1.2.2直角三角形斜边上的中线同步练习2021——2022学年北师大版九年级数学上册（word版含解析）

1.2.2直角三角形斜边上的中线
一．选择题（共7小题）
1．如图所示，公路AC，BC互相垂直，点M为公路AB的中点，为测量湖泊两侧C、M两点间的距离，若测得AB的长为5km，则M，C两点间的距离为（　　）
A．2.5km
B．3km
C．4.5km
D．5km
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是角平分线，BE是中线，则DE的长为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝10，则CD＝（　　）
A．2
B．3
C．4
D．6
第1题
第2题
第3题
4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，E是AC的中点，连接BE，BD．则∠DBE的度数为（　　）
A．10°
B．12°
C．15°
D．18°
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝52°，BE为AC边上的中线，AD平分∠BAC，交BC边于点D，过点B作BF⊥AD，垂足为F，则∠EBF的度数为（　　）
A．19°
B．33°
C．34°
D．43°
6．如图，△ABC中，BC＝18，若BD⊥AC于D点，CE⊥AB于E点，F，G分别为BC、DE的中点，若ED＝10，则FG的长为（　　）
A．2
B．
C．8
D．9
第4题
第5题
第6题
7．如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D；点F是AB的中点，连接DF，EF，设∠DFE＝x°，∠ACB＝y°，则（　　）
A．y＝x
B．y＝﹣x+90
C．y＝﹣2x+180
D．y＝﹣x+90
二．填空题（共8小题）
8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是角平分线，BE是中线，则DE的长为
　
　．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝10，BG＝4，则CF的长为　
　．
10．在△ABC中，∠BAC为钝角，AF，CE都是这个三角形的高，P为AC的中点，若∠B＝42°，则∠EPF的度数为　
　．
第8题
第9题
第10题
11．如图，△ABC中，AB＝AC＝4，以AC为斜边作Rt△ADC，使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB＝30°，E、F分别是BC、AC的中点，则ED＝　
　．
12．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，M为AB边的中点，连接ME、MD、ED，设AB＝10，∠DBE＝30°，则△EDM的面积为　
　．
13．已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点O，E、F分别是AC、BD的中点．则∠EFO＝　
　．
第11题
第12题
第13题
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，以点C为圆心，CD长为半径画弧交BA的延长线于点E，设∠B＝x，∠ACE＝y．则y与x的关系式为　
　．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB的中点，E、F分别为边AC、BC上的点，且AE＝AD，BF＝BD．若DE＝，DF＝2，则∠EDF＝　
　°，线段AB的长度＝　
　．
第14题
第15题
三．解答题（共7小题）
16．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若∠A＝60°，连接EM，DM，判断△EDM的形状，并说明理由．
17．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，点E是边BC延长线上一点，连接AE、DE，过点C作CF⊥DE于点F，且DF＝EF．
（1）求证：AD＝CE．
（2）若AD＝5，AC＝6，求△BDE的面积．
18．如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点．
（1）求证：DE⊥CF；
（2）求证：∠B＝2∠BCF．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F是线段AD上一点，连接EF，CF．
（1）若点F是线段AD的中点，试猜想线段EF与CF的大小关系，并加以证明．
（2）在（1）的条件下，若∠BAC＝45°，AD＝6，求C、E两点间的距离．
20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE．
（1）求证：CG＝EG．
（2）已知BC＝13，CD＝5，连接ED，求△EDC的面积．
21．如图，在△ABC中，BM⊥AC，垂足为M．N为AB上的一点，D为BC的中点，DN＝BC．
（1）求证CN⊥AB．
（2）若∠A＝55°，则∠MDN＝　
　°．
22．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD中点，过A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AD＝AF；
（2）如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
1.2.2直角三角形斜边上的中线
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．如图所示，公路AC，BC互相垂直，点M为公路AB的中点，为测量湖泊两侧C、M两点间的距离，若测得AB的长为5km，则M，C两点间的距离为（　　）
A．2.5km
B．3km
C．4.5km
D．5km
【解答】解：∵公路AC，BC互相垂直，
∴∠ACB＝90°，
∵M为AB的中点，
∴CM＝AB，
∵AB＝5km，
∴CM＝2.5（km），
即M，C两点间的距离为2.5km，
故选：A．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是角平分线，BE是中线，则DE的长为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
【解答】解：∵AB＝AC＝8，AD是角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴DE＝AC＝×8＝4，
故选：B．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝10，则CD＝（　　）
A．2
B．3
C．4
D．6
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝10，
∴AE＝CE＝10，
∵AD＝2，
∴DE＝8，
∵CD为AB边上的高，
在Rt△CDE中，CD＝＝＝6，
故选：D．
4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，E是AC的中点，连接BE，BD．则∠DBE的度数为（　　）
A．10°
B．12°
C．15°
D．18°
【解答】解：连接DE，
∵∠ADC＝90°，E是AC的中点，
∴DE＝AC＝AE，
∴∠EDA＝∠DAC＝45°，
∴∠DEC＝∠EDA+∠DAC＝90°，
同理，∠BEC＝60°，
∴∠DEB＝90°+60°＝150°，
∵DE＝AC，BE＝AC，
∴DE＝BE，
∴∠DBE＝×（180°﹣150°）＝15°，
故选：C．
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝52°，BE为AC边上的中线，AD平分∠BAC，交BC边于点D，过点B作BF⊥AD，垂足为F，则∠EBF的度数为（　　）
A．19°
B．33°
C．34°
D．43°
【解答】解：∵∠ABC＝90°，BE为AC边上的中线，
∴∠BAC＝90°﹣∠C＝90°﹣52°＝38°，BE＝AC＝AE＝CE，
∴∠EBC＝∠C＝52°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAC＝19°，
∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝52°+19°＝71°，
∵BF⊥AD，
∴∠BFD＝90°，
∴∠FBD＝90°﹣∠ADB＝19°，
∴∠EBF＝∠EBC﹣∠FBD＝52°﹣19°＝33°；
故选：B．
6．如图，△ABC中，BC＝18，若BD⊥AC于D点，CE⊥AB于E点，F，G分别为BC、DE的中点，若ED＝10，则FG的长为（　　）
A．2
B．
C．8
D．9
【解答】解：连接EF、DF，
∵BD⊥AC，F为BC的中点，
∴DF＝BC＝9，
同理，EF＝BC＝9，
∴FE＝FD，又G为DE的中点，
∴FG⊥DE，GE＝GD＝DE＝5，
由勾股定理得，FG＝＝2，
故选：A．
7．如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D；点F是AB的中点，连接DF，EF，设∠DFE＝x°，∠ACB＝y°，则（　　）
A．y＝x
B．y＝﹣x+90
C．y＝﹣2x+180
D．y＝﹣x+90
【解答】解：∵AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D；
∴∠ADB＝∠BEA＝90°，
∵点F是AB的中点，
∴AF＝DF，BF＝EF，
∴∠DAF＝∠ADF，∠EBF＝∠BEF，
∴∠AFD＝180°﹣2∠CAB，∠BFE＝180°﹣2∠ABC，
∴x°＝180°﹣∠AFD﹣∠BFE＝2（∠CAB+∠CBA）﹣180°＝2（180°﹣y°）﹣180°＝180°﹣2y°，
∴y＝﹣x+90，
故选：B．
二．填空题（共8小题）
8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是角平分线，BE是中线，则DE的长为
　4　．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴DE＝AC＝×8＝4，
故答案为：4．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝10，BG＝4，则CF的长为　2　．
【解答】解：∵AG∥BD，BD＝FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵BD为AC边上的中线，∠ABC＝90°，
∴BD＝DF＝AC，
∴四边形BGFD是菱形，
∴BD＝DF＝GF＝BG＝4，则AF＝AG﹣GF＝10﹣4＝6，AC＝2BD＝8，
∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，
∴AF2+CF2＝AC2，即62+CF2＝82，
解得：CF＝2．
故答案是：2．
10．在△ABC中，∠BAC为钝角，AF，CE都是这个三角形的高，P为AC的中点，若∠B＝42°，则∠EPF的度数为　96°　．
【解答】解：∵CE⊥BA，∠B＝42°，
∴∠BCE＝48°，
∵AF⊥BC，CE⊥BA，P为AC的中点，
∴PF＝AC＝PC，PE＝AC＝PC，
∴∠PFC＝∠PCF，∠PEC＝∠PCE，
∴∠EPF＝2∠PCF+2∠PCE＝2∠BCE＝96°，
故答案为：96°．
11．如图，△ABC中，AB＝AC＝4，以AC为斜边作Rt△ADC，使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB＝30°，E、F分别是BC、AC的中点，则ED＝　2　．
【解答】解：∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，F是AC的中点，
∴DF＝AF＝AC＝，
∴∠FDA＝∠CAD＝30°，
∴∠DFC＝∠FDA+∠CAD＝60°
∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴EF∥AB，EF＝AB＝＝2，
∴∠EFC＝∠CAB＝30°，
∴∠EFD＝60°+30°＝90°，
∴ED＝＝2．
故答案为：2．
12．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，M为AB边的中点，连接ME、MD、ED，设AB＝10，∠DBE＝30°，则△EDM的面积为　　．
【解答】解：∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，
∴△ABE，△ADB是直角三角形，
∴EM，DM分别是它们斜边上的中线，
∴EM＝DM＝AB＝5，
∵ME＝AB＝MA，
∴∠MAE＝∠MEA，
∴∠BME＝2∠MAE，
同理，MD＝AB＝MA，
∴∠MAD＝∠MDA，
∴∠BMD＝2∠MAD，
∴∠EMD＝∠BME﹣∠BMD＝2∠MAE﹣2∠MAD＝2∠DAC＝60°，
∴△EDM是边长为5的等边三角形，
∴S△EDM＝×52＝．
故答案为：．
13．已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点O，E、F分别是AC、BD的中点．则∠EFO＝　90°　．
【解答】解：连接EB、ED，
∵∠ABC＝90°，E是AC的中点，
∴BE＝AC，
同理，DE＝AC，
∴EB＝ED，又F是BD的中点，
∴EF⊥BD，
∴∠EFO＝90°，
故答案为：90°．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，以点C为圆心，CD长为半径画弧交BA的延长线于点E，设∠B＝x，∠ACE＝y．则y与x的关系式为　y＝90°﹣3x　．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴CD＝BD，
∴∠DCB＝∠B＝x，
∴∠ADC＝2x，
∵CE＝CD，
∴∠E＝∠ADC＝2x，
∵∠EAC＝∠ACB+∠B＝90°+x，
∴y＝180°﹣∠E﹣∠EAC＝180°﹣2x﹣（90°+x）＝90°﹣3x，
即y与x的关系式为：y＝90°﹣3x，
故答案为：y＝90°﹣3x．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB的中点，E、F分别为边AC、BC上的点，且AE＝AD，BF＝BD．若DE＝，DF＝2，则∠EDF＝　45　°，线段AB的长度＝　2　．
【解答】解：如图，延长FD到M使得DM＝DF，连接AM、EM、EF，作EN⊥DF于N．
∵∠C＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°，
∵AE＝AD，BF＝BD，
∴∠AED＝∠ADE，∠BDF＝∠BFD，
∴2∠ADE+∠BAC＝180°，2∠BDF+∠B＝180°，
∴2∠ADE+2∠BDF＝270°，
∴∠ADE+∠BDF＝135°，
∴∠EDF＝180°﹣（∠ADE+∠BDF）＝45°，
∵∠END＝90°，DE＝，
∴∠EDF＝∠DEN＝45°，
∴EN＝DN＝1，
在△DAM和△DBF中，
，
∴△ADM≌△BDF（SAS），
∴BF＝AM＝BD＝AD＝AE，∠MAD＝∠B，
∴∠MAE＝∠MAD+∠BAC＝90°，
∴EM＝AM，
在Rt△EMN中，∵EN＝1，MN＝DM+DN＝3，
∴EM＝＝，
∴AM＝，AB＝2AM＝2．
故答案为：45，2．
三．解答题（共7小题）
16．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若∠A＝60°，连接EM，DM，判断△EDM的形状，并说明理由．
【解答】（1）证明：连接ME，MD．
∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，点M是BC的中点，
∴MD＝ME＝BC，
∴点N是DE的中点，
∴MN⊥DE；
（2）解：∵MD＝ME＝BM＝CM，
∴∠BME+∠CMD＝180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），
∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BME+∠CMD＝360°﹣2×120°＝120°，
∴∠DME＝60°，
∴△EDM是等边三角形．
17．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，点E是边BC延长线上一点，连接AE、DE，过点C作CF⊥DE于点F，且DF＝EF．
（1）求证：AD＝CE．
（2）若AD＝5，AC＝6，求△BDE的面积．
【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AD＝AB，
∵CF⊥DE，DF＝EF．
∴CE＝CD，
∴AD＝CE．
（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，AD＝5，
∴AB＝2AD＝10，
∵AC＝6，
∴BC＝＝8，
由（1）知，CE＝CD＝AD＝5，
∴BE＝BC+EC＝13，
∴S△ABE＝BE?AC＝，
∵点D是AB的中点，
∴△BDE的面积＝S△ABE＝．
18．如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点．
（1）求证：DE⊥CF；
（2）求证：∠B＝2∠BCF．
【解答】证明：（1）连接DF，
∵AD是边BC上的高，
∴∠ADB＝90°，
∵点F是AB的中点，
∴DF＝AB＝BF，
∵DC＝BF，
∴DC＝DF，
∵点E是CF的中点．
∴DE⊥CF；
（2）∵DC＝DF，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴∠FDB＝∠DFC+∠DCF＝2∠DFC，
∵DF＝BF，
∴∠FDB＝∠B，
∴∠B＝2∠BCF．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F是线段AD上一点，连接EF，CF．
（1）若点F是线段AD的中点，试猜想线段EF与CF的大小关系，并加以证明．
（2）在（1）的条件下，若∠BAC＝45°，AD＝6，求C、E两点间的距离．
【解答】解：（1）EF＝CF．
证明：∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
∵点F是斜边AD的中点，
∴EF＝AD，CF＝AD，
∴EF＝CF；
（2）连接CE，由（1）得EF＝AF＝CF＝AD＝3，
∴∠FEA＝∠FAE，∠FCA＝∠FAC，
∴∠EFC＝2∠FAE+2∠FAC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，
∴CE＝＝＝．
20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE．
（1）求证：CG＝EG．
（2）已知BC＝13，CD＝5，连接ED，求△EDC的面积．
【解答】（1）证明：连接DE，
在Rt△ADB中，点E是AB的中点，
∴DE＝AB＝AE，
∵CD＝AE，
∴DE＝DC，又DG⊥CE，
∴CG＝EG．
（2）解：作EF⊥BC于F，
∵BC＝13，CD＝5，
∴BD＝13﹣5＝8，
∵DE＝BE，EF⊥BC，
∴DF＝BF＝4，
∴EF＝＝＝3，
∴△EDC的面积＝×CD×EF＝×5×3＝7.5．
21．如图，在△ABC中，BM⊥AC，垂足为M．N为AB上的一点，D为BC的中点，DN＝BC．
（1）求证CN⊥AB．
（2）若∠A＝55°，则∠MDN＝　70　°．
【解答】（1）证明：∵BM⊥AC，点D是BC的中点，
∴BD＝CD＝DM＝BC，
∵DN＝BC，
∴DM＝DN＝BD＝CD，
∴∠DBN＝∠BND，∠DNC＝∠DCN，
∵∠NBD+∠BNC+∠NCD＝180°，
∴2∠BND+2∠CND＝180°，
∴∠BND+∠CND＝90°，
即∠CNB＝90°，
∴CN⊥AB；
（2）解：∵BM⊥AC，CN⊥AB，
∴∠BNC＝∠BMC＝90°，
∵D为BC的中点，
∴DN＝BD，DM＝CD，
∴∠BND＝∠NBD，∠DMC＝∠MCD，
∴∠BND+∠DMC＝∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝125°，
∴∠AND+∠AMD＝360°﹣125°＝235°，
∴∠MDN＝360°﹣∠A﹣∠AND﹣∠AMD＝70°，
故答案为：70．
22．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD中点，过A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AD＝AF；
（2）如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠EAF＝∠EDB，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEB中，，
∴△AEF≌△DEB（ASA），
∴AF＝BD，
∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，
∴AD＝BD＝DC＝BC，
∴AD＝AF；
（2）当AB＝AC时，四边形ADCF是正方形．
∵AF＝BD＝DC，AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB＝AC，AD是中线，
∴AD⊥BC，
∵AD＝AF，
∴四边形ADCF是正方形