第三章　概率的进一步认识--课堂精练 2021—2022学年-北师大版数学九年级上册（word版含答案）

3.1.1用树状图或表格求概率
一、选择题
1.不透明袋子中装有红、绿小球各一个,这些小球除颜色外无其他差别,随机摸出一个小球后,放回并摇匀,再随机摸出一个,两次都摸到红球的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
2.“学雷锋”活动月中,“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动,小晴和小霞从“图书馆,博物馆,科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动,两人恰好选择同一场馆的概率是
(　　)
A.
B.
C.
D.
3.抛掷一枚质地均匀的硬币2次,“朝上的面不同”的概率是
(　　)
A.
B.
C.
D.
4.在一个布袋中装着只有颜色不同,其他都相同的红、白两种小球各一个,从中任意摸出一个球,记下颜色后放回并搅匀,再摸出一个球,则两次所摸出的球都是同一颜色球的概率是
(　　)
A.
B.
C.
D.
5.从-2,-1,0三个数中任取两个不同的数作为点的坐标,则该点在坐标轴上的概率为
(　　)
A.
B.
C.1
D.
二、填空题
6.一天晚上,小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯,突然停电了,小伟只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起,则颜色搭配正确的概率是　　　　.?
7.有3张看上去无差别的卡片,上面分别写着2,3,4.随机抽取1张后,放回并混在一起,再随机抽取1张,则两次取出卡片上的数字之和是奇数的概率为　　　　.?
8.小明的爸爸妈妈各有2把钥匙放在各自的包里,可以分别打开单元门和家门,小明随机从爸爸和妈妈的包里各拿出一把钥匙,恰好能打开单元门和家门的概率为　　　　.?
9.在网络课程学习中,小蕾和小丽分别在《好玩的数学》《美学欣赏》《人文中国》中随机选择一门,两人恰好选中同一门课程的概率为　　　　.?
三、解答题
10.某校组织一项公益知识竞赛,比赛规定:每个班级由2名男生、2名女生及1名班主任老师组成代表队.但参赛时,每班只能有3名队员上场参赛,班主任老师必须参加,另外2名队员分别在2名男生和2名女生中各随机抽出1名.九年级(1)班由甲、乙2名男生和丙、丁2名女生及1名班主任老师组成了代表队,求恰好抽到由男生甲、女生丙和这位班主任老师一起上场参赛的概率.
11.小明家到学校可搭乘802路,319路,503路公交车,假设每路公交车的发车间隔时间相同,且小明随机选择某路公交车搭乘.
(1)请利用画树状图法或列表法,写出小明上学和放学搭乘公交车路线的所有可能情况;
(2)请求出小明上学和放学都搭乘503路公交车的概率.
12.[2020·宿迁]
将4张印有“梅”“兰”“竹”“菊”字样的卡片(卡片的形状、大小、质地都相同)放在一个不透明的盒子中,将卡片搅匀.
(1)从盒子中任意取出1张卡片,恰好取出印有“兰”字的卡片的概率为　　　　.?
(2)先从盒子中任意取出1张卡片,记录后放回并搅匀,再从中任意取出1张卡片,求取出的两张卡片中,至少有1张印有“兰”字的概率(请用画树状图或列表等方法求解).
13.将图中的A型(正方形)、B型(菱形)、C型(等腰直角三角形)纸片分别放在3个盒子中,盒子的形状、大小、质地都相同,再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中.
根据以上信息,解决下列问题:
(1)搅匀后从中摸出1个盒子,盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是　　　　;?
(2)搅匀后先从中摸出1个盒子(不放回),再从余下的2个盒子中摸出1个盒子,把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起,求拼成的图形是轴对称图形的概率(不重叠、无缝隙拼接).
14有两把不同的锁和两把不同的钥匙,其中每一把钥匙都只能打开其中的一把锁,而打不开另一把锁.现在任意取出一把钥匙去打开任意一把锁.
(1)请用列表或画树状图的方法表示出上述事件所有可能的结果;
(2)求一次打开锁的概率.
15如图①,一枚质地均匀的正四面体骰子,它有四个面并分别标有数字1,2,3,4.
如图②,正方形ABCD顶点处各有一个圈.跳圈游戏的规则为游戏者每掷一次骰子,骰子着地一面上的数字是几,就沿正方形的边按顺时针方向连续跳几个边长.
如:若从圈A起跳,第一次掷得3,就顺时针连续跳3个边长,落到圈D;若第二次掷得2,就从圈D开始顺时针连续跳2个边长,落到圈B.设游戏者从圈A起跳.
(1)嘉嘉随机掷一次骰子,求落回到圈A的概率;
(2)淇淇随机掷两次骰子,用列表法求最后落回到圈A的概率,并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性是否一样.
答案
1.D　[解析]
画树状图如下:
所以P(两次都摸到红球)=.
故选D.
2.A　[解析]
画树状图如下:(用A,B,C分别表示“图书馆,博物馆,科技馆”三个场馆)
共有9种等可能的结果,其中两人恰好选择同一场馆的结果有3种,
所以两人恰好选择同一场馆的概率为=.
故选A.
3.C　[解析]
画树状图如图:
共有4个等可能的结果,“朝上的面不同”的结果有2个,
∴“朝上的面不同”的概率为=.
故选C.
4.A　[解析]
画树状图如下:
共有4个等可能的结果,两次所摸出的球都是同一颜色球的结果有2个,
∴两次所摸出的球都是同一颜色球的概率为=.故选A.
5.D　[解析]
画树状图如下:
共有6个等可能的结果,其中该点在坐标轴上的结果有4个,
∴该点在坐标轴上的概率为=.故选D.
6.　[解析]
用A和a分别表示第一个有盖茶杯的杯盖和茶杯;用B和b分别表示第二个有盖茶杯的杯盖和茶杯.
经过搭配所能产生的结果如下:Aa,Ab,Ba,Bb.所以颜色搭配正确的概率是.故答案为.
7.　[解析]
画树状图如下:
∵共有9种等可能的结果,两次取出卡片上的数字之和是奇数的有4种结果,
∴两次取出卡片上的数字之和是奇数的概率为.故答案为.
8.　[解析]
设单元门的钥匙为A1,A2,家门钥匙为B1,B2,爸爸包里的钥匙为A1,B1,妈妈包里的钥匙为A2,B2.画树状图如下:
共有4种等可能的结果,其中恰好能打开单元门和家门的结果有2种,所以恰好能打开单元门和家门的概率==.故答案为.
9.　[解析]
记《好玩的数学》《美学欣赏》《人文中国》分别为A,B,C,
列表如下:
　　小丽
小蕾　　
A
B
C
A
(A,A)
(B,A)
(C,A)
B
(A,B)
(B,B)
(C,B)
C
(A,C)
(B,C)
(C,C)
共有9种等可能的结果,其中两人恰好选中同一门课程的结果有3种,
所以两人恰好选中同一门课程的概率为=.
故答案为.
10.解:列表如下:
　　男生
女生　　
甲
乙
丙
(甲、丙)
(乙、丙)
丁
(甲、丁)
(乙、丁)
由列表得所有等可能的结果有4种,其中抽到男生甲、女生丙的结果有1种,
所以P(恰好抽到由男生甲、女生丙和这位班主任老师一起上场参赛)=.
11.解:(1)如图.
(2)因为共有9种等可能的结果,其中小明上学和放学都搭乘503路公交车的结果数是1,
所以P(小明上学和放学都搭乘503路公交车)=.
12.解:(1)
(2)画树状图如下:
由树状图知,共有16种等可能结果,其中至少有1张印有“兰”字的有7种结果,
∴至少有1张印有“兰”字的概率为.
13.解:(1)
(2)画树状图如下:
由图可知共有6种等可能的结果,其中“拼成的图形是轴对称图形”的结果有2种,
故P(拼成的图形是轴对称图形)==.
[素养提升]
1.解:(1)分别用A,B表示两把钥匙,a,b表示对应的两把锁,画树状图如下:
由树状图可知,共有4种等可能的结果.
(2)因为一次打开锁的结果有2种,
所以P(一次打开锁)==.
2.解:(1)因为掷一次骰子有4种等可能的结果,只有掷得4时,才会落回到圈A,
所以落回到圈A的概率为.
(2)列表如下:
　　　第1次
第2次　　　
1
2
3
4
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
所有等可能的结果共有16种,当两次掷得的数字和为4的倍数,即(1,3),(2,2),(3,1),(4,4)时,才可落回到圈A,共有4种,
所以淇淇随机掷两次骰子,最后落回到圈A的概率为=.
而=,
所以淇淇与嘉嘉落回到圈A的可能性一样.
3.1.2利用概率判断游戏的公平性
一、选择题
1.甲、乙两人分别投掷一枚质地均匀的正方体骰子,规定掷出“和为7”算甲赢,掷出“和为8”算乙赢,这个游戏对甲、乙双方
(　　)
A.对甲有利
B.公平
C.对乙有利
D.无法确定
2.小明和小亮玩一个游戏:三张大小、质地等都相同的卡片上分别标有数字1,2,3,现将标有数字的一面朝下,小明从中任意抽取一张,记下数字后放回洗匀,然后小亮从中任意抽取一张,计算小明和小亮抽得的两个数字之和.若和为奇数,则小明胜;若和为偶数,则小亮胜.获胜概率大的是
(　　)
A.小明
B.小亮
C.一样
D.无法确定
3.小明与小刚一起玩抛掷硬币的游戏,游戏规则:两人各抛一枚质地均匀的硬币一次,抛出两个正面,小明赢1分;抛出其他结果,小刚赢1分.谁先得到10分,谁就获胜.这是个不公平的游戏规则,要把它修改成公平的游戏,下列做法中错误的是
(　　)
A.把“抛出两个正面”改为“抛出两个同面”
B.把“抛出其他结果”改为“抛出两个反面”
C.把“小明赢1分”改为“小明赢3分”
D.把“小刚赢1分”改为“小刚赢3分”
二、填空题
4.经过某十字路口的汽车,可能直行,也可能向左转或向右转,如果这三种可能性相同,那么两辆汽车经过这个十字路口时,一辆向右转,一辆向左转的概率是　　　　.?
5.小明和小红做一个数字游戏,从-2,-1,2这三个数中任取两个不同的数相乘,他们约定:若两个数的积为正数,则小明获胜;否则,小红获胜.这个游戏对双方　　　　.(填“公平”或“不公平”)?
6.合作小组的4位同学坐在课桌旁讨论问题,学生A的座位如图所示,学生B,C,D随机坐到其他三个座位上,则学生B坐在2号座位且学生C坐在3号座位的概率是　　　　.?
7.小亮手中有红桃10,8,6,4四张牌,小明手中有黑桃9,7,5,3四张牌,他俩做如下游戏:每人从手中随机取出三张牌,和大者为胜.小亮获胜的概率是　　　　,小明获胜的概率是　　　　.?
三、解答题
8.为了丰富校园文化生活,提高学生的综合素质,促进中学生全面发展,学校开展了多种社团活动.小明喜欢的社团有:合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团(分别用字母A,B,C,D依次表示这四个社团),并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上,然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上.
(1)小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是　　　　;?
(2)小明先从中随机抽取一张卡片,记录下卡片上的字母后不放回,再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片,记录下卡片上的字母.请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率.
9.小明和小刚一起做游戏,游戏规则如下:将分别标有数字1,2,3,4的4个球放入一个不透明的袋子中,这些球除数字外都相同.从中随机摸出一个球记下数字后放回,再从中随机摸出一个球记下数字.若两次数字差的绝对值小于2,则小明获胜,否则小刚获胜.这个游戏对两人公平吗?请说明理由.
10.为决定谁获得仅有的一张电影票,甲和乙设计了如下游戏:在三张背面完全相同的卡片上分别写上字母A,B,B,背面朝上,每次抽取之前先将卡片洗均匀.
甲说:“我随机抽取一张,若抽到字母B,则电影票归我.”
乙说:“我随机抽取一张后放回,再随机抽取一张,若两次抽取的字母相同,则电影票归我.”
(1)据甲所说,求甲获得电影票的概率;
(2)据乙所说,求乙获得电影票的概率.
11.现有甲、乙、丙三人组成的篮球训练小组,他们三人之间进行互相传球练习,篮球从一个人手中随机传到另外一个人手中记作传球一次,共连续传球三次.若开始时篮球在甲手中,求经过连续三次传球后,篮球传到乙手中的概率.(请用画树状图或列表等方法求解)
12、四张大小、质地等均相同的卡片正面如图①所示,将卡片洗匀后,背面朝上放置在桌面上.
(1)求随机抽取一张卡片,恰好抽到数字2的概率.
(2)小贝和小晶想用这四张卡片做游戏,游戏规则如图②.你认为这个游戏公平吗?若公平,请用列表或画树状图的方法说明理由;若不公平,请你修改规则,使游戏公平.
答案
1.A　[解析]
两枚骰子上的数字之和是7的有3+4=7,4+3=7,2+5=7,5+2=7,1+6=7,6+1=7,共6种情况,和为8的有2+6=8,6+2=8,3+5=8,5+3=8,4+4=8,共5种情况,所以甲赢的概率大.故选A.
2.B　[解析]
画树状图如下:
由树状图知共有9种等可能的情况,其中和为偶数的情况有5种,所以小亮胜的概率是,那么小明胜的概率是,所以获胜概率大的是小亮.
3.D　[解析]
画树状图如下:
因为P(正,正)=,则出现其他结果的概率为.A项,把“抛出两个正面”改为“抛出两个同面”时,两人获胜的概率都为,此时游戏公平,故此选项正确,不符合题意;B项,把“抛出其他结果”改为“抛出两个反面”时,两人获胜的概率都为,此时游戏公平,故此选项正确,不符合题意;C项,因为小明获胜的概率为,小刚获胜的概率为,故把“小明赢1分”改为“小明赢3分”,此时游戏公平,故此选项正确,不符合题意;D项,把“小刚赢1分”改为“小刚赢3分”,此时游戏不公平,故此选项错误,符合题意.
4.　[解析]
画树状图如图所示:
∵这两辆汽车行驶方向共有9种等可能的结果,其中一辆向右转,一辆向左转的结果有2种,
∴一辆向右转,一辆向左转的概率为.故答案为.
5.不公平　[解析]
列表如下:
-2
-1
2
-2
2
-4
-1
2
-2
2
-4
-2
由表可知,共有6种等可能的结果,其中积为正数的结果有2种,
所以积为正数的概率为=,积为负数的概率为1-=.因为<,所以这个游戏对双方不公平.
6.　[解析]
画树状图如下:
共有6种等可能的结果,其中学生B坐在2号座位且学生C坐在3号座位的结果有1种,
所以学生B坐在2号座位且学生C坐在3号座位的概率是.故答案为.
7.　[解析]
小亮随机抽出的三张牌的数字和的可能结果是24,22,20,18,
小明随机抽出的三张牌的数字和的可能结果是21,19,17,15.
列表如下:
24
22
20
18
21
(21,24)
(21,22)
(21,20)
(21,18)
19
(19,24)
(19,22)
(19,20)
(19,18)
17
(17,24)
(17,22)
(17,20)
(17,18)
15
(15,24)
(15,22)
(15,20)
(15,18)
由表知小亮获胜的概率是,小明获胜的概率是.
8.解:(1)
(2)列表如下:
A
B
C
D
A
(B,A)
(C,A)
(D,A)
B
(A,B)
(C,B)
(D,B)
C
(A,C)
(B,C)
(D,C)
D
(A,D)
(B,D)
(C,D)
由表可知共有12种等可能结果,小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的结果有6种,所以小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率为=.
9.解:这个游戏对两人不公平.
理由:列表如下:
1
2
3
4
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
所有等可能的情况有16种,其中两次数字差的绝对值小于2的情况有(1,1),(2,1),(1,2),(2,2),(3,2),(2,3),(3,3),(4,3),(3,4),(4,4)共10种,
故小明获胜的概率为=,则小刚获胜的概率为=.
∵≠,
∴这个游戏对两人不公平.
10.解:(1)P(甲获得电影票)=.
(2)可能出现的结果如下(列表法):
A
B
B
A
(A,A)
(A,B)
(A,B)
B
(B,A)
(B,B)
(B,B)
B
(B,A)
(B,B)
(B,B)
因为共有9种等可能的结果,其中两次抽取的字母相同的结果有5种,
所以P(乙获得电影票)=.
11.解:画树状图如图所示:
由树状图可知三次传球有8种等可能结果,三次传球后,篮球传到乙的手中的结果有3种,
∴篮球传到乙手中的概率为.
[素养提升]
解:(1)P(抽到数字2)==.
　　(2)不公平.
根据题意可列表(或画树状图)如下:
　　　第二次抽
第一次抽　　　
2
2
3
6
2
22
22
23
26
2
22
22
23
26
3
32
32
33
36
6
62
62
63
66
从表格(或树状图)中可以看出所有等可能的结果共有16种,其中两位数不超过32的结果有10种,所以P(两位数不超过32)==≠,
所以这个游戏不公平.
修改规则(方法不唯一,以下方法仅供参考):
(方法一)将游戏规则中的32换成26~31(包括26和31)之间的任何一个数都能使游戏公平.
(方法二)将游戏规则改为组成的两位数中,若个位数字是2,则小贝胜,否则小晶胜.
3.1.3利用概率玩转盘游戏
一、选择题
1.用如图所示的两个转盘(分别进行四等分和三等分),设计一个“配紫色”的游戏,任意转动两个指针一次,当指针停止时,若其中一个指向红色,另一个指向蓝色称为配紫色成功(若指针指向扇形的分界线,则重转),则能配成紫色的概率为
(　　)
A.
B.
C.
D.
2.用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏:分别转动两个转盘,若其中一个转出红色,另一个转出蓝色即可配成紫色,若指针指向扇形的分界线,则重转.那么可配成紫色的概率是
(　　)
A.
B.
C.
D.
二、填空题
3.[2020·河南]
如图所示的转盘,被分成面积相等的四个扇形,分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色.固定指针,自由转动转盘两次,每次停止后,记下指针所指区域(指针指向区域分界线时,重转)的颜色,则两次颜色相同的概率是　
.?
4.一个布袋里装有4个只有颜色不同的球,其中有3个红球,1个白球,从布袋里摸出1个球,记下颜色后放回,并搅匀,再摸出1个球,则两次均摸出红球的概率为　　　　.?
5.如图,有两个转盘A,B,在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1,2,分别转动转盘A,B,当转盘停止转动时,若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内”的概率是,则转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数是　　　　.?
三、解答题
6.[2020·昆明]
如图,有一个可自由转动的转盘,被分成了三个大小相同的扇形,分别标有数字2,4,6;另有一个不透明的瓶子,装有分别标有数字1,3,5的三个完全相同的小球.小杰先转动一次转盘,停止后记下指针指向的数字(若指针指在分界线上,则重转),小玉再从瓶子中随机取出一个小球,记下小球上的数字.
(1)请用列表或画树状图的方法(选其中一种)表示出所有可能出现的结果;
(2)若得到的两数字之和是3的整数倍,则小杰赢;若得到的两数字之和是7的整数倍,则小玉赢,此游戏公平吗?为什么?
7.用力旋转如图所示的甲转盘或乙转盘,如果转盘停止后,指针停在蓝色区域就称为成功.
A同学说:“乙转盘大,相应的蓝色部分的面积也大,所以选乙转盘成功的机会比较大.”
B同学说:“转盘上只有两种颜色,指针不是停在红色区域就是停在蓝色区域,因此两个转盘成功的机会都是50%.”
你同意两人的说法吗?如果不同意,请你求出旋转两个转盘成功的机会各有多大.
8.[2020·沈阳]
沈阳市图书馆推出“阅读沈阳,书香盛京”等一系列线上线下相融合的阅读推广活动,需要招募学生志愿者.某校甲、乙两班共有五名学生报名,甲班一名男生,一名女生;乙班一名男生,两名女生.现从甲、乙两班各随机抽取一名学生作为志愿者,请用列表法或画树状图法求抽出的两名学生性别相同的概率.(温馨提示:甲班男生用A表示,女生用B表示;乙班男生用a表示,两名女生分别用b1,b2表示)
9、小颖参加某个智力竞答节目,答对最后两道单选题就顺利通关.第一道题有3个选项,第二道题有4个选项,这两道题小颖都不会,不过小颖还有一个“求助”没有使用(使用“求助”可让主持人去掉其中一题中的一个错误选项).
(1)若小颖第一道题不使用“求助”,那么小颖答对第一道题的概率是　　　　;?
(2)若小颖将“求助”留在第二道题使用,求小颖顺利通关的概率;
(3)从概率的角度分析,你会建议小颖在答第几道题时使用“求助”?
答案
1.D　[解析]
根据题意画树状图如下:
由树状图,知共有12种等可能结果,其中能配成紫色的有7种结果,
所以能配成紫色的概率为.
故选D.
2.D
3.　[解析]
自由转动转盘两次,指针所指区域所有可能出现的情况如下:
　　　第1次
第2次　　　
红
黄
蓝
绿
红
红红
黄红
蓝红
绿红
黄
红黄
黄黄
蓝黄
绿黄
蓝
红蓝
黄蓝
蓝蓝
绿蓝
绿
红绿
黄绿
蓝绿
绿绿
共有16种等可能出现的结果,其中两次颜色相同的有4种,
∴P(两次颜色相同)==.故答案为.
4.　[解析]
画树状图如下:
∵共有16种等可能的结果,两次都摸出红球的结果有9种,∴两次都摸出红球的概率为.
故答案为.
5.90°　[解析]
由于转盘A落在1的概率为,而两个转盘都落在1的概率是,所以转盘B落在1的概率为÷=,所以转盘B中数字1所在扇形的圆心角的度数为×360°=90°.
6.解:(1)用列表法表示所有可能出现的结果情况如下:
　　转盘
摸球　　
2
4
6
1
(2,1)
(4,1)
(6,1)
3
(2,3)
(4,3)
(6,3)
5
(2,5)
(4,5)
(6,5)
共有9种不同结果,即(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,3),(4,5),(6,1),(6,3),(6,5).
(2)公平.理由:由(1)的表格可知,共有9种等可能的结果,其中“和为3的整数倍”的有3种,“和为7的整数倍”的有3种,
∴P(小杰胜)==,P(小玉胜)==,
∴游戏是公平的.
7.解:不同意这两人的说法.
因为无论转动甲转盘还是转动乙转盘,蓝色区域所占面积均为总面积的,
所以转动两个转盘成功的可能性都是,因此旋转两个转盘成功的机会都是25%.
8.解:画树状图如图.
共有6种等可能的结果,其中抽出的两名学生性别相同的结果有3种,
所以抽出的两名学生性别相同的概率为=.
[素养提升]
解:(1)
(2)用Z表示正确选项,C表示错误选项,画树状图如下:
由树状图可知,共有9种等可能的结果,其中小颖顺利通关的结果有1种,所以将“求助”留在第二道题使用,P(顺利通关)=.
(3)若小颖将“求助”留在第一道题使用,画树状图如下:
由树状图可知,共有8种等可能的结果,其中小颖顺利通关的结果有1种,
所以将“求助”留在第一道题使用,P(顺利通关)=.
因为>,所以建议小颖在答第一道题时使用“求助”.
3.2用频率估计概率
一、选择题
1.关于频率和概率的关系,下列说法正确的是
(　　)
A.频率等于概率
B.当试验次数很多时,频率稳定在概率附近
C.当试验次数很多时,概率稳定在频率附近
D.试验得到的频率与概率不可能相等
2.[2020·徐州]
在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个,这些球除颜色外都相同.小明通过多次试验发现,摸出红球的频率稳定在0.25左右,则袋子中红球的个数最有可能是(　　)
A.5
B.10
C.12
D.15
3.为调查6个人中2个人生肖相同的概率,进行有放回的摸球试验,则应进行的试验为(　　)
A.用12个质地完全相同,但其上所标数字完全不同的球每摸6次(每摸1次均放回)为一次试验,看是否有2次相同
B.用12个质地完全相同,但其上所标数字完全不同的球每摸12次(每摸1次均放回)为一次试验,看是否有2次相同
C.用6个质地完全相同,但其上所标数字完全不同的球每摸12次(每摸1次均放回)为一次试验,看是否有2次相同
D.用6个质地完全相同,但其上所标数字完全不同的球每摸6次(每摸1次均放回)为一次试验,看是否有2次相同
二、填空题
4.一个不透明的袋子中有红球、白球共10个,这些球除颜色外其余都相同,将袋中的球搅匀,从中随机摸出1个球,记下颜色后再放回袋中,不断重复这一过程.摸了1000次后,发现有300次摸到红球,请你估计这个袋中红球有　　　　个.?
5.如图,为测量平地上一块不规则区域(图中的阴影部分)的面积,画一个边长为2
m的正方形,使不规则区域落在正方形内,现向正方形内随机投掷小石子(假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的),经过大量重复投掷试验,发现小石子落在不规则区域内的频率稳定在常数0.25附近,由此可估计不规则区域的面积是　　　　m2.?
三、解答题
6.[2020·泰州]
一只不透明的袋子中装有1个白球和若干个红球,这些球除颜色外都相同,某课外学习小组做摸球试验:将球搅匀后从中任意摸出1个球,记下颜色后放回、搅匀,不断重复这个过程,获得数据如下表:
摸球的次数
200
300
400
1000
1600
2000
摸到白球的频数
72
93
130
334
532
667
摸到白球的频率
0.3600
0.3100
0.3250
0.3340
0.3325
0.3335
(1)该学习小组发现,随着试验次数的增加,摸到白球的频率在一个常数附近摆动,这个常数是
　　　　(精确到0.01),由此估计出红球有　　　　个;?
(2)现从该袋中有放回地摸出2个球,请用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果,并求恰好摸到1个白球,1个红球的概率.
7、小明和小亮两名同学做投掷骰子(质地均匀)试验,他们共做了100次试验,试验的结果如下:
朝上的点数
1
2
3
4
5
6
出现的次数
14
15
23
16
20
12
　　(1)计算“2点朝上”的频率和“4点朝上”的频率;
(2)小明说:“根据试验,得一次试验中出现3点朝上的概率最大.”小亮说:“如果投掷1000次,那么出现5点朝上的次数正好是200次.”小明和小亮的说法正确吗?为什么?
(3)小明投掷一枚质地均匀的骰子,计算小明投掷点数不小于3的概率.
答案[课堂达标]
1.B　
2.A　[解析]
设袋子中红球有x个.根据题意,得≈0.25,解得x≈5,故袋子中红球约有5个.故选A.
3.A　[解析]
∵共有12个生肖,∴应准备12个球.∵调查6个人,∴每次摸出后放回,应摸6次球为一次试验.
故选A.
4.3　[解析]
因为摸了1000次后,发现有300次摸到红球,所以摸到红球的频率为=0.3,由此估计摸到红球的概率为0.3.因为袋子中有红球、白球共10个,
所以估计这个袋中红球有10×0.3=3(个).
5.1　[解析]
因为经过大量重复投掷试验,发现小石子落在不规则区域内的频率稳定在常数0.25附近,所以小石子落在不规则区域内的概率约为0.25.因为正方形的边长为2
m,所以正方形的面积为4
m2.设不规则区域的面积为S
m2,则≈0.25,解得S≈1.
6.解:(1)观察表格发现,随着摸球次数的增多,摸到白球的频率逐渐稳定在0.33附近,由此估计出红球有2个.故答案为0.33,2.
(2)画树状图如图.
由图可知,共有9种等可能的结果,其中恰好摸到1个白球,1个红球的结果有4种,
所以恰好摸到1个白球,1个红球的概率为.
[素养提升]
解:(1)“2点朝上”的频率为=0.15;
“4点朝上”的频率为=0.16.
(2)小明的说法错误.理由:因为只有当试验的次数足够大时,该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近.
小亮的说法也是错误的.理由:因为随机事件的发生具有随机性,所以“5点朝上”的次数不一定是200次.
(3)P(点数不小于3)==.