第二章一元二次方程单元综合检测-2021-2022学年 北师大版九年级数学上册（word版含答案）

第二章一元二次方程综合检测
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题列出的四个选项中,只有一项符合题意)
1.下列方程中,是关于x的一元二次方程的是
(　　)
A.ax2+bx+c=0
B.+x=2
C.x2+2x=x2+1
D.2+x2=0
2.方程x(2x-5)=4x-10化为一元二次方程的一般形式是
(　　)
A.2x2-9x+10=0
B.2x2-x+10=0
C.2x2+14x-10=0
D.2x2+3x-10=0
3.一元二次方程x2-4x-1=0配方后可化为
(　　)
A.(x+2)2=3
B.(x+2)2=5
C.(x-2)2=3
D.(x-2)2=5
4.一元二次方程x2-2x-1=0的根的情况是
(　　)
A.无法确定
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.有两个不相等的实数根
5.若关于x的一元二次方程(m-2)x2+5x+m2-3m+2=0有一个实数根为0,则另一根为
(　　)
A.0
B.1
C.2
D.5
6.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送出1892张照片.如图果全班有x名同学,根据题意,列出方程为
(　　)
A.x(x+1)=1892
B.x(x-1)=1892×2
C.x(x-1)=1892
D.2x(x+1)=1892
7.目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展.某市2019年底有5G用户2万户,计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户.设全市5G用户数年平均增长率为x,则x的值为
(　　)
A.20%
B.30%
C.40%
D.50%
8.在等腰三角形ABC中,BC=8,AB,AC的长分别是关于x的方程x2-10x+m=0的两根,则m的值是
(　　)
A.16或25
B.16
C.25
D.5或8
9.宾馆有50间房供游客居住,当每间房每天定价为180元时,宾馆会住满;当每间房每天的定价每增加10元时,就会空闲一间房.如图果有游客居住,宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当每间房每天的定价为多少元时,宾馆当天的利润为10890元?设每间房每天的定价为x元,则有
(　　)
A.(180+x-20)50-=10890
B.(x-20)50-=10890
C.x50--50×20=10890
D.(x+180)50--50×20=10890
10.设m,n是一元二次方程x2+5x-8=0的两个根,则m2+7m+2n等于
(　　)
A.-5
B.-2
C.2
D.5
二、填空题(本大题共7小题,每小题3分,共21分)
11.方程2(x+3)2-5(x+3)=0的解为　　　　　　　.?
12.若关于x的一元二次方程x2+2x+c=0有两个相等的实数根,则实数c的值为　　　　.?
13.如图果一个直角三角形的两边长是一元二次方程x2-7x+12=0的两个根,那么这个直角三角形的斜边长为　　　　.?
14.已知m,n是关于x的一元二次方程x2-3x+a=0的两个根,若(m-1)(n-1)=-6,则a的值为　　　　.?
15.已知方程x2+3x-1=0的两个根分别是x1,x2,则x2+x1=　　　　.?
16.若正数a是一元二次方程x2-5x+m=0的一个根,-a是一元二次方程x2+5x-m=0的一个根,则a的值是　　　　.?
17.如图图,学校将一块面积为240
m2的矩形空地一边增加4
m,另一边增加5
m后,建成了一个正方形训练场,则此训练场的面积为　　　　m2.?
三、解答题(本大题共6小题,共49分)
18.(9分)(1)用配方法解方程:3x2-4x-2=0;
(2)用因式分解法解方程:4(2x+1)2-9(2x-1)2=0;
(3)用公式法解方程:2x2-8x=-5.
19.(8分)已知关于x的一元二次方程x2-4x-m2=0.
(1)求证:该方程有两个不相等的实数根;
(2)若该方程的两实数根x1,x2满足x1+2x2=9,求m的值.
20.(8分)如图图,在△ABC中,∠C=90°,AC=16
cm,BC=8
cm,一动点P从点C出发沿着CB方向以2
cm/s的速度运动,另一动点Q从点A出发沿着AC方向以4
cm/s的速度运动,P,Q两点同时出发,当点P到达点B时,两点同时停止运动.设运动时间为t
s.
(1)若△PCQ的面积是△ABC的面积的,求t的值.
(2)△PCQ的面积能否与四边形ABPQ的面积相等?若能,求出t的值;若不能,说明理由.
21.(8分)百货商店销售某种冰箱,每台进价为2500元.市场调研表明:当每台售价为2900元时,平均每天能售出8台;每台售价每降低10元,平均每天能多售出1台.设每台冰箱降价x元.
(1)每台冰箱的销售利润为　　　　　　元,平均每天可销售冰箱　　　　　　台(用含x的代数式表示);?
(2)商店想要使这种冰箱平均每天的销售利润达到5600元,且尽可能地减少冰箱库存,每台冰箱的售价应为多少元?
22.(8分)对于代数式ax2+bx+c,若存在实数n,当x=n时,代数式的值也等于n,则称n为这个代数式的不变值.例如图:对于代数式x2,当x=0时,代数式等于0;当x=1时,代数式等于1,我们就称0和1都是这个代数式的不变值.在代数式存在不变值时,该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A.特别地,当代数式只有一个不变值时,A=0.
(1)代数式x2-2x的不变值是　　　　,A=　　　　.?
(2)说明代数式2x2+3没有不变值.
(3)已知代数式x2-bx+b,
①若A=0,求b的值;
②若1≤A≤2,b为整数,求所有整数b的和.
23.(8分)某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚,其中一面靠墙,这堵墙的长度为12米,计划建造车棚的面积为80平方米,已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米.
(1)为了方便学生出行,学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门,那么这个车棚的长和宽分别应为多少米?
(2)在(1)的条件下,为了方便学生取车,施工单位决定在车棚内修建3条等宽的小路,如图图,使得停放自行车的面积为54平方米,那么小路的宽应是多少米?
答案
1.D
2.A　[解析]
∵x(2x-5)=4x-10,∴2x2-5x=4x-10,∴2x2-9x+10=0.
故选A.
3.D　[解析]
x2-4x-1=0,x2-4x=1,x2-4x+4=1+4,(x-2)2=5.故选D.
4.D　[解析]
∵Δ=(-2)2-4×(-1)=8>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
故选D.
5.D　[解析]
根据题意,将x=0代入方程可得m2-3m+2=0,解得m=1或m=2.又∵m-2≠0,即m≠2,∴m=1.将m=1代入方程,得-x2+5x=0,解得x1=0,x2=5.故选D.
6.C　[解析]
∵全班有x名同学,
∴每名同学要送出(x-1)张照片.
又∵同学们是互送照片,
∴总共送的张数应该是x(x-1).
∴x(x-1)=1892.
故选C.
7.C　[解析]
由全市5G用户数年平均增长率为x,得2020年底全市新增5G用户为2(1+x)万户,2021年底全市新增5G用户为2(1+x)2万户,
依题意,得2+2(1+x)+2(1+x)2=8.72,整理,得x2+3x-1.36=0,
解得x1=0.4=40%,x2=-3.4(不合题意,舍去).故选C.
8.A　[解析]
设x1,x2是方程x2-10x+m=0的两个根.在方程x2-10x+m=0中,x1+x2=10.当AB,AC是等腰三角形的腰时,有x1=x2=5,∴x1x2=25=m;当AB,AC有一边的长为8时,设x1=8,则8+x2=10,∴x2=2,m=x1x2=8×2=16,∴m=25或m=16.
故选A.
9.B
10.B　[解析]
∵m,n是一元二次方程x2+5x-8=0的两个根,
∴m+n=-5,m2+5m-8=0.
∵m2+7m+2n=m2+5m+2(m+n)=8-10=-2.
故选B.
11.x1=-3,x2=-
12.1　[解析]
∵关于x的一元二次方程x2+2x+c=0有两个相等的实数根,
∴Δ=b2-4ac=22-4c=0,解得c=1.
故答案为1.
13.4或5　[解析]
x2-7x+12=0,(x-3)(x-4)=0,解得x1=3,x2=4,
当4是直角边的长时,则斜边长为=5;
当4是斜边的长时,则斜边长为4.
故答案为4或5.
14.-4　[解析]
∵m,n是关于x的一元二次方程x2-3x+a=0的两个根,∴m+n=3,mn=a.
∵(m-1)(n-1)=-6,
∴mn-(m+n)+1=-6,
即a-3+1=-6,解得a=-4.
15.-11　[解析]
∵方程x2+3x-1=0的两个根分别是x1,x2,
∴x1+x2=-3,x1x2=-1,
∴x2+x1=x1x2(+)=x1x2(x1+x2)2-2(x1x2)2=-1×(-3)2-2×(-1)2=-11.故答案为-11.
16.5
17.400　[解析]
设训练场的边长为x
m,则原空地的长为(x-4)m,宽为(x-5)m.
依题意,得(x-4)(x-5)=240,
解得x=20或x=-11(舍去),
20×20=400(m2),
所以此训练场的面积为400
m2.
18.解:(1)移项,得3x2-4x=2.
二次项系数化为1,得x2-x=.
方程两边都加上一次项系数一半的平方,得
x2-x+=+,
即=.
直接开平方,得x-=±,
∴x=.
∴原方程的解为x1=,x2=.
(2)原方程可化为[2(2x+1)]2-[3(2x-1)]2=0,即(4x+2)2-(6x-3)2=0.
(4x+2+6x-3)(4x+2-6x+3)=0,
即(10x-1)(-2x+5)=0,
∴10x-1=0或-2x+5=0,∴x1=,x2=.
(3)将方程化为一般形式为2x2-8x+5=0.
∵a=2,b=-8,c=5,
∴b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0,
∴x====,
∴原方程的解为x1=,x2=.
19.解:(1)证明:∵在方程x2-4x-m2=0中,
Δ=(-4)2-4×1×(-m2)=16+4m2>0,
∴该方程有两个不相等的实数根.
(2)∵该方程的两个实数根分别为x1,x2,
∴x1+x2=4①,x1·x2=-m2.
∵x1+2x2=9②,
∴联立①②解得x1=-1,x2=5,
∴x1·x2=-5=-m2,解得m=±.
20.解:(1)根据题意,得S△PCQ=×2t(16-4t),S△ABC=×8×16=64.
∵△PCQ的面积是△ABC的面积的,
∴×2t(16-4t)=64×,
整理,得t2-4t+4=0,解得t1=t2=2.
∴t的值为2.
(2)△PCQ的面积不能与四边形ABPQ的面积相等.理由如图下:
若△PCQ的面积与四边形ABPQ的面积相等,则S△PCQ=S△ABC,即×2t(16-4t)=64×,整理,得t2-4t+8=0.
∵Δ=(-4)2-4×1×8=-16<0,
∴此方程没有实数根,∴△PCQ的面积不能与四边形ABPQ的面积相等.
21.解:(1)(400-x)　8+
(2)依题意,可列方程:(400-x)8+=5600,
解方程得x1=120,x2=200.
因为要尽可能地减少冰箱库存,所以x=200.
2900-200=2700(元).
答:每台冰箱的售价应为2700元.
22.解:(1)令x2-2x=x,则x2-3x=0.
解得x=0或x=3,
则代数式x2-2x的不变值为0和3,A=3-0=3.
故答案为0和3,3.
(2)假设代数式2x2+3有不变值,则方程2x2+3=x有实数根.
原方程可变形为2x2-x+3=0.
∵Δ=(-1)2-4×2×3=-23<0,
∴原方程没有实数根,这与假设矛盾,
∴假设不成立,即代数式2x2+3没有不变值.
(3)①∵A=0,
∴方程x2-bx+b=x有两个相等的实数根.
∵原方程可变形为x2-(b+1)x+b=0,
∴Δ=[-(b+1)]2-4×1×b=(b-1)2=0,
∴b=1.
②∵1≤A≤2,
∴方程x2-(b+1)x+b=0有两个不相等的实数根.原方程可整理为(x-1)(x-b)=0,
解得x1=1,x2=b,
∴b≠1,A=|b-1|.
又∵1≤A≤2,即1≤|b-1|≤2,且b为整数,
∴b=-1或0或2或3.
∵-1+0+2+3=4,∴所有整数b的和为4.
23.解:(1)设与墙垂直的一面长x米,则与墙平行的一面长(26-2x+2)米.
根据题意,得x(28-2x)=80.
整理,得x2-14x+40=0,
解得x1=4,x2=10.
当x=4时,28-2x=20>12(不合题意,舍去);
当x=10时,28-2x=8<12,符合题意.
答:这个车棚的长为10米,宽为8米.
(2)设小路的宽为a米.根据题意,得
(8-2a)(10-a)=54.
整理,得a2-14a+13=0,
解得a1=13>10(不合题意,舍去),a2=1.
答:小路的宽应为1米.