABD为等边三角形．
43．在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a＝3，b和c是关于x的方程x2+mx+2-m=0的两个实数根．
（1）求△ABC的周长．
（2）求△ABC的三边均为整数时的外接圆半径．
【答案】（1）△ABC的周长为7或7；（2）△ABC的三边均为整数时的外接圆半径为．
【解析】
【分析】
（1）此题分两种情况考虑：一是b和c中有一个和a相等，是3；二是b=c，即根据方程有两个相等的实数根，由△=0求解．最后注意看是否符合三角形的三边关系．
（2）根据（1）中求解的结果，只需求得2，3，3的三角形的外接圆的半径，根据等腰三角形的三线合一和勾股定理求解．
【详解】
（1）若b、c中有一边等于3，
则方程可化为，
解得m=-；
原方程可化为x2-=0，
解得x1=3，x2=，
所以三角形的周长为3+3+=；
若b=c，则△=m2-4()=0，
解得m=﹣4或2，
当m=﹣4时，方程为x2﹣4x+4=0，得x1=x2=2，
所以三角形的周长为2+2+3=7；
当m=2时，方程为x2+2x+1=0，得x1=x2=﹣1；（不合题意，舍去）
综上可知△ABC的周长为7或7．
（2）作△ABC的外接圆⊙O，连接AO并延长交⊙O于点D、交BC于E，连接BO，
则有AE⊥BC．
∵△ABC的三边均为整数，
∴AB=AC=2，BC=3，
BE=BC=．AE==，
设AO=R，在Rt△BOE中，R2=（）2+（﹣R）2，
∴R=，
∴△ABC的三边均为整数时的外接圆半径为．
【点睛】
此题考查解一元二次方程-因式分解法，三角形的外接圆与外心，三角形的外接圆及外心.注意（1）中的多种情况，能够熟练结合等腰三角形的三线合一和勾股定理求得等腰三角形的外接圆的半径．
44．如图所示，△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求△ABC外接圆的半径．
【答案】6.25
【详解】
分析：通过作辅助线AD⊥BC，可将求△ABC外接圆的半径转化为求Rt△BOD的斜边长．
本题解析：
如图，作AD⊥BC，垂足为D，则O一定在AD上，
所以AD==8；
设OA=r,OB?=OD?+BD?，
即r?=(8?r)?+6?，
解得r==6.25.
答：△ABC外接圆的半径为6.25.
45．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径.
（1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，则该损矩形的直径是线段.
（2）在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上(即损矩形的四个顶点在同一个圆上)，请作出这个圆，并说明你的理由.友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．
（3）如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连结BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由.若此时AB＝3，BD＝，求BC的长.
【答案】（1）AC（2）作图见解析；（3）四边形ACEF为正方形，详见解析；BC＝5
【详解】
（1）只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．因此AC是该损矩形的直径；
（2）
作图如图；
∵点P为AC中点，
∴PA＝PC＝AC.
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴BP＝DP＝AC，
∴PA＝PB＝PC＝PD，
∴点A、B、C、D在以P为圆心，AC为半径的同一个圆上.
（3）∵菱形ACEF，
∴∠ADC＝90°，AE＝2AD，EC＝2CD，
∴四边形ABCD为损矩形，
∴由（2）可知，点A、B、C、D在同一个圆上.
∵AM平分∠BAD，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴AD＝CD，
∴四边形ACEF为正方形.
∵点BD平分∠ABC，BD＝，
∴点D到AB、BC的距离h为4，
∴＝6.
，
，
，
∵，
∴＋＝6＋2BC，
∴BC＝5或BC＝－3(舍去)，
∴BC＝5.
当菱形的一个角为直角时就成为正方形，根据面积之间的关系可以求得BC＝5.
46．定义：到三角形两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心，如图，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心，已知，如图，在△ABC中，∠A为直角，BC=5，AB=3．
（1）若△ABC的一个准外心P在AC边上，试用尺规找出点P的位置（保留痕迹，不写作法）；
（2）求线段PA的长．
【答案】(1)作图见解析；（2）2或．
【解析】
试题分析：（1）首先正确理解准外心的定义，然后画图：①点P到A、C两点距离相等；②P到B、C两点距离相等．
（2）首先利用勾股定理计算出AC长，然后再分三种情况：①PB=BC；②PA=PC；③PA=PB进行计算．
试题解析：（1）如图所示；
（2）∵BC=5，AB=3，
∴AC==4，
①若PB=BC，设PA=x，则x2+32=（4-x）2，
解得：x=，
即PA=，
②若PA=PC，则PA=2；
③若PA=PB，由图知，在△PAB中，不可能，
综上PA=2或．
考点：1.作图—复杂作图；2.勾股定理．
47．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝70°．
(1) 尺规作图：作△ABC的内切圆圆O；
(2) 若圆O分别与边BC、AB、AC交于点D、E、F，求∠EDF的度数．
【答案】(1)作图参见解析；(2)65°．
【解析】
试题分析：（1）内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，用尺规作图即可；（2）连接OE、OF．可得AB⊥OE，AC⊥OF．于是有∠EOF＝180?-∠A=130°，由圆周角定理即可求出∠EDF的度数．
试题解析：（1）内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，用直尺圆规作出两个角的角平分线，其交点就是内切圆的圆心O；（2）连接OE、OF．在△ABC中，∠A＝180°–∠B –∠C＝180?-60?-70?=50°．∵⊙O是△ABC的内切圆，∴AB⊥OE，AC⊥OF．∴∠EOF＝180?-∠A=130°，∴∠EDF＝∠EOF＝65°．
考点：1.内切圆圆心的意义；2.圆切线性质；3.圆周角定理.
48．如图，,⊙是Rt△的内切圆，分别切于点,连接.的延长线交于点，.
（1）求证：四边形为正方形；
（2）求⊙的半径；
（3）求的长.
【答案】(1)、证明过程见解析；(2)、1.5；(3)、7.5
【解析】
试题分析：（1）根据内接圆得出矩形，然后根据OE=OF得出正方形；（2）根据正方形得出△OED∽△ACD，从而得出半径；（3）根据内切圆得出DE=0.5，设BD=c，则DE=x+0.5，根据AG=AF=4.5则AB=5+x，根据勾股定理求出AB的长度.
试题解析：（1）因为⊙O是Rt△ABC的内接圆，分别切BC，AC，AB 于点E，F，G
∴∠CFO=∠OEC=90°
∵∠C=90°.∴则四边形OECF为矩形，
又∵OE="OF=r" ∴四边形OECF为正方形
（2）由四边形OECF为正方形
∴OE//AC ,CE=CF=r
∴△OED∽△ACD
∴
∴
解得:r=
（3）⊙是Rt△的内切圆,由（2）得DE=,设BD=x,则BE=BG=x+
∵AG=AF=，∴AB="5+x" ，
由得
解得:x=
∴AB =
考点：（1）圆的基本性质；（2）勾股定理；（3）三角形相似；（4）正方形的判定.
49．如图，正三角形ABC内接于⊙O，P是上的一点，且，交于E，点F是延长线上的点，，，．
（1）求证≌；
（2）求证；
（3）求和的长．
【答案】（1）证明见解析．（2）证明见解析．（3）PB=1，PC=3．
【解析】
试题分析：（1）先根据等边三角形的性质得到AB=AC，再利用圆的内接四边形的性质得∠ACF=∠ABP，于是可根据“SAS”判断△ABP≌△ACF；
（2）先根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，再根据圆周角定理得∠APC=∠ABB=60°，加上∠CAE=∠PAC，于是可判断△ACE∽△APC，然后利用相似比即可得到结论；
（3）先利用AC2=PA?AE计算出AE=，则PE=AP-AE=，再证△APF为等边三角形，得到PF=PA=4，则有PC+PB=4，接着证明△ABP∽△CEP，得到PB?PC=PE?A=3，然后根据根与系数的关系，可把PB和PC看作方程x2-4x+3=0的两实数解，再解此方程即可得到PB和PC的长．
试题解析：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，
∵四边形ABPC为圆的内接四边形，
∴∠ACF=∠ABP，
在△ABP和△ACF中，
，
∴△ABP≌△ACF；
（2）∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠APC=∠ABB=60°，
∴∠ACE=∠APC，
∵∠CAE=∠PAC，
∴△ACE∽△APC，
∴AE：AC=AC：AP，
∴AC2=PA?AE；
（3）解：∵AC2=PA?AE，AB=AC，
∴AE=，
∴PE=AP-AE=4-=，
∵△ABP≌△ACF，
∴∠APB=∠F=60°，
而∠APC=60°，
∴△APF为等边三角形，
∴PF=PA=4，
∴PC+CF=PC+PB=4，
∵∠BAP=∠PCE，∠APB=∠APC，
∴△ABP∽△CEP，
∴PB：PE=AP：PC，
∴PB?PC=PE?AP=×4=3，
∵PB+PC=4，
∴PB和PC可看作方程x2-4x+3=0的两实数解，解此方程得x1=1，x2=3，
∵PB＜PC，
∴PB=1，PC=3．
考点：圆的综合题．
50．如图，已知AD既是△ABC的中线，又是角平分线，请判断：
（1）△ABC的形状；
（2）AD是否过△ABC外接圆的圆心O，⊙O是否是△ABC的外接圆，并证明你的结论．
【答案】证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，根据HL定理可得出△BDE≌△CDF，进而得出结论；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质可知AD⊥BC，再由BD=CD，可知AD过圆心O，故可得出结论．
试题解析：（1）答：△ABC是等腰三角形．
证明：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
∵AD是角平分线，
∴DE=DF．
又∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（HL）．
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形；
（2）答：AD过△ABC的外接圆圆心O，⊙O是△ABC的外接圆．
证明：∵AB=AC，AD是角平分线，
∴AD⊥BC，
又∵BD=CD，
∴AD过圆心O．
作边AB的中垂线交AD于点O，交AB于点M，则点O就是△ABC的外接圆圆心，
∴⊙O是△ABC的外接圆．
考点：1.三角形的外接圆与外心；2.全等三角形的判定与性质．
51．在平面直角坐标系中，定义点P（x，y）的变换点为P′（x+y，x﹣y）．
（1）如图1，如果⊙O的半径为2，
①判断M（2，0），N（﹣2，1）两个点的变换点M′、N′与⊙O的位置关系；
②若点P在直线y=x-2上，点P的变换点P′不在⊙O外，结合图形求点P横坐标x的取值范围．
（2）如图2，如果⊙O的半径为1，且P的变换点P′在直线y=﹣2x+5上，求点P与⊙O上任意一点距离的最小值．
【答案】（1）①M’点在圆O上，点N’不在圆O上.；②；（2）.
【解析】
【分析】
（1）①根据新定义得到点M的变换点M′的坐标为（2，2），于是根据勾股定理计算出OM′=2，则根据点与圆的位置关系的判定方法可判断点M的变换点在⊙O上；同样方法可判断点N（-1，-3）的变换点在⊙O外；②利用一次函数图象上点的坐标特征，设P点坐标为（x，x-2），利用新定义得到P点的变换点为P′的坐标为（2x-2， 2），则根据勾股定理计算出OP′=，然后利用点与圆的位置关系得到≤2，解不等式得；
（2）设点P′的坐标为（x，-2x+5），P（m，n），根据新定义得到m+n=x，m-n=-2x+5，消去x得3m+n=5，则n=-3m+5，于是得到P点坐标为（m，-3m+5），则可判断点P在直线y=-3x+5上，设直线y=-3x+5与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过O点作OH⊥AB于H，交⊙O于C，如图2，易得A（，0），B（0，5），利用勾股定理计算出AB=，再利用面积法计算出OH=，所以CH=-1，当点P在H点时，PC为点P与⊙O上任意一点距离的最小值．
【详解】
（1）①M（2，0）的变换点M′的坐标为（2，2），则OM′==2，所以点M（2，0）的变换点在⊙O上；
N（-2，1）的变换点N′的坐标为（-1，-3），则ON′==＞2，所以点N（-2，-1）的变换点在⊙O外；
②设P点坐标为（x，x-2），则P点的变换点为P′的坐标为（2x-2，2），则OP′=，
∵点P′不在⊙O外，
∴≤2，
∴（2x-2）2≤4，即（x-1）2≤1，
∴-1≤x-1≤1，解得0≤x≤2，
即点P横坐标的取值范围为0≤x≤2；
（2）设点P′的坐标为（x，-2x+5），P（m，n），
根据题意得m+n=x，m-n=-2x+5，
∴3m+n=5，
即n=-3m+5，
∴P点坐标为（m，-3m+5），
∴点P在直线y=-3x+5上，
设直线y=-3x+5与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过O点作OH⊥AB于H，交⊙O于C，如图，
则A（，0），B（0，5），
∴AB==，
∵OH?AB=OA?OB，
∴OH==，
∴CH=-1，
即点P与⊙O上任意一点距离的最小值为-1．
【点睛】
本题考查了圆的综合题：熟练掌握点与圆的位置关系和一次函数图象上点的坐标特征；会运用勾股定理定理和面积法计算线段的长；提高阅读理解能力．
52．如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，0）、B（3，1）、C（1，3）．
（1）将△ABC沿x轴负方向移动2个单位长度至△A1B1C1，画图并写出点C1的坐标；
（2）以点A1为旋转中心，将△A1B1C1逆时针方向旋转90°得到△A2B2C2，画图并写出点C2的坐标；
（3）以B、C1、C2为顶点的三角形是　　三角形，其外接圆的半径R＝　　．
【答案】（1）C1的坐标为（﹣1，3）;（2）（﹣3，﹣1）；（3）直角,．
【解析】
【分析】
（1）将三个顶点分别向左平移2个单位得到其对应点，再顺次连接即可得；
（2）将三个顶点分别以点A1为旋转中心，逆时针方向旋转90°得到对应点，再顺次连接即可得；
（3）利用勾股定理及其逆定理（如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形）求解可得．
【详解】
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，其中C1的坐标为（﹣1，3）．
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，其中点C2的坐标为（﹣3，﹣1）；
（3）∵C1C22＝BC12＝22+42＝20，BC22＝22+62＝40，
∴C1C22+BC12＝BC22，
∴△BC1C2是直角三角形，
则外接圆的半径R＝BC2＝×2＝．
故答案为：直角，．
【点睛】
本题主要考查作图﹣平移变换、旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换和平移变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点，也考查勾股定理及其逆定理．
53．如图，点E为正方形ABCD边AB上运动，点A与点F关于DE对称，作射线CF交DE延长线于点P，连接AP、BF．
(1)若∠ADE=15°，求∠DPC的度数；
(2)试探究AP与PC的位置关系，并说明理由；
(3)若AB=2，求BF的最小值．
【答案】（1）；（2）与垂直, 见解析；（3）的最小值是.
【解析】
【分析】
（1）根据对称性及正方形性质可得∠CDF＝60°＝∠DFC，再利用三角形外角∠DFC＝∠FDE＋∠DPF可求∠DPC度数；
（2）设∠ADE＝x，可得∠FDE＝x，∠CDF＝90°?2x，∠CFD＝45°＋x，再借助∠DFC＝∠FDE＋∠DPF可求∠DPC度数，从而得到∠APC度数，说明AP与PC位置关系；
（3）点F始终在以点D为圆心，2为半径的圆上运动，根据两点之间线段最短可求最值．
【详解】
解：（1）因，可得，
因，所以，
又因为，
所以；
（2）与垂直
因关于对称
所以
设，可得，
因，所以，
又因为，
所以，即
所以与垂直；
（3）点F始终位于以点D为圆心，2为半径的圆上的运动，根据两点之间线段最短，可知点三点共线时，的最小值是.
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质、三角形内外角性质、两点之间线段最短定理，解题的关键是运用角之间的和差关系求角度数．
54．已知菱形ABCD的边长为2．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。
（1）特殊发现：如图①，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；
（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．
①猜想验证：如图②．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；
②拓展运用：如图③，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由。
【答案】（1）见解析；（2）①外心P一定落在直线DB上，见解析；②为定值，.
【解析】
【分析】
（1）首先分别连接OE、0F，由四边形ABCD是菱形，即可得AC⊥BD，BD平分∠ADC．AD＝DC＝BC，又由E、F分别为DC、CB中点，即可证得0E＝OF＝OA，则可得点O即为△AEF的外心；
（2）①首先分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，即可求得∠IPJ的度数，又由点P是等边△AEF的外心，易证得△PIE≌△PJA，可得PI＝PJ，即点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上．
②当AE⊥DC时．△AEF面积最小，此时点E、F分别为DC、CB中点．连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为△AEF的外心．易证△GBP≌△MDP，△NCG∽△NDM，可得为定值1．
【详解】
解：（1）证明：如图I，分别连接OE、0F
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AD=DC=BC，
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．
∠ADO=∠ADC=×60°=30°，
又∵E、F分别为DC、CB中点
∴OE=CD，OF=BC，AO=AD，
∴0E=OF=OA ，
∴点O即为△AEF的外心，
（2）①猜想：外心P一定落在直线DB上，
证明：如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，P J⊥AD于J
∴∠PIE=∠PJD=90°，∵∠ADC=60°
∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°
∵点P是等边△AEF的外心，∴∠EPA=120°，PE=PA，
∴∠IPJ=∠EPA，∴∠IPE=∠JPA
∴△PIE≌△PJA，∴PI=PJ，
∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上，
②为定值1.
当AE⊥DC时．△AEF面积最小，
此时点E、F分别为DC、CB中点．
连接BD、AC交于点P，由（1）
可得点P即为△AEF的外心，
解法：如图3．设MN交BC于点G
设DM=x，DN=y(x≠0．y≠O)，则 CN=
由BC∥DA 易证△GBP≌△MDP．∴BG=DM=x．
∴，
∵BC∥DA，∴△NCG∽△NDM
∴，∴
∴.
∴，即.
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的外心的判定与性质，以及菱形的性质等知识．此题综合性很强，图形也比较复杂，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
55．阅读：已知△ABC，用直尺与圆规，在直线BC上方的平面内作一点M（不与点A重合），使∠BMC＝∠BAC（如图1）．
小明利用“同弧所对的圆周角相等”这条性质解决了这个问题，下面是他的作图过程：
第一步：分别作AB、BC的中垂线（虚线部分），设交点为O；
第二步：以O为圆心，OA为半径画圆（即△ABC的外接圆）
第三步：在弦BC上方的弧上（异于A点）取一点M，连结MB、MC，则∠BMC＝∠BAC．（如图2）
思考：如图2，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝10，E是CD上一点，DE＝2．
（1）请利用小明上面操作所获得的经验，在矩形ABCD内部用直尺与圆规作出一点P．点P满足：∠BPC＝∠BEC，且PB＝PC．（要求：用直尺与圆规作出点P，保留作图痕迹．）
（2）求PC的长．
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）作BC的垂直平分线，交BE于点O，以O为圆心，OB为半径作圆，交垂直平分线于点P，则点P为所求．
（2）先根据AD=6，CD=10，DE=2知CE=8，BE=10，从而得OB=OP=5，再由BQ=CQ=BC=3得OQ=4，再根据勾股定理求解可得．
【详解】
解：（1）如图所示，点P即为所求：
（2）∵CD＝10，DE＝2，
∴CE＝8，
∵BC＝AD＝6，
∴BE＝10，
则OP＝OB＝5，
∵BQ＝CQ＝BC＝3，
∴OQ＝4，
则PQ＝9，
∴PC＝＝＝3．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆周角定理、线段垂直平分线的尺规作图、矩形的性质及勾股定理等知识点．