14.3.2第2课时运用完全平方公式分解因式同步提优练习2021-2022学年人教版数学八年级上册（Word版含答案）

第2课时　运用完全平方公式分解因式
命题点
1　完全平方式
1.佳佳将一个完全平方式4x2+20xy+分解因式,不小心把最后一项染黑了,你认为这一项是(　　)
A.5y2
B.10y2
C.100y2
D.25y2
2.若x2+2(k-3)x+9是完全平方式,则k的值是
(　　)
A.0
　
B.6或0
　　
C.4.5
　
D.6
3.阅读理解:我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫做完全平方式.
(1)下列各式中是完全平方式的是　　　　(填序号).?
①a6;②a2+ab+b2;③x2-4x+4y2;④m2+6m+9;⑤x2-10x-25;⑥4a2+2ab+b2.
(2)若4x2+xy+my2和x2-nxy+64y2都是完全平方式,求m2021·n2020的值.
(3)如果多项式4x4+1加上一个单项式后,变为一个完全平方式,那么加上的单项式可以是哪些(请罗列出所有可能的情况,直接写出答案)?
命题点
2　利用完全平方公式分解因式
4.多项式1-4t+4t2可以分解因式为
(　　)
A.(4t-1)2
B.-(2t-1)2
C.(2t-1)2
D.(1-4t)2
5.下列多项式:①x2+xy-y2;②-x2+2xy-y2;③x2+xy+y2;④1-x+.其中能用完全平方公式分解因式的有
(　　)
A.①②
B.①③
C.①④
D.②④
6.把多项式(x2+y2)2-8(x2+y2)+16分解因式的结果是
(　　)
A.(x2+y2-4)2
B.(x-y)4
C.(x2-y2-4)2
D.(x2+y2+4)2
7.分解因式:(x-1)(x-3)+1.
8.下面是某同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行因式分解的过程.
解:设x2-4x=y,则
原式=(y+2)(y+6)+4
(第一步)
=y2+8y+16
(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2-4x+4)2.(第四步)
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的
(　　)
A.提取公因式
B.平方差公式
C.两数和的完全平方公式
D.两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底?　　　　(填“彻底”或“不彻底”).若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果:　　　　　.?
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解.
9.在学习中,小明发现:当a=-1,0,1时,a2-6a+11的值都是正数,于是小明猜想:当a为任意整数时,a2-6a+11的值都是正数.小明的猜想正确吗?请简要说明你的理由.你还有什么发现吗?
命题点
3　利用完全平方公式分解因式进行简便运算
10.简便计算:38.92-2×38.9×48.9+48.92=　　　　　.?
命题点
4　利用完全平方公式与其他方法综合分解因式
11.把多项式(x2-1)2+6(1-x2)+9分解因式,正确的是
(　　)
A.(x-2)4
B.(x2-2)2
C.(x2-4)2
D.(x+2)2(x-2)2
12.给出三个多项式:x3+2x2-x,x3+4x2+x,x3-2x2,请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算,再把结果分解因式.
13.阅读材料:
例:分解因式x2+6x-7.
解:原式=x2+2x·3+32-32-7
=(x2+2x·3+32)-32-7
=(x+3)2-42
=(x+3+4)(x+3-4)
=(x+7)(x-1).
上述例子用到了“在式子变形中,先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种给式子变形的方法叫配方法”.请根据这种方法解答下列问题:
分解因式:
(1)a2-6a-16;　(2)4a2-16ab+15b2.
14.何老师安排喜欢探究问题的佳佳解决某个问题,在解决问题前,佳佳先看了一道例题.
例:若m2+2mn+2n2-6n+9=0,求m和n的值.
解:∵m2+2mn+2n2-6n+9=0,
∴m2+2mn+n2+n2-6n+9=0.
∴(m+n)2+(n-3)2=0.
∴m+n=0且n-3=0.∴m=-3,n=3.
为什么要对2n2进行拆项呢?聪明的佳佳理解了例题中解决问题的方法,很快解决了下面的两个问题.相信你也能很好地解决下面的这两个问题,请写出你的解题过程.
解决问题:
(1)若x2-4xy+5y2+2y+1=0,求x+y的值;
(2)已知a,b,c是△ABC的三边长(a,b,c各不相等),满足a2+b2=10a+12b-61,c是△ABC中最短的边长,且c为整数,那么c可能是哪几个数?
典题讲评与答案详析
1.D　
2.B　[解析]
∵x2+2(k-3)x+9是完全平方式,∴2(k-3)=±2×3,解得k=6或k=0.
3.解:(1)④⑥
(2)∵4x2+xy+my2和x2-nxy+64y2都是完全平方式,
∴m=,n=±16,则m2021·n2020=×162020=×=.
(3)如果多项式4x4+1加上一个单项式后,能成为一个完全平方式,那么加上的单项式可以是±4x2,4x8.
4.C　[解析]
1-4t+4t2=(2t-1)2.
5.D　[解析]
①x2+xy-y2无法运用完全平方公式分解因式;
②-x2+2xy-y2=-(x2-2xy+y2)=-(x-y)2,能运用完全平方公式分解因式;
③x2+xy+y2无法运用完全平方公式分解因式;
④1-x+=,能运用完全平方公式分解因式.故选D.
6.A　[解析]
(x2+y2)2-8(x2+y2)+16=(x2+y2)2-2(x2+y2)×4+42=(x2+y2-4)2.
7.解:(x-1)(x-3)+1=x2-4x+3+1=x2-4x+4=(x-2)2.
8.解:(1)C
(2)不彻底　(x-2)4
(3)设x2-2x=y,则
(x2-2x)(x2-2x+2)+1=y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2=(x2-2x+1)2=(x-1)4.
9.解:正确.理由:
a2-6a+11=a2-6a+32+2=(a-3)2+2.
因为(a-3)2≥0,所以(a-3)2+2≥2.所以当a为任意整数时,a2-6a+11的值都是正数.
发现:当a为任意实数时,a2-6a+11的值都不小于2(答案不唯一,合理即可).
10.100　[解析]
38.92-2×38.9×48.9+48.92=(38.9-48.9)2=100.
11.D　[解析]
原式=(x2-1)2-6(x2-1)+32=(x2-4)2=(x+2)2(x-2)2.
12.解:答案不唯一,如x3+2x2-x+x3+4x2+x=x3+6x2=x2(x+6);
或x3+2x2-x+x3-2x2=x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1);
或x3+4x2+x+x3-2x2=x3+2x2+x=x(x2+2x+1)=x(x+1)2.
13.解:(1)a2-6a-16=a2-6a+9-9-16=(a-3)2-52=(a-3+5)(a-3-5)=(a+2)(a-8).
(2)4a2-16ab+15b2=4a2-16ab+16b2-16b2+15b2=(2a-4b)2-b2=(2a-3b)(2a-5b).
14.解:(1)∵x2-4xy+5y2+2y+1=0,∴x2-4xy+4y2+y2+2y+1=0.∴(x-2y)2+(y+1)2=0.
∴x-2y=0且y+1=0.∴x=-2,y=-1.
∴x+y=-2+(-1)=-3.
(2)∵a2+b2=10a+12b-61,
∴(a-5)2+(b-6)2=0.
∴a-5=0且b-6=0.
∴a=5,b=6.∴1∵c为最短的边长,c为整数,且a,b,c各不相等,
∴c可能是2,3,4.