21.2.4一元二次方程的根与系数的关系自学自测2021-2022学年人教版数学九年级上册（word版含解析）

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系自学自测
一、选择题
1．如果关于的方程的两根分别为，，那么、的值是（
）.
A．，
B．，
C．，
D．，
2．已知，是关于的方程的两实根，实数、、、的大小关系可能是（
）
A．αB．a<α<βC．a<αD．α3．设x1、x2是一元二次方程x2+x-3=0的两根，则x13-4x22+15等于（　
　）
A.8
B.-4
C.6
D.0
4．若a≠b，且则的值为（
）
A．
B．1
C．.4
D．3
5．一元二次方程的两根为，，则的值是（
）
A．4
B．
C．3
D．
6．x1，x2是关于x的一元二次方程x2
－mx
＋m－2＝0的两个实数根，是否存在实数m使＝0成立？则正确的结论是(　
　)
A．m＝0
时成立
B．m＝2
时成立
C．m＝0
或2时成立
D．不存在
7．已知关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为，那么的值是（
）
A．5
B．-1
C．5或-1
D．-5或1
8．已知a、b满足a2﹣6a+2＝0，b2﹣6b+2＝0，则＝（　　）
A．﹣6
B．2
C．16
D．16或2
9．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（　　）
A．
B．
C．且
D．且
10．关于x的方程rx2+（r+2）x+r﹣1=0有根只有整数根的一切有理数r的值有（　　）个．
A．1
B．2
C．3
D．不能确定
二、填空题
11．已知x1，x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个实数根，则＋的值是________.
12．设、是方程的两个不相等的实数根，则+4的值为______.
13．已知一元二次方程的一个根为2，则它的另一个根为______．
14．关于x的方程（k﹣2）x2﹣4x+1=0有实数根，则k满足的条件是　_________　．
15．关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4，则x12﹣x1x2+x22的值是_____．
三、解答题
16．已知、是关于的一元二次方程的两实数根．
（1）若，求n的值；
（2）已知等腰三角形的一边长为7，若、恰好是△另外两边的长，求这个三角形的周长．
17．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0的两个实数根x1，x2满足
x1x2＋x1＋x2＞0，求a的取值范围.
18．已知关于的一元二次方程有两个不等的实数根和
求的取值范围并证明；
若，求的值．
19．已知x1，x2是关于x的方程ax2﹣（a+1）x+1＝0的两个实数根．
（1）若x1≠x2，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a使得x12＝x22成立？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
20.已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋4k－3＝0.
(1)求证：无论k取什么实数，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)当Rt△ABC的斜边长a＝，且两条直角边长b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．
21．如果方程x2+px+q=0有两个实数根x1，
x2，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知a、b是方程x2+15x+5=0的二根，则=?
（2）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．
（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于x，y的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k，使得y1y2﹣=2？若存在，求出的k值，若不存在，请说明理由．
22．已知关于x的一元二次方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使＝1成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
23．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根：
（2）若x1，x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|=2
，求m的值，并求出此时方程的两根．
答案
一、选择题
1．
B
2．
A
3．
B
4．
B
5．
D
6．
A
7．
B
8．
D
9．
B
10．
B
二、填空题
11．
6
12．
2022
13．
-3
14．
k≤6
15．
4
三、解答题
16．
（1）6；（2）17.
17．
解：∵该一元二次方程有两个实数根，
∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×a＝4－4a≥0，
解得a≤1.
由韦达定理可得x1x2＝a，x1＋x2＝2.
∵x1x2＋x1＋x2＞0，
∴a＋2＞0，
解得a＞－2，
∴－2＜a≤1.
18．
(1)略;(2)m=-2.
19．
（1）且；（2）存在，a的值为1或-1
20.
解：(1)证明：
∵b2－4ac＝[－(2k＋1)]2－4(4k－3)＝4k2－12k＋13＝4(k－)2＋4＞0恒成立，
∴无论k取什么实数，该方程总有两个不相等的实数根．
(2)根据勾股定理，得b2＋c2＝a2＝31.
∵两条直角边长b和c恰好是这个方程的两个根，
∴b＋c＝2k＋1，bc＝4k－3.
∵(b＋c)2－2bc＝b2＋c2＝31，
∴(2k＋1)2－2(4k－3)＝31，
整理，得4k2＋4k＋1－8k＋6－31＝0，
即k2－k－6＝0，
解得k1＝3，k2＝－2(舍去)．
∵b＋c＝2k＋1＝7，
∴△ABC的周长为a＋b＋c＝＋7.
21．
（1）43（2）4（3）存在，当k=﹣2时，
22．
（1）k＞﹣且k≠0；（2）存在，理由略
23．
（1）证明：∵△=（m+3）2﹣4（m+1）
=（m+1）2+4
∵无论m取何值，（m+1）2+4恒大于0
∴原方程总有两个不相等的实数根
（2）∵x1，x2是原方程的两根
∴x1+x2=﹣（m+3），x1?x2=m+1
∵|x1﹣x2|=2
∴（x1﹣x2）2=（2）2
∴（x1+x2）2﹣4x1x2=8
∴[﹣（m+3）]2﹣4（m+1）=8∴m2+2m﹣3=0
解得：m1=﹣3，m2=1…10分
当m=﹣3时，原方程化为：x2﹣2=0
解得：x1=，x2=﹣
当m=1时，原方程化为：x2+4x+2=0
解得：x1=﹣2+，x2=﹣2﹣
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