2.2圆的对称性习题2021-2022学年九年级数学苏科版上册（Word版含解析）

2.2
圆的对称性（能力提优）
一、单选题
1．如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于，两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）．
A．1.0厘米/分
B．0.8厘米分
C．12厘米/分
D．1.4厘米/分
2．如图，AB为⊙O的直径，弦于点F，于点E，若，，则CD的长度是（）
A．9.6
B．
C．
D．19
3．如图，在中，弦，，，，，则的半径为（）
A．4
B．
C．
D．
4．如图，矩形中，，，，分别是，边上的动点，，以为直径的与交于点，．则的最大值为（）．
A．48
B．45
C．42
D．40
5．如图，的直径为26，弦的长为24，且，垂足为，则的长为（）
A．25
B．8
C．5
D．13
6．如图，是的直径，弦，垂足为．若，的半径是5，则弦的长是（）
A．8
B．4
C．10
D．
7．上体育课时，老师在运动场上教同学们学习掷铅球，训练时，李力同学掷出的铅球在场地上砸出了一个坑口直径约为10cm，深约为2cm的小坑，则该铅球的直径约为（）
A．20cm
B．19.5cm
C．14.5cm
D．10cm
8．如图，已知的半径为5，弦，则上到弦所在直线的距离为2的点有（）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
9．“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图，为的直径，弦，垂足为，寸，寸，求直径的长”．依题意，长为（）
A．13寸
B．12寸
C．10寸
D．8寸
10．如图，长为定值的弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），点E是CD的中点，过点C作CF⊥AB于F，若CD＝3，AB＝8，则EF的最大值是（　　）
A．
B．4
C．
D．6
11．如图，在⊙O中，∠AOB+∠COD=180°，弦CD=6，OE⊥AB于点E．则OE的长为（　　　）
A．3
B．2
C．3
D．6
12．已知，如图，线段是的直径，弦于点E．若，，则的长度为（）
A．
B．
C．
D．5
13．如图，AB是⊙O的直径，点E是AB上一点，过点E作CD⊥AB，交⊙O于点C，D，以下结论正确的是（　　）
A．若⊙O的半径是2，点E是OB的中点，则CD＝
B．若CD＝，则⊙O的半径是1
C．若∠CAB＝30°，则四边形OCBD是菱形
D．若四边形OCBD是平行四边形，则∠CAB＝60°
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=20，AE=2，则弦CD的长是（）
A．6
B．8
C．10
D．12
15．如图，AB是的直径，点B是弧CD的中点，AB交弦CD于E，且，，则（）
A．2
B．3
C．4
D．5
16．已知半径为，弦长，则这条弦的中点到弦所对优弧中点的距离为（）
A．
B．
C．
D．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知，点是以为直径的半圆上两点，且四边形是平行四边形，则点的坐标是（）
A．
B．
C．
D．
18．如图，有一圆弧形桥拱，拱形半径，桥拱跨度，则拱高为（）
A．
B．
C．
D．
19．如图，的半径，弦于点，若，则的长为（　　）
A．7.5
B．9
C．10
D．12
20．如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（　　）
A．2
B．4
C．4
D．2
21．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的点，把AOC沿OC对折，点A的对应点D恰好落在⊙O上，且C、D均在直径AB上方，连接AD、BD，若AC＝4，BD＝4，则AD的长度应是（）
A．12
B．10
C．8
D．6
22．如图，在中，直径，弦，点是的中点，过点作于点，若点、在上运动（点、与点、不重合），则的最大值是（）
A．
B．4
C．
D．6
23．如图，的直径交弦相于点，且若，则的长为（）
A．
B．
C．
D．
24．如图，已知的直径弦于点则下列结论不一定成立的是（）
A．
B．
C．
D．
25．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接CO，作ADOC，若CO＝，AC＝2，则AD＝（　　）
A．3
B．
C．
D．
26．如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝8，则半径OB等于（）
A．
B．
C．4
D．5
27．点为半径是6的上两点，点B为弧的中点，以线段为邻边作菱形，使点D落在内（不含圆周上），则下列结论：①直线必过圆心O；②菱形的边长a的取值范围是；③若点D与圆心O重合，则；④若，则菱形的边长为或．其中正确的是（）
A．①③④
B．②③④
C．①③
D．①②③④
28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，CA为直径作半圆围成两月牙形，过点C作DFAB分别交三个半圆于点D，E，F．若，AC+BC＝15，则阴影部分的面积为（　　）
A．16
B．20
C．25
D．30
29．如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA+PB的最小值是（　　）．
A．20
B．
C．14
D．
30．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动(点C、D与点A，B不重合)，M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=4，AB=10，PM=m，则m的最大值是（）
A．10
B．8
C．5
D．4
二、填空题
31．如图，在半径为1的扇形中，，点是弧上任意一点（不与点，重合），，，垂足分别为，，则的长为______．
32．如图，为⊙的直径，弦，垂足为点，连结，若，，则____．
33．如图，内接于圆O，连结，D，E分别是的中点，且，若等于，则等于______．
34．如图，已知⊙O的半径为5，P是直径AB的延长线上一点，BP=1，CD是⊙O的一条弦，CD=6，以PC，PD为相邻两边作平行四边形PCED，当C，D点在圆周上运动时，线段PE长的最小值是_______________．
35．如图，半圆O的半径为2，E是半圆上的一点，将E点对折到直径AB上(EE′⊥AB)，当被折的圆弧与直径AB至少有一个交点时，则折痕CD的长度取值范围是_________________．
三、解答题
36．已知：如图，M，N分别是∠BAC两边AB，AC上的点，连接MN．求作：⊙O，使⊙O满足以线段MN为弦，且圆心O到∠BAC两边的距离相等．
37．如图，是的直径，E为上一点，于点F，连接，，于点D．若，求线段长．
38．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．
（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；
（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．
39．如图，为圆直径，为圆上一点，连接，．
（1）尺规作图：作的中点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，，在（1）的条件下，求的长．
40．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D．过点O作线段AC的垂线OE，垂足为E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
41．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，一石拱桥的桥顶到水面的距离为，桥拱半径为，求水面宽的长度．
42．如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5．
（1）若，，求的长；
（2）若，且，求弦的长；
43．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）用尺规作出该轮的圆心O，并保留作图痕迹；
（2）若是等腰三角形，设底边，腰，求圆片的半径R．
44．如图，已知AB是⊙O的直径，C是半圆上一点(不与点A，B重合)
（1）用尺规过点C作AB的垂线交⊙O于点D(保留作图痕迹，不写作法)；
（2）若AC=4，BC=2，求（1）中所作的弦CD的长．
45．如图，的半径为，弦的长．
（Ⅰ）求的度数；
（Ⅱ）求点O到的距离．
46．（1）解方程：；
（2）已知：如图，的直径与弦（不是直径）交于点F，若FB=2，CF=FD=4，设的半径为r，求的长．
47．如图1，点表示我国古代水车的一个盛水筒．如图2，当水车工作时，盛水筒的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆．若被水面截得的弦长为，求水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度．
48．如图，已知MN是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，，点C在线段AB上，，，求⊙O的半径．
49．如图，是的直径，，是延长线上一点，且，过点作一直线，分别交于C，D两点，已知．
（1）求CD与PC的长；
（2）连结BC，AD，求圆内接四边形ABCD的面积．
50．如图，已知正方形的边长为1，正方形中，点在的延长线上，点在上，点在线段上，且．以为半径的与直线交于点、．
（1）如图1，若点为中点，且点，点都在上，求正方形的边长．
（2）如图2，若点在上，求证：以线段和为邻边的矩形的面积为定值，并求出这个定值．
（3）如图3，若点在上，求证：．
51．如图，是的弦，是直径，与交于点．
（1）如图1，当于时
①若为中点，求的度数；
②若，，求的长；
（2）如图2，分别过点、作的垂线，垂足分别为，，若，，求的值．
52．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长．
53．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的外接圆．
（1）如图①，求⊙O的半径；
（2）如图②，∠ABC的平分线交半径OA于点E，交⊙O于点D．求OE的长．
54．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，求AD的长．
55．在中，直径，是弦，，点在上，点在上，且．
（1）如图1，当时，求的长度；
（2）如图2，当点在上移动时，求的最大值
56．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点，在以为直径的半圆上，且四边形是平行四边形．
（1）求CD的长；
（2）求直线BC的解析式．
57．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1中，点表示简车的一个盛水桶，图2中，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度（的中点到弦的距离）为．
（1）连接，求；
（2）求半径．
58．如图，CD是的弦，AB是直径，AB与CD交于点P．
（1）如图1，当CD⊥AB于P时，
①若P为OB中点，求∠A的度数；
②若AB=10，PD=4，求BP的长；
（2）如图2，分别过点A、B作CD的垂线，垂足分别为E、F，若AB=10，CD=8，求的值．
59．请用无刻度尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（1）如图1，点E是?ABCD边CD上一点，在AB边上取一点F，使得DE＝BF；
（2）如图2，在3×3正方形网格中，点A、B、C在格点上，过C作CH⊥AB于H；
（3）如图3，AB是?O的直径，弦DE⊥AB，点C在?O外，过C作CG∥DE交AB于G；
（4）如图4，点E是正方形ABCD边BC上一点．连接AE，将△ABE绕A点逆时针旋转90°得到△ADG，画出△ADG．
60．已知：如图1，在平面直角坐标系中，A（2，－1），以M（－1，0）为圆心，以AM为半径的圆交y轴于点B，连结BM并延长交⊙M于点C，动点P在线段BC上运动，长为的线段PQ∥x轴（点Q在点P右侧），连结AQ．
（1）求⊙M的半径长和点B的坐标；
（2）如图2，连结AC，交线段PQ于点N，
①求AC所在直线的解析式；
②当PN=QN时，求点Q的坐标；
（3）点P在线段BC上运动的过程中，请直接写出AQ的最小值和最大值．
【答案与解析】
一、单选题
1．如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于，两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）．
A．1.0厘米/分
B．0.8厘米分
C．12厘米/分
D．1.4厘米/分
【答案】A
【分析】
首先过⊙O的圆心O作CD⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，由垂径定理，即可求得OC的长，继而求得CD的长，又由从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为10分钟，即可求得“图上”太阳升起的速度．
【详解】
解：过⊙O的圆心O作CD⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，
∴AC=AB=×16=8（厘米），
在Rt△AOC中，（厘米），
∴CD=OC+OD=16（厘米），
∵从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，
∴16÷16=1（厘米/分）．
∴“图上”太阳升起的速度为1.0厘米/分．
故选：A．
【点睛】
此题考查了垂径定理的应用．解题的关键是结合图形构造直角三角形，利用勾股定理求解．
2．如图，AB为⊙O的直径，弦于点F，于点E，若，，则CD的长度是（）
A．9.6
B．
C．
D．19
【答案】A
【分析】
先利用垂径定理得出AE=EC，CF=FD，再利用勾股定理列方程即可
【详解】
解：连接OC
∵AB⊥CD,
OE⊥AC
∴AE=EC，CF=FD
∵OE=3，OB=5
∴OB=OC=OA=5
∴在Rt△OAE中
∴AE=EC=4
设OF=x，则有
x=1.4
在Rt△OFC中，
∴
故选：A
【点睛】
本题考查垂径定理、勾股定理、方程思想是解题关键
3．如图，在中，弦，，，，，则的半径为（）
A．4
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
连接OA，OC，根据垂径定理得CN=6，AM=9，设的半径为x，根据勾股定理列出方程，即可求解．
【详解】
解：连接OA，OC，
∵，，
∴，
∵，，
∴CN=6，AM=9，
设的半径为x，
∵，
∴，解得：或（舍去），
经检验是方程的根，且符合题意，
∴的半径为．
故选C．
【点睛】
本题主要考查垂径定理，勾股定理，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
4．如图，矩形中，，，，分别是，边上的动点，，以为直径的与交于点，．则的最大值为（）．
A．48
B．45
C．42
D．40
【答案】A
【分析】
过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，先利用勾股定理计算出BD=75，则利用面积法可计算出AH=36，再证明点O在AH上时，OH最短，此时HM有最大值，最大值为24，然后根据垂径定理可判断MN的最大值．
【详解】
解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，
在Rt△ABD中，BD=，
∵×AH×BD=×AD×AB，
∴AH==36，
∵⊙O的半径为26，
∴点O在AH上时，OH最短，
∵HM=，
∴此时HM有最大值，最大值为：
24，
∵OH⊥MN，
∴MN=2MH，
∴MN的最大值为2×24=48．
故选：A．
【点睛】
本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了矩形的性质和勾股定理．
5．如图，的直径为26，弦的长为24，且，垂足为，则的长为（）
A．25
B．8
C．5
D．13
【答案】B
【分析】
连接OA，由垂径定理得到M为AB中点，求出AM的长，在直角三角形AOM中，利用勾股定理求出OM的长，再由求出CM的长即可．
【详解】
解：连接OA．
∵直径，，
∴,
在中，,,
根据勾股定理得：．
则
故选：B．
【点睛】
此题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键．
6．如图，是的直径，弦，垂足为．若，的半径是5，则弦的长是（）
A．8
B．4
C．10
D．
【答案】A
【分析】
连接OC，利用垂径定理和勾股定理计算即可．
【详解】
如图，连接OC，
∵是的直径，弦，垂足为，
∴CH=DH，
∵OH=3，OC=5，
∴CH==4，
∴CD=2CH=8，
故选A．
【点睛】
本题考查了圆的对称性和勾股定理，准确理解垂径定理，灵活使用勾股定理是解题的关键．
7．上体育课时，老师在运动场上教同学们学习掷铅球，训练时，李力同学掷出的铅球在场地上砸出了一个坑口直径约为10cm，深约为2cm的小坑，则该铅球的直径约为（）
A．20cm
B．19.5cm
C．14.5cm
D．10cm
【答案】C
【分析】
根据垂径定理，构造直角三角形，小坑的直径就是圆中的弦长，小坑的深就是拱高，利用勾股定理，设出未知数，列出方程，即可求出铅球的直径．
【详解】
解：根据题意，画出图形如图所示，
由题意知，，，是半径，且，
，
设铅球的半径为，则，
在中，根据勾股定理，，
即，
解得：，
所以铅球的直径为：cm，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为，弦长为，这条弦的弦心距为，则成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
8．如图，已知的半径为5，弦，则上到弦所在直线的距离为2的点有（）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【答案】B
【分析】
作圆的直径CE⊥AB于点D，连接OA，根据勾股定理求出OE的长，求得C、E到弦AB所在的直线距离，与2比较大小，即可判断．
【详解】
解：作圆的直径CE⊥AB于点D，连接OA，
∵AB=8，
∴AD=4．
∵OA=5，
∴OD==3，
∴CD=OC-3=5-3=2，即C到弦AB所在的直线距离为2，
∴在劣弧AB上，到弦AB所在的直线距离为2的点只有C点；
∵DE=5+3=8＞2，
∴在优弧AEB上到弦AB所在的直线距离为2的点有2个，即圆上到弦AB所在的直线距离为2的点有3个．
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂径定理，转化为C、E到弦AB所在的直线距离，与2比较大小是关键．
9．“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图，为的直径，弦，垂足为，寸，寸，求直径的长”．依题意，长为（）
A．13寸
B．12寸
C．10寸
D．8寸
【答案】C
【分析】
连接OA，则AE=EB=3，OE=OC-CE=OA-CE=OA-1，在直角三角形AOE中，根据勾股定理计算即可．
【详解】
如图，连接OA，∵为的直径，弦，寸，寸，
∴AE=EB=3，OE=OC-CE=OA-CE=OA-1，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理，得,
∴,
解得
2OA=10．
故选C．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，平方差公式，连接半径，熟练运用垂径定理，构造直角三角形，为勾股定理的使用创造条件，这是解题的关键．
10．如图，长为定值的弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），点E是CD的中点，过点C作CF⊥AB于F，若CD＝3，AB＝8，则EF的最大值是（　　）
A．
B．4
C．
D．6
【答案】B
【分析】
如图，延长CF交⊙O于T，连接DT．利用三角形的中位线定理证明EF＝DT，当DT是直径时，EF的值最大．
【详解】
解：如图，延长CF交⊙O于T，连接DT．
∵AB是直径，AB⊥CT，
∴CF＝FT，
∵点E是CD中点，
∴EF＝DT，
∴当DT是直径时，EF的值最大，最大值＝×8＝4，
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形中位线定理，垂径定理．正确作出辅助线并理解当DT是直径时，EF的值最大是解答本题的关键．
11．如图，在⊙O中，∠AOB+∠COD=180°，弦CD=6，OE⊥AB于点E．则OE的长为（　　　）
A．3
B．2
C．3
D．6
【答案】A
【分析】
过O作OF⊥CD于F，由OC=OD，由三线合一可得CF=DF=，∠COF=∠DOF=，由OE⊥AB，OA=OB，由三线合一AE=BE，∠AOE=∠BOE=，可得∠COF+∠AOE，由∠AOE+∠EAO=90°，可得∠EAO=∠COF，可证△AOE≌△OCF（AAS）可得OE=CF=3即可．
【详解】
解：过O作OF⊥CD于F，
∵OC=OD，
∴CF=DF=，∠COF=∠DOF=
∵OE⊥AB，OA=OB，
∴AE=BE，∠AOE=∠BOE=，
∴∠COF+∠AOE
=+=，
又∵∠AOE+∠EAO=90°，
∴∠EAO=∠COF，
在△AOE和△OCF中，
，
∴△AOE≌△OCF（AAS），
∴OE=CF=3．
故选择：A．
【点睛】
本题考查等腰三角形性质，互余角性质，三角形全等判定与性质，圆的性质掌握等腰三角形性质，互余角性质，三角形全等判定与性质，圆的性质是解题关键．
12．已知，如图，线段是的直径，弦于点E．若，，则的长度为（）
A．
B．
C．
D．5
【答案】B
【分析】
连接OD，设⊙O的半径为R，由垂径定理得DE=CE=CD=3，在Rt△ODE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】
解：连接OD，如图所示：
设⊙O的半径为R，
∵弦CD⊥AB于点E．CD=6，
∴DE=CE=CD=3，∠OED=90°，
∴在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE2+OE2=OD2，即32+（R-2）2=R2，
解得：R=，即OB的长为，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
13．如图，AB是⊙O的直径，点E是AB上一点，过点E作CD⊥AB，交⊙O于点C，D，以下结论正确的是（　　）
A．若⊙O的半径是2，点E是OB的中点，则CD＝
B．若CD＝，则⊙O的半径是1
C．若∠CAB＝30°，则四边形OCBD是菱形
D．若四边形OCBD是平行四边形，则∠CAB＝60°
【答案】C
【分析】
根据垂径定理，解直角三角形知识，一一求解判断即可．
【详解】
解：A、∵OC＝OB＝2，
∵点E是OB的中点，
∴OE＝1，
∵CD⊥AB，
∴∠CEO＝90°，CD＝2CE，
∴，
∴，本选项错误不符合题意；
B、根据，缺少条件，无法得出半径是1，本选项错误，不符合题意；
C、∵∠A＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB，
∴△COB是等边三角形，
∴BC＝OC，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE，
∴BC＝BD，
∴OC＝OD＝BC＝BD，
∴四边形OCBD是菱形；故本选项正确本选项符合题意．
D、∵四边形OCBD是平行四边形，OC=OD，
所以四边形OCBD是菱形
∴OC＝BC，
∵OC＝OB，
∴OC＝OB＝BC，
∴∠BOC＝60°，
∴，故本选项错误不符合题意．．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，垂径定理，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=20，AE=2，则弦CD的长是（）
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】D
【分析】
连接OC，由AB=20，AE=2得出OE，根据勾股定理求出CE，再根据垂径定理计算即可．
【详解】
连接OC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CD=2CE，∠OEC=90°，
∵AB=20，AE=2，
∴OC=10，OE=10-2=8，
在Rt△CEO中，CE=，
∴CD=2CE=12，
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
15．如图，AB是的直径，点B是弧CD的中点，AB交弦CD于E，且，，则（）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】
是的直径，点是弧的中点，从而可知，然后利用勾股定理即可求出的长度．
【详解】
解：设半径为，连接，
是的直径，点是弧的中点，
由垂径定理可知：，且点是的中点，
，
，
由勾股定理可知：，
由勾股定理可知：，
解得：
，
故选：C．
【点睛】
本题考查垂径定理，解题的关键是正确理解垂径定理以及勾股定理，本题属于中等题型
16．已知半径为，弦长，则这条弦的中点到弦所对优弧中点的距离为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
连接，根据垂径定理得出过，cm，，根据勾股定理求出长，即可求出．
【详解】
解：连接，
为中点，过圆心，为的中点，
由垂径定理得：过，cm，，
在中，cm，cm，
由勾股定理得：cm，
cm，
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，解此题的关键是构造直角三角形、灵活运用垂径定理和勾股定理求出长．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知，点是以为直径的半圆上两点，且四边形是平行四边形，则点的坐标是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
作MN⊥CD于点N，连接MC，作CE⊥OA于点E，则四边形MNCE是矩形．根据垂径定理即可求得CE的长，即C的横坐标，然后在直角△MNC中，利用勾股定理求得MN的长，则C的纵坐标即可求解．
【详解】
解：作MN⊥CD于点N，连接MC，作CE⊥OA于点E．
则四边形MNCE是矩形．
∵点A的坐标是（10，0），点B的坐标是（8，0），
∴OA＝10，OB＝8，
∵四边形OCDB是平行四边形，
∴CD＝OB＝8．
∵MN⊥CD于点N，
∴CN＝DN＝CD＝OB＝4．
∵四边形MNCE是矩形，
∴EM＝CN＝4，
∴OE＝OM﹣EM＝5﹣4＝1．
在直角△CMN中，CM＝OM＝5，MN＝＝3．
∴CE＝MN＝3．
∴C的坐标是：（1，3）．
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂径定理以及平行四边形的性质，把求点的坐标的问题转化成求线段的长的问题是常用的解题方法．
18．如图，有一圆弧形桥拱，拱形半径，桥拱跨度，则拱高为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据垂径定理和勾股定理得出OA2=AD2+OD2求解即可．
【详解】
解：根据垂径定理可知AD=8，
在直角△AOD中，根据勾股定理得：
OA2=AD2+OD2
则102=82+（10CD）2
解得：CD=16或4，
根据题中OA=10m，可知CD=16不合题意，故舍去，
所以取CD=4m．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，得出关于CD的等式是解题关键．
19．如图，的半径，弦于点，若，则的长为（　　）
A．7.5
B．9
C．10
D．12
【答案】D
【分析】
连接OD，由题意得OD＝OB＝OA＝7.5，OC=3/5OB＝4.5，再由垂径定理得CD＝CE=1/2DE，然后由勾股定理求出CD＝6，即可得出答案．
【详解】
解：连接OD，如图所示：
∵⊙O的半径OA＝7.5，OC：BC＝3：2，
∴OD＝OB＝OA＝7.5，OCOB＝4.5，
∵DE⊥AB，
∴CD＝CEDE，
∴CD6，
∴DE＝2CD＝12，
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
20．如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（　　）
A．2
B．4
C．4
D．2
【答案】C
【分析】
作⊙O的半径OC⊥AB于D，连接OA、AC，如图，利用折叠的性质得AB垂直平分OC，则AC＝AO，于是可判断△AOC为等边三角形，所以∠AOC＝60°，利用含30度的直角三角形三边的关系求出AD，然后利用垂径定理得到AD＝BD，从而得到AB的长．
【详解】
解：作⊙O的半径OC⊥AB于D，连接OA、AC，如图，
∵圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，
∴AB垂直平分OC，
∴AC＝AO，
而OA＝OC，
∴OA＝AC＝OC，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴OD＝OA＝2，
∴AD＝OD＝2，
∵OD⊥AB，
∴AD＝BD，
∴AB＝2AD＝4（cm）．
故选：C．
【点睛】
本题考查了相交两圆的性质：相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．也考查了折叠的性质．
21．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的点，把AOC沿OC对折，点A的对应点D恰好落在⊙O上，且C、D均在直径AB上方，连接AD、BD，若AC＝4，BD＝4，则AD的长度应是（）
A．12
B．10
C．8
D．6
【答案】C
【分析】
AD交OC于E，如图，利用折叠的性质得，得到OC⊥AD，所以AE＝DE，再证明OE为△ADB的中位线得到OE＝2，利用勾股定理，在Rt△AOE中，AE2＝OA2﹣OE2＝r2﹣22，在Rt△ACE中，AE2＝CA2﹣CE2＝（4）2﹣（r﹣2）2，然后解方程组即可．
【详解】
解：AD交OC于E，如图，设⊙O的半径为r，
∵△AOC沿OC对折，点A的对应点D恰好落在⊙O上，
∴，
∴OC⊥AD，
∴AE＝DE，
∵OA＝OB，
∴OE为△ADB的中位线，
∴OE＝BD＝2，
在Rt△AOE中，AE2＝OA2﹣OE2＝r2﹣22，
在Rt△ACE中，AE2＝CA2﹣CE2＝（4）2﹣（r﹣2）2，
∴r2﹣22＝（4）2﹣（r﹣2）2，解得r1＝﹣4，r2＝6，
∴AE＝＝4，
∴AD＝2AE＝8．
故选：C．
【点睛】
本题考查了折叠的性质和垂径定理，解题关键是利用折叠和垂径定理，设半径根据勾股定理列方程．
22．如图，在中，直径，弦，点是的中点，过点作于点，若点、在上运动（点、与点、不重合），则的最大值是（）
A．
B．4
C．
D．6
【答案】B
【分析】
延长CF交于T，连接DT，利用三角形的中位线定理证明，当DT是直径时，EF的值最大．
【详解】
如图所示，延长CF交于T，连接DT，
∵AB是直径，AB⊥CT，
∴CF=FT，
∵DE=EC，
∴，
当DT是直径时，EF的值最大，
此时，EF最大值为，
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂径定理，三角形的中位线定理等，根据中点构造中位线进行转换是解题关键．
23．如图，的直径交弦相于点，且若，则的长为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
过点O作，连接OC，设，根据垂径定理计算即可；
【详解】
过点O作，连接OC，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理的应用，结合勾股定理计算是解题的关键．
24．如图，已知的直径弦于点则下列结论不一定成立的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据垂径定理得出，由此可判断A，再根据全等三角形的判定方法“AAS”即可证明，进而可判断C、D，而AE与OE不一定相等，由此可判断B．
【详解】
∵的直径于点，
∴，故A选项结论成立；
在和中，
，
∴，故D选项结论正确；
∴，故C选项结论正确；
而AE与OE不一定相等，故B选项结论不成立；
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂径定理的应用，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
25．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接CO，作ADOC，若CO＝，AC＝2，则AD＝（　　）
A．3
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据题意，作出合适的辅助线，然后可以求得OG的长，再利用勾股定理即可得到AG的长，从而可以得到AD的长．
【详解】
解：作AE⊥OC于点E，作OF⊥CA于点F，作OG⊥AD于点G，
则EA∥OG，
∵AD∥OC，
∴四边形OEAG是矩形，
∴OG＝EA，
∵OF⊥AC，OA＝OC＝，AC＝2，
∴CF＝1，
∴OF＝，
∵，
∴，
解得，
∴OG＝，
∵OG⊥AD，
∴AG＝，
∴AD＝2AG＝，
故选：D．
【点睛】
本题考查圆的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，面积等积式，掌握圆的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，面积等积式是解题关键．
26．如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝8，则半径OB等于（）
A．
B．
C．4
D．5
【答案】B
【分析】
根据垂径定理好圆周角定理计算即可；
【详解】
∵半径OC⊥弦AB，
∴，
∴，
又∵∠E＝22.5°，
∴，
又∵半径OC⊥弦AB，AB＝8，
∴，△BOD是等腰直角三角形，
∴；
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理、圆周角定理，结合勾股定理计算是解题的关键．
27．点为半径是6的上两点，点B为弧的中点，以线段为邻边作菱形，使点D落在内（不含圆周上），则下列结论：①直线必过圆心O；②菱形的边长a的取值范围是；③若点D与圆心O重合，则；④若，则菱形的边长为或．其中正确的是（）
A．①③④
B．②③④
C．①③
D．①②③④
【答案】C
【分析】
①根据垂径定理的推论即可解决问题；②当是直径时，边长最大，最大值为，故②错误；③如图2中，当点与点重合时，易知，都是等边三角形，由此即可解决问题；④分两种情形分别求解即可判定；
【详解】
解：如图1中，连接、交于点．
四边形是菱形，
垂直平分线段，
直线经过圆心，设直线交于．故①正确，
当是直径时，边长最大，最大值为，故②错误，
如图2中，当点与点重合时，易知，都是等边三角形，
，
．故③正确，
如图3中，当点在的延长线上时，
，，
，
，，
，
，
当点在线段上时，同法可得，
或，故④错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系、垂径定理、解直角三角形、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，CA为直径作半圆围成两月牙形，过点C作DFAB分别交三个半圆于点D，E，F．若，AC+BC＝15，则阴影部分的面积为（　　）
A．16
B．20
C．25
D．30
【答案】C
【分析】
连接AF，BD，先证明四边形ABDF是矩形，然后由垂径定理，矩形的性质，勾股定理，表示出相应的线段长度，结合AC+BC＝15，求出k的值，得到各个扇形的半径，再利用间接法求出阴影部分的面积．
【详解】
解：连接AF，BD，如图，
∵AC、BC是直径，
∴∠AFC=90°，∠BDC=90°，
∵DFAB，
∴四边形ABDF是矩形，
∴AB=FD；
取AB的中点O，作OG⊥FD，
∵，
则设，，
由垂径定理，则，
∴，
∴，，，
由勾股定理，则
，，
∵AC+BC＝15，
∴，
∴；
∴，，，
∴阴影部分的面积为
∴；
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，以及求不规则图形的面积，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而求出线段的长度，进而求出面积．
29．如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA+PB的最小值是（　　）．
A．20
B．
C．14
D．
【答案】B
【分析】
连接OA、OB，根据AC⊥MN，BD⊥MN，经勾股定理计算得到OC、OD；延长BD与⊙O相交于点G，推导得当点P在直线AG上时，取最小值；过G作GH⊥AC于点H，经证明四边形是矩形，并经勾股定理计算即可得到AG的值，即可完成求解．
【详解】
如图，连接OA、OB
∵AC⊥MN，BD⊥MN
∴，
∵MN＝20，A、B是⊙O上的两点
∴
∴，
∴，
∴
延长BD与⊙O相交于点G
∵MN为⊙O的直径，BD⊥MN
∴，
∴
当点P在直线AG上时，取最小值，且最小值
过G作GH⊥AC于点H
又∵AC⊥MN，BD⊥MN
∴，，
∴四边形是矩形
∴，
∴
∴
∴PA+PB的最小值是：
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理、圆的垂径定理、矩形、两点之间线段最短的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的性质，从而完成求解．
30．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动(点C、D与点A，B不重合)，M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=4，AB=10，PM=m，则m的最大值是（）
A．10
B．8
C．5
D．4
【答案】C
【分析】
当CD∥AB时，PM有最大值，连接OM、OC，得出矩形CPOM，推出PM=OC，求出OC的长即可得到答案.
【详解】
当CD∥AB时，PM有最大值，
连接OC、OM，
∵直径AB=10，
∴OC=5，
∵M是CD的中点，
∴OM⊥CD，
∵CD∥AB，CP⊥AB，
∴∠OPC=∠PCM=∠OMC=90°，
∴四边形OPCM是矩形，
∴PM=OC=5，即m=5，
故选：C.
【点睛】
此题考查圆的垂径定理，矩形的判定定理及性质定理，根据题意合理猜想并进行证明是解题的关键.
二、填空题
31．如图，在半径为1的扇形中，，点是弧上任意一点（不与点，重合），，，垂足分别为，，则的长为______．
【答案】
【分析】
连接AB，利用勾股定理求出AB，再利用垂径定理以及三角形的中位线定理解决问题即可．
【详解】
解：连接AB，如下图所示：
∵∠AOB=90°，OA=OB=1，
∴，
∵，，
∴，，
∴为的中位线，
∴,
故答案为：．
【点睛】
本题考查垂径定理，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线即可解决问题．
32．如图，为⊙的直径，弦，垂足为点，连结，若，，则____．
【答案】8
【分析】
先根据AB为圆O的直径，弦CD⊥AB可知CD=2CE，再根据OC=5，AE=2可求出OE的长，利用勾股定理可求出CE的长，进而可求出答案．
【详解】
解：∵AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，
∴CD=2CE，
∵OC=5，AE=2，
∴OA=5，
∴OE=OA-AE=5-2=3，
∴CE===4．
∴CD=2CE=8
【点睛】
本题主要考查了圆的有关知识，运用垂径定理解决问题，属于常考题型．
33．如图，内接于圆O，连结，D，E分别是的中点，且，若等于，则等于______．
【答案】50°
【分析】
连接OB，OC，利用垂径定理和三角形内角和定理计算即可．
【详解】
解：连接OB，OC，
∵点D为BC中点，OB=OC，
∴OD⊥BC，
∵E为OA的中点，
∴OE=OA=OB，
∵OD=OE，
∴OD=OB，
∴∠OBD=30°，
∴∠BOD=60°，
∵∠ODE=10°，
∴∠DOE=180°-10°-10°=160°，
∴∠AOB=360°-∠DOE-∠BOD=140°，
∵OA=OB，
∴∠OBA=（180°-140°）=20°，
∴∠ABC=∠OBA+∠OBD=20°+30°=50°，
故答案为：50°．
【点睛】
本题考查了垂径定理，三角形内角和等知识，是重要考点，难度交易，掌握相关知识是解题的关键．
34．如图，已知⊙O的半径为5，P是直径AB的延长线上一点，BP=1，CD是⊙O的一条弦，CD=6，以PC，PD为相邻两边作平行四边形PCED，当C，D点在圆周上运动时，线段PE长的最小值是_______________．
【答案】4
【分析】
连接OC，设CD与PE交于点K，连接OK，根据平行四边形的性质结合垂径定理求出OK的长，在三角形PKO中，根据三角形的三边关系得到线段PK的取值范围，再由，得到结果．
【详解】
解：如图，连接OC，设CD与PE交于点K，连接OK，
∵四边形PCED是平行四边形，
∴，，
∴根据垂径定理
在中，，，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴线段PE的最小值是4．
故答案是：4．
【点睛】
本题考查线段最值问题，解题的关键是掌握平行四边形的性质和圆的垂径定理，再利用三角形三边的数量关系求出线段的取值范围从而得到最小值．
35．如图，半圆O的半径为2，E是半圆上的一点，将E点对折到直径AB上(EE′⊥AB)，当被折的圆弧与直径AB至少有一个交点时，则折痕CD的长度取值范围是_________________．
【答案】
【分析】
先找出折痕CD取最大值和最小值时，点E的位置，再利用折叠的性质、垂径定理、勾股定理求解即可得．
【详解】
由题意，有以下两个临界位置：
（1）如图，当被折的圆弧与直径AB相切时，折痕CD的长度最短，此时点与圆心O重合，
连接OD，
由折叠的性质得：，
，
在中，，
由垂径定理得：；
（2）当CD和直径AB重合时，折痕CD的长度最长，此时，
又要使被折的圆弧与直径AB至少有一个交点，
；
综上，折痕CD的长度取值范围是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、垂径定理、勾股定理等知识点，正确找出两个临界位置是解题关键．
三、解答题
36．已知：如图，M，N分别是∠BAC两边AB，AC上的点，连接MN．求作：⊙O，使⊙O满足以线段MN为弦，且圆心O到∠BAC两边的距离相等．
【答案】见解析
【分析】
作线段MN的垂直平分线DE，作∠BAC的角平分线AP，AP交DE于点O，以O为圆心OM为半径作⊙O即可．
【详解】
解：如图，⊙O即为所求．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
37．如图，是的直径，E为上一点，于点F，连接，，于点D．若，求线段长．
【答案】6
【分析】
设OE=x，根据勾股定理求出x，根据全等三角形的判定定理和性质定理得到AD=OF=3，根据垂径定理得到答案．
【详解】
解：设OE=x，则OF=x-2，
由勾股定理得，OE2=OF2+EF2，即x2=（x-2）2+42，
解得，x=5，
∴OF=3，
∵AC∥OE，OD⊥AC，
∴OD⊥OE，∠A=∠EOF，
∵OA=OE，EF⊥AB，
∴△ADO≌△OFE，
∴AD=OF=3，
∵OD⊥AC，
∴AC=2AD=6．
【点睛】
本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
38．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．
（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；
（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）连接AD，求出∠DAE，再利用等腰三角形的性质解决问题即可．
（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．利用面积法求出AF，再利用勾股定理求出CF，可得结论．
【详解】
解：（1）如图，连接AD．
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°，
∴∠ACD＝70°．
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°．
又∵AD＝AE，
∴．
（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．
∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，
∴BC＝5．
又∵?AF?BC＝?AC?AB，
∴，
∴．
∵AC＝AD，AF⊥CD，
∴．
【点睛】
本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
39．如图，为圆直径，为圆上一点，连接，．
（1）尺规作图：作的中点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，，在（1）的条件下，求的长．
【答案】（1）答案见解析；（2）
【分析】
（1）作BC的垂直平分线，与圆O的交点即为的中点；
（2）在中根据勾股定理分别求出OE的长度，再在中应用勾股定理即可求解．
【详解】
解：（1）如图，作BC的垂直平分线，与圆O的交点即为的中点：
（2）连接BD，如图：
∵，，为圆直径，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查垂径定理、勾股定理、尺规作图—垂直平分线，掌握垂径定理的内容是解题的关键．
40．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D．过点O作线段AC的垂线OE，垂足为E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
【答案】见解析．
【分析】
根据垂径定理得OE垂直平分AC，只需作出线段AC的垂直平分线即可．
【详解】
解：过点O作线段AC的垂线OE，如图所示：
【点睛】
本题考查基本尺规作图-作垂线、垂径定理，能得出OE为线段AC的垂直平分线是解答的关键．
41．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，一石拱桥的桥顶到水面的距离为，桥拱半径为，求水面宽的长度．
【答案】8m
【分析】
连接OA，根据垂径定理可知AD=BD=AB，在Rt△ADO中，利用勾股定理即可求出AD的长，进而可得出AB的长，此题得解．
【详解】
解：连接OA，如图所示．
∵CD⊥AB，
∴AD=BD=AB，
在Rt△ADO中，OA=OC=5m，OD=CD-OC=3m，∠ADO=90°，
∴AD==4m，
∴AB=2AD=8m．
【点睛】
本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理，利用勾股定理求出AD的长度是解题的关键．
42．如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5．
（1）若，，求的长；
（2）若，且，求弦的长；
【答案】（1）7；（2）8
【分析】
（1）连接AO和DO，由垂径定理得，再由勾股定理求出OF的长，同理求出OE的长，即可求出EF的长；
（2）连接BO和DO，先由垂径定理和勾股定理求出OE的长，设，在中，利用勾股定理列式求出x的值，得到BF的长，即可求出AB的长．
【详解】
解：（1）连接AO和DO，
∵，且EF过圆心，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
同理，
，
∴；
（2）如图，连接BO和DO，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
，解得，（舍去），
∴，
∴．
【点睛】
本题考查垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理，并能够结合勾股定理进行运用求解．
43．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）用尺规作出该轮的圆心O，并保留作图痕迹；
（2）若是等腰三角形，设底边，腰，求圆片的半径R．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据垂径定理，分别作弦AB和AC的垂直平分线交点即为所求；
（2）连接AO，OB，利用垂径定理和勾股定理可求出圆片的半径R．
【详解】
（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线，交于点O，点O即为所求的圆心
（2）连接AO，OB，BC
∵BC=8cm，
∴BD=4cm，
∵AB=5cm，
∴AD==3cm，
设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD=（R-3）cm，
∴R2=42+（R-3）2，
解得：R=，
∴圆片的半径R为．
【点睛】
本题考查了垂径定理的推论，我们可以把垂径定理的题设和结论这样叙述：一条直线①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分优弧，⑤平分劣弧．在应用垂径定理解题时，只要具备上述5条中任意2条，则其他3条成立．
44．如图，已知AB是⊙O的直径，C是半圆上一点(不与点A，B重合)
（1）用尺规过点C作AB的垂线交⊙O于点D(保留作图痕迹，不写作法)；
（2）若AC=4，BC=2，求（1）中所作的弦CD的长．
【答案】（1）作图见解析；（2）
【分析】
（1）利用基本作图，过点C作AB的垂线得到弦CD；
（2）利用勾股定理求出AB，再根据三角形面积求法算出CE，继而得到CD．
【详解】
解：（1）如图，CD为所作，且CD与AB交于E；
（2）由勾股定理可得：
，
∴由三角形面积求法可得：
，
∴CD=2CE=．
【点睛】
本题考查圆的综合应用，熟练掌握与直径垂直的弦的作法、勾股定理及垂径定理的应用是解题关键．
45．如图，的半径为，弦的长．
（Ⅰ）求的度数；
（Ⅱ）求点O到的距离．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）连接OB，根据等边三角形的判定定理得到为等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可；
（Ⅱ）过点O作于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理计算，得到答案；
【详解】
解：（Ⅰ）连接，
，，
，
为等边三角形，
；
（Ⅱ）过点O作于C，则，
由勾股定理得，，
答：点O到的距离为．
【点睛】
本题考查了垂径定理，等边三角形的性质与判定，掌握相关的性质是解题的关键；
46．（1）解方程：；
（2）已知：如图，的直径与弦（不是直径）交于点F，若FB=2，CF=FD=4，设的半径为r，求的长．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）先去括号，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可求出答案；
（2）连接OC，由垂径定理的推论，得到，然后利用勾股定理，求出半径，然后求出AC的长度．
【详解】
（1）解：，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：连接，如图：
∵是直径，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴由勾股定理得
．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，从而进行解题．
47．如图1，点表示我国古代水车的一个盛水筒．如图2，当水车工作时，盛水筒的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆．若被水面截得的弦长为，求水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度．
【答案】水车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为．
【分析】
如图：过点作半径于，则，由垂径定理得，在利用勾股定理可求得，水深，即可求解．
【详解】
如图：过点作半径于
在中，
水车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为
【点睛】
本题考查了垂径定理的，解题关键在于作辅助线利用勾股定理计算．
48．如图，已知MN是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，，点C在线段AB上，，，求⊙O的半径．
【答案】
【分析】
连接AO，MN与AB相交于点D；结合题意，计算得AB的值，再根据垂径定理，得AD及CD，通过勾股定理计算，得OD以及AO，从而得到答案．
【详解】
如图，连接AO，MN与AB相交于点D
∵，
∴
∵MN是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，
∴，
∴
∴
∴，即⊙O的半径为．
【点睛】
本题考查了圆、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握圆、垂径定理、勾股定理的性质，从而完成求解．
49．如图，是的直径，，是延长线上一点，且，过点作一直线，分别交于C，D两点，已知．
（1）求CD与PC的长；
（2）连结BC，AD，求圆内接四边形ABCD的面积．
【答案】（1）；；（2）
【分析】
（1）过点作于点，连接OD，OC，求出OP的长，根据直角三角形的性质求出OH，再根据勾股定理求出CH，从而可求出CD，求出PH，根据PC=PH-CH可得解；
（2）过B作于G，过D作于K，连接AD，分别求出△PBC和△PAD的面积，两者相减即可得到结论．
【详解】
解：（1）过点作于点，连接OD，OC，
∴
∵
∴
∴
在中，∠
∴，
∴
在中，
∴
∴
（2）过B作于G，过D作于K，连接AD，BC，
∴∠
在中，∠
∴
∴
由（1）中
∴
在中，∠
∴
∵
∴
∴
．
【点睛】
此题主要考查了利用垂径定理求解，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解答此题的关键是求出OH的长．
50．如图，已知正方形的边长为1，正方形中，点在的延长线上，点在上，点在线段上，且．以为半径的与直线交于点、．
（1）如图1，若点为中点，且点，点都在上，求正方形的边长．
（2）如图2，若点在上，求证：以线段和为邻边的矩形的面积为定值，并求出这个定值．
（3）如图3，若点在上，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析；；（3）证明见解析
【分析】
（1）连接OC，设BE=EF=x，则OE=x+，得出(x+)2+x2＝()2+12，解得：x=，则答案求出；
（2）连接OC，设OB=y，BE=EF=x，同（1）可得，OE2+EF2=OF2，OB2+BC2=OC2，得出x2+（x+y）2=y2+12，即x（x+y）=，则结论可得证；
（3）连接OD，设OA=a，BE=EF=b，则OB=1-a，则OE=1-a+b，可得出12+a2=（1-a+b）2+b2，得出a=b，则OA=EF，证明Rt△AOD≌Rt△EFO（HL），则得出∠FOE=∠ODA，结论得出．
【详解】
解：（1）连接
∵四边形ABCD和四边形BEFG为正方形，
∴AB=BC=1，BE=EF，∠OEF=∠ABC=90°，
∵点O为AB中点，
∴OB=AB=，
设BE=EF=x，则OE=x+，
在Rt△OEF中，∵OE2+EF2=OF2，
∴(x+)2+x2＝OF2，
在Rt△OBC中，∵OB2+BC2=OC2，
∴()2+12=OC2，
∵OC，OF为⊙O的半径，
∴OC=OF，
∴(x+)2+x2＝()2+12，
解得：x=，
∴正方形BEFG的边长为；
（2）证明：如图2，连接OC，
设OB=y，BE=EF=x，
同（1）可得，OE2+EF2=OF2，OB2+BC2=OC2，
∴OF2=x2+（x+y）2，OC2=y2+12
∵OC，OF为⊙O的半径，
∴OC=OF，
∴x2+（x+y）2=y2+12，
∴2x2+2xy=1，
∴x2+xy=，
即x（x+y）=，
∴EF×OE=，
∴以线段OE和EF为邻边的矩形的面积为定值，这个定值为．
（3）证明：连接OD，设OA=a，BE=EF=b，则OB=1-a，则OE=1-a+b，
∵∠DAO=∠OEF=90°，
∴DA2+OA2=OD2，OE2+EF2=OF2，
∴12+a2=OD2，（1-a+b）2+b2=OF2，
∵OD=OF，
∴12+a2=（1-a+b）2+b2，
∴（b+1）（a-b）=0，
∵b+1≠0，
∴a-b=0，
∴a=b，
∴OA=EF，
在Rt△AOD和Rt△EFO中，
，
∴Rt△AOD≌Rt△EFO（HL），
∴∠FOE=∠ODA，
∵∠DAO=90°，
∴∠ODA+∠AOD=90°，
∴∠FOE+∠AOD=90°，
∴∠DOF=90°，
∴DO⊥FO．
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了圆的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的面积等知识，熟练运用方程的思想是解题的关键．
51．如图，是的弦，是直径，与交于点．
（1）如图1，当于时
①若为中点，求的度数；
②若，，求的长；
（2）如图2，分别过点、作的垂线，垂足分别为，，若，，求的值．
【答案】（1）①30°②2；（2）6．
【分析】
（1）①连接OC，先求出∠POC的度数，即可求出∠A的度数；
②利用垂径定理求出CP的长，然后在Rt△OCP中用勾股定理求出PO的长，即可求出PB；
（2）连接FO并延长交AE于M点，根据平行线的性质得到∠A=∠B，根据全等三角形的性质得到BF=AM，OF=OM，过点O作OH⊥CD于H点，连接OD，由勾股定理求出OH，根据三角形中位线定理即可求解．
【详解】
（1）①如图1，连接OC，
∵P为OB中点
∴PO=OB，
∴PO=OC，
∵
∴∠OCP=30°
∴∠POC=60°
∴∠A=30°
②如图1，连接OC
∵
∴CP=PD=4
∴OP=
∴PB=OB-OP=2；
（2）如图2，连接FO并延长交AE于M点，过点O作OH⊥CD于H点，连接OD
∵BF⊥CD，AE⊥CD
∴BFAE
∴∠A=∠B
在△OBF和△OAM中
∴△OBF≌△OAM
∴BF=AM，OF=OM
∵CD=8，OH⊥CD
∴CH=4
∴OH=
∵OH⊥CD
∴OHAE
∵OF=OM
∴FH=EH
∴EM=2OH=6
∵ME=AE-AM=AE-BF
∴AE-BF=6．
【点睛】
此题主要考查垂径定理的性质与运用，解题的关键是熟知勾股定理、含30°的直角三角形的性质、中位线及垂径定理的性质．
52．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长．
【答案】8
【分析】
连接OB，先根据垂径定理求出BM=AB，再根据勾股定理求出BM的值，从而求出AB的长度．
【详解】
解：连接OB，
则OB＝×10＝5，
∵OM⊥AB，OM过O，
∴AB＝2AM＝2BM，
在Rt△OMB中，由勾股定理得：BM＝，
∴AB＝2BM＝8．
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理，通过连接OA构造直角三角形进而利用勾股定理求解．
53．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的外接圆．
（1）如图①，求⊙O的半径；
（2）如图②，∠ABC的平分线交半径OA于点E，交⊙O于点D．求OE的长．
【答案】（1）⊙O的半径为；（2）OE
【分析】
(1)过A点作AH⊥BC于H，如图①，利用等腰三角形的性质得BH=CH=3，根据垂径定理的推论可判断点O在AH上，则利用勾股定理可计算出AH=4，连接OB，设⊙O的半径为r，在Rt△OBH中利用勾股定理得到32+（4-r）2=r2，然后解方程即可；
(2)作EF⊥AB于F，如图，根据角平分线的性质得到EH=EF，利用面积法得到，所以EHAH，然后利用（1）得OH,从而计算EH-OH得到OE的长．
【详解】
解：（1）过A点作AH⊥BC于H，如图①，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BH＝CHBC＝3，
即AH垂直平分BC，
∴点O在AH上，
在Rt△ABH中，AH4，
连接OB，设⊙O的半径为r，则OB＝r，OH＝AH﹣OA＝4﹣r，
在Rt△OBH中，32+（4﹣r）2＝r2，解得r，
即⊙O的半径为；
（2）作EF⊥AB于F，如图②
∵BD平分∠ABC，
∴EH＝EF，
∵S△ABEBH?AEAB?EF，
∴，
∴EHAH4，
由（1）得OH＝AH﹣OA＝4，
∴OE=EH-OH．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心，掌握三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点和等腰三角形的性质是解题的关键．
54．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，求AD的长．
【答案】
【分析】
连接BC、OD、BD，根据圆周角定理得∠ACB＝∠ADB＝90°，再根据勾股定理求得BC=8，根据角平分线定义和垂径定理证得OD垂直平分BC，可求得OE＝AC＝3，BE＝BC＝4，利用勾股定理分别求得BD和AD即可．
【详解】
解：连接BC、OD、BD，如图，
∵AB为半圆O的直径，AB=10,
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，OD=OB=5,
在Rt△ACB中，∵AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝8，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴，
∴OD垂直平分BC，
∴OE＝AC＝3，BE＝BC＝4，
∴DE＝OD－OE＝2，
在Rt△BDE中，BD＝＝2cm，
在Rt△ADB中，AD＝＝4cm．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、垂径定理、角平分线的定义、三角形的中位线、勾股定理，属于基础题型，难度适中，作辅助线运用垂径定理解决问题是解答的关键．
55．在中，直径，是弦，，点在上，点在上，且．
（1）如图1，当时，求的长度；
（2）如图2，当点在上移动时，求的最大值
【答案】（1）；（2）的最大值为
【分析】
（1）连接OQ，由题意易得OQ=OB=6，则有OP=3，然后根据勾股定理可求解；
（2）连接OQ，由题意得OQ=6，当OP的长最小时，PQ的长为最大，根据垂线段最短可得OP⊥BC，则有，进而问题可求解．
【详解】
（1）连接OQ，如图所示：
∵AB=12，
∴OQ=OB=6，
∵OP⊥PQ，
∴∠QPO=90°，
∵PQ∥AB，
∴∠POB=∠QPO=90°，
在Rt△POB中，∠POB=90°，
∴PB2=OB2+OP2，
又∵，
∴BP=2OP，
∴（2OP）2=62+OP2，
∴OP=，
在Rt△QPO中，；
（2）连接OQ，如图所示：
由（1）得：OQ=OB=6，
∴在Rt△QPO中，，
∴当OP的长最小时，PQ的长为最大，
根据垂线段最短可得当OP⊥BC时最短，
∵∠ABC=30°，
∴，
∴，
∴PQ的最大值为．
【点睛】
本题主要考查圆的基本性质及含30°角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握圆的基本性质及含30°角的直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．
56．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点，在以为直径的半圆上，且四边形是平行四边形．
（1）求CD的长；
（2）求直线BC的解析式．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据平行四边形的性质即可求得答案；
（2）添加辅助线构造直角三角形，根据平行四边形的性质、垂径定理、勾股定理、线段的和差即可求得，再根据待定系数法即可求得直线解析式．
【详解】
解：（1）∵点的坐标是
∴
∵四边形是平行四边形
∴．
（2）过点作，连接，过点作，如图：
∵，
∴
∵
∴
∴
∴在中，
∵四边形是平行四边形
∴
∵
∴四边形是平行四边形
∴，
∴
∴
∴设直线的解析式为：
∴
∴
∴直线的解析式为：．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和判定、垂径定理、勾股定理、线段的和差、待定系数法等，添加辅助线构造直角三角形是解决问题的关键．
57．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1中，点表示简车的一个盛水桶，图2中，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度（的中点到弦的距离）为．
（1）连接，求；
（2）求半径．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）先由同弧所对的弦相等，得到，再由，可得点和点O都在在的中垂线上，即可得证；
（2）由垂径定理得到，在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】
（1）证明：连接，交于点．
∵点为的中点，
∴，
∴．
∴点在的中垂线上．
∵，
∴点在的中垂线上．
∴是的垂直平分线．
∴；
（2）如图，由（1）得，，．
∴，
在中，，
∴，
∴．
答：半径．
【点睛】
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练应用垂径定理是解决问题的关键．
58．如图，CD是的弦，AB是直径，AB与CD交于点P．
（1）如图1，当CD⊥AB于P时，
①若P为OB中点，求∠A的度数；
②若AB=10，PD=4，求BP的长；
（2）如图2，分别过点A、B作CD的垂线，垂足分别为E、F，若AB=10，CD=8，求的值．
【答案】（1）①；②2；（2）6．
【分析】
（1）①连接OC，先求出∠POC的度数，即可求出∠A的度数；
②利用垂径定理求出CP的长，然后在中用勾股定理求OP的长，即可求出PB；
（2）连接FO并延长交AE于M，根据平行线的性质得到∠A=∠B，根据全等三角形的性质得到BF=AM，OF=OM，过O作OH⊥CD于H，连接OC，由勾股定理求出OH，根据三角形的中位线定理即可得到结论．
【详解】
解：（1）①如图1，连接OC，
P为OB中点，
∴
OP=OB，
∴OP=OC，
∴∠OCP=
，
∴∠POC=
，
∴∠A=
，
②如图1，连接OC，
∵CD⊥AB，
∴CP=PD=4，
∴，
∴PB=OB-OP=5-3=2；
（2）如图2，连接FO并延长交AE于M，过O作OH⊥CD于H，连接OC，
∵BF⊥CD，AE⊥CD，
∴BF∥AE，
∴∠A=∠B，
在△OBF与△OAM中，
∴△OBF≌△OAM，
∴BF=AM，OF=OM，
∵CD=8，OH⊥CD，
∴CH=4，
∴OH=，
∵OH⊥CD，
∴OH∥AE，
∵OF=OM，
∴FH=EH，
∴EM=2OH=6，
∵ME=AE-AM=AE-BF，
∴AE-BF=6．
【点睛】
本题考查了垂径定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
59．请用无刻度尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（1）如图1，点E是?ABCD边CD上一点，在AB边上取一点F，使得DE＝BF；
（2）如图2，在3×3正方形网格中，点A、B、C在格点上，过C作CH⊥AB于H；
（3）如图3，AB是?O的直径，弦DE⊥AB，点C在?O外，过C作CG∥DE交AB于G；
（4）如图4，点E是正方形ABCD边BC上一点．连接AE，将△ABE绕A点逆时针旋转90°得到△ADG，画出△ADG．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析；（4）作图见解析；
【分析】
（1）连接AC、BD交于点O，连接EO并延长，交AB于F即可；
（2）如解图，在矩形ADBE中，连接DE与AB交于H，连接CH、CA、CB即可；
（3）连接CD并延长交AB的延长线于F，连接CE交AB于M，连接FE、DM并分别延长交于点H，连接CH交AB于G即可；
（4）连接AC、BD交于点O，连接EO并延长交AD于F，连接BF交AC于H，连接DH并延长交AB于K，连接KF并延长，交CD的延长线于G，连接AG即可．
【详解】
解：（1）连接AC、BD交于点O，连接EO并延长，交AB于F，如图所示
∵四边形ABCD是平行四边形
∴BO=DO，AB∥CD
∴∠FBO=∠EDO，∠BFO=∠DEO
∴△BFO≌△DEO
∴BF=DE
∴点F即为所求；
（2）如图所示，在矩形ADBE中，连接DE与AB交于H，连接CH、CA、CB
∵四边形ADBE是矩形
∴AH=BH
∵AC=，BC=
∴AC=BC
∴CH⊥AB，即CH即为所求；
（3）连接CD并延长交AB的延长线于F，连接CE交AB于M，连接FE、DM并分别延长交于点H，连接CH交AB于G
∵直径AB⊥DE
∴AB垂直平分DE
∴MD=ME，FD=FE，
∴∠DMF=∠EMF，∠DFM=∠EFM
∴∠CDM=∠DMF＋∠DFM=∠EMF＋∠EFM=∠HEM
∵∠CMD=∠HME
∴△CMD≌△HME
∴CD=HE
∴FC=FH
∵FA平分∠CFH
∴CG⊥AB
∴CG∥DE
∴CG即为所求；
（4）连接AC、BD交于点O，连接EO并延长交AD于F，连接BF交AC于H，连接DH并延长交AB于K，连接KF并延长，交CD的延长线于G，连接AG
∵四边形ABCD为正方形
∴AC所在直线是正方形的对称轴，OB=OD，AD∥BC，AB=AD
∴B、D关于对称轴对称，∠OBE=∠ODF，∠OEB=∠OFD
∴∠BHO=∠DHO，△OBE≌△ODF
∴∠KHA=∠EHA，BE=DF
∴K、F关于对称轴直线AC对称，
∴AK=AF
∴△AFK为等腰直角三角形
易知△GDF为等腰直角三角形
∴DG=DF
∴DG=BE
∵∠ABE=∠ADG=90°，AB=AD
∴△ABE≌△ADG
∵∠BAD=90°
∴将△ABE绕A点逆时针旋转90°得到△ADG
即△ADG即为所求．
【点睛】
此题考查的是作图题，掌握平行四边形的性质、矩形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定及性质、垂径定理、等腰直角三角形的性质是解题关键．
60．已知：如图1，在平面直角坐标系中，A（2，－1），以M（－1，0）为圆心，以AM为半径的圆交y轴于点B，连结BM并延长交⊙M于点C，动点P在线段BC上运动，长为的线段PQ∥x轴（点Q在点P右侧），连结AQ．
（1）求⊙M的半径长和点B的坐标；
（2）如图2，连结AC，交线段PQ于点N，
①求AC所在直线的解析式；
②当PN=QN时，求点Q的坐标；
（3）点P在线段BC上运动的过程中，请直接写出AQ的最小值和最大值．
【答案】（1）半径为，点B（0，3）；
（2）①yAC＝x－2，②点Q坐标为（－，－）
（3）AQ最小值为，AQ最大值为
【分析】
(1)过点A作AE⊥x轴，则AE＝1，ME＝3，从而得出圆的半径，然后根据Rt△MOB的勾股定理得出OB的长度，得出点B的坐标；
(2)首先设直线AC的解析式为：y=kx+b，根据中心对称的性质得出点C的坐标，利用待定系数法求出函数解析式；根据题意得出直线BC的解析式为y=3x+3，设点P的坐标为(x，3x+3)，从而得出点N的坐标，然后根据点N在直线AC上求出x的值，从而得出点Q的坐标；
(3)
当点P与C重合时，此时AQ′最小，当点P与点B重合时，由此即可判断PQ的最大值
【详解】
（1）过点A作AE⊥x轴，则AE＝1，ME＝3，
∴AM＝，即半径为
所以BM＝，
∵OM＝1，
∴OB＝3，
即点B（0，3）
（2）①设解析式为设yAC＝kx＋b由题意得点C与点B关于点M成中心对称，
∴点C（－2，－3）又点A（2，－1）
即当x＝2时，y＝－1；当x＝－2时，y＝－3
解得k＝，b＝－2
∴yAC＝x－2
②可求yBC＝3x＋3，设点P（x，3x＋3）
由题意得点N为(x＋，3x＋3)
∵点N落在AC上，所以3x＋3＝
(
x＋)－2
解得x＝－
所以点Q坐标为（－，－）
（3）如图，
当点P与C重合时，，此时AQ′=，过点Q平行BC的直线的解析式为y=3x-2，
过点A垂直BC的直线的解析式为，与直线y=3x-2的交点为Q′，此时AQ′最小（垂线段最短），
由，解得
∴AQ的最小值，
为当点P与点B重合时，Q″，此时AQ″，
∴AQ最大值为
【点睛】
本题考查圆综合题、一次函数的应用、勾股定理、待定系数法、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考压轴题．