湖南省衡阳市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案解析

衡阳市2020-2021学年高一下学期期末考试
数学试卷
注意事项：本试卷满分150分，时量为120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知集合false，false，则false（ ）
A. false B. false C. false D. false
2. 已知复数false满足false，则false的共轭复数false（ ）
A. false B. false C. false D. false
3. 设false，false是非零向量，则“存在实数false，使得false”是“false”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知空间四点false，false，false，false共面，则false的值为（ ）
A. 4 B. 1 C. 10 D. 11
5. 若false，则false（ ）
A. false B. false C. false D. false
6. 已知正数false，false满足false，且false恒成立，则false的最大值为（ ）
A. false B. false C. 2 D. 4
7. 新高考综合改革实施方案将采用“false”模式，“3”为语文、数学、英语所有学生必考；“1”为必须在物理、历史中选一科；“2”为再选科目，考生须在化学、生物、政治、地理4个科目中任选两科.若不考虑主观因素的影响，选择各科是等可能的，则某同学选择含有地理学科组合的概率为（ ）
A. false B. false C. false D. false
8. 如图，在正方体false中，点false在线段false上运动，则下列判断中正确的是（ ）

①平面false平面false；
②false平面false；
③异面直线false与false所成角的取值范围是false；
④三棱锥false的体积不变.
A. ①② B. ①②④ C. ③④ D. ①④
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知false，false，false，则（ ）
A. false B. false
C. false D. false
10. 已知函数false（其中false，false，false）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A. 函数false的图象关于直线false对称
B. 函数false的图象关于点false对称
C. 函数false在区间false上单调递增
D. 函数false与false，false的图象的所有交点的横坐标之和为false
11. 4支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛，每场比赛都能分出胜负），任两支球队之间胜率都是false.单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小排名次顺序，成绩相同则名次相同.下列结论中正确的是（ ）
A. 恰有四支球队并列第一名为不可能事件 B. 有可能出现恰有三支球队并列第一名
C. 恰有两支球队并列第一名的概率为false D. 只有一支球队名列第一名的概率为false
12. 《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边false，false，false，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即false.现有false满足false，且false的面积false，请运用上述公式判断下列结论正确的是（ ）
A. false的周长为false B. false三个内角false，false，false满足false
C. false外接圆的直径为false D. false的中线false的长为false
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知false，false，false，则false与false的夹角为__________.
14. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，false，5，10，其中false，已知该组数据的中位数是众数的false倍，则该组数据的标准差为___________.
15. “无字证明”就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现请利用甲、乙、丙的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：__________.

16. 阿基米德是古希腊的一位著名的数学家，有一种空间几何体便以他的名字命名为“阿基米德立体”.“阿基米德立体”是一种高度对称的“半正多面体”（如图），并且都是可以从正多面体经过截角、截半、截边等操作构造而成，它的所有顶点都是正多面体各棱的中点，且它的三个视图全都一样.现将一个棱长为false的正方体木块加工成一个“阿基米德立体”工艺品，则所得的“阿基米德立体”工艺品共有____________个面，其表面积为___________false.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在①false，false，且false，②false，③false这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答.
已知false中，三个内角false，false，false所对的边分别是false，false，false，__________.
（1）求false的值；
（2）若false，false的面积是false，点false是false的中点，求false的长度.
18. 已知函数false，函数false的图像与函数false的图像关于false轴对称.
（1）求函数false的解析式；
（2）若存在false，使等式false成立，求实数false的取值范围.
19. 如图，在四棱锥false中，底面false为平行四边形，false为等边三角形，平面false平面false，false，false，false.

（1）设false，false分别为false，false的中点，求证：false平面false；
（2）求证：false平面false；
（3）求直线false与平面false所成角的正弦值.
20. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为false.
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
21. 为提倡节能减排，同时减轻居民负担，广州市积极推进“一户一表”工程.非一户一表用户电费采用“合表电价”收费标准：0.65元/度.“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取，其11月到次年4月起执行非夏季标准如下：

第一档
第二档
第三档
每户每月用电量（单位：度）
false
false
false
电价（单位：元/度）
0.61
0.66
0.91
例如：某用户11月用电410度，采用合表电价收费标准应交电费false元，若采用阶梯电价收费标准，应交电费false元.
为调查阶梯电价是否能取到“减轻居民负担”的效果，随机调查了该市100户的11月用电量，工作人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中，最后10户的月用电量（单位：度）为：88，268，370，140，440，420，520，320，230，380.
组别
月用电量
频数统计
频数
频率
①
false



②
false



③
false



④
false



⑤
false



⑥
false



合计




（1）完成频率分布表，并绘制频率分布直方图：

（2）根据已有信息，试估计全市住户11月的平均用电量（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（3）设某用户11月用电量为false度，按照合表电价收费标准应交false元，按照阶梯电价收费标准应交false元，请用false表示false和false，并求当false时，false的最大值，同时根据频率分布直方图估计“阶梯电价”能否给不低于false的用户带来实惠？
22. 若函数false在false时，函数值false的取值区间恰为false，就称区间false为false的一个“倒域区间”.定义在false上的奇函数false，当false时，false.
（1）求false的解析式；
（2）求函数false在false内的“倒域区间”；
（3）若函数false在定义域内所有“倒域区间”上的图像作为函数false的图像，是否存在实数false，使集合false恰含有2个元素？若存在，求出false的值；若不存在，请说明理由.


衡阳市2020-2021学年高一下学期期末考试数学参考答案
1.答案：B
解析：false，
false.
故选B.
2.答案：A
解析：false
false
则false，答案：A
【点睛】本题考查复数的运算，关键在于分母的实数化和共轭复数的使用，属于简单题.
3.答案：B
解析：存在实数false，使得false，
说明向量false共线，当false同向时，false成立，
当false反向时，false不成立，所以，充分性不成立.
当false成立时，有false同向，存在实数false，使得false成立，必要性成立，
即“存在实数false，使得false”是“false”的必要而不充分条件.
故选B.
4.答案：D
解析：依题意，得false.false四点共面，false共面，false存在实数false，使得false，即false，false解得false
5.答案：C
解析：本题考查三角函数的化简与计算.因为false，所以falsefalsefalse.
6.答案：B
解析：因为正数x，y满足false，
所以false.
因为false
false，
当且仅当false时等号成立，
所以false，即false的最小值为false.
若false恒成立，则m的最大值为false.故选B.
7.答案：B
解析：按照“false”模式选科具体组合如下：
（物理，化学，生物）、（物理，化学，地理）、（物理，化学，政治）、（物理，生物，政治）、（物理，生物，地理）、（物理，政治，地理）、（历史，化学，生物）、（历史，化学，地理）、（历史，化学，政治）、（历史，生物，政治）、（历史，生物，地理）、（历史，政治，地理），共12种组合，其中含地理学科的组合有6种，所以某同学选择含地理学科组合的概率false，故选B.
8.答案：B
解析：对于①，如图，连接false，根据正方体的性质，有false平面false平面false，从而可以证明 平面false平面false，正确.
②如图，连接false容易证 明平面false平面false，从而由线面平行的定义可得false平面false，正确.
③当false与线段false的两端点重合时，false与false所成角取最小值false，当false与线段false的中点重合时，false与false所成角取最大值false，故false与false所成角的范围是false，错误.
④false，false到平面false的距离不变，且三角形false的面积不变，∴三棱锥false的体积不变，正确.
正确的命题为①②④.故选B.

9.答案：CD
解析：因为false，又false所以false
所以C正确，B错误.因为false，所以D正确，A错误.
10.答案：CD
解析：由题图可得，false，false，故false，则false，
所以false.
又因为false，
所以false，
所以false.
又false，所以false，所以false.
当false时，false，此时false，所以false的图象不关于点false，故B中结论不正确.
令false，可得false，即函数的一个单调递增区间为false，故C中结论正确.
令false，则false，false或false，false，即false，false或false，false.
所以满足false的交点的横坐标有0，false，false，false和为false，故D中结论正确.
故选CD.
11.答案：ABD
解析：4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有false场比赛，比赛的所有结果共有false种；
选项A，这6场比赛中若4支球队优先各赢一场，则还有2场必然有2支或1支队伍获胜，那么所得分值不可能都一样，故是不可能事件，正确；
选项B，其中false6场比赛中，依次获胜的可以是false，此时3队都获得2分，并列第一名，正确；
选项C，在false6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有false种可能，若选中false，其中第一类false赢false，有false和false两种情况，同理第二类false赢false，也有两种，故恰有两支球队并列第一名的概率为false，错误；
选项D，从4支球队中选一支为第一名有4种可能；这一支球队比赛的3场应都赢，则另外3场的可能有false种，故只有一支球队名列第一名的概率为false，正确.

故选：ABD.
12.答案：ABC
解析：由正弦定理可得false.设false，解得false的周长为false，故A正确；由余弦定理得false，故B正确；由正弦定理知，false外接圆的直径false，故C正确；由中线定理得false，即false，false，故D错误.故选ABC.
13.答案：false
解析：
14.答案：3
解析：由题意，可得该组数据的众数为2，所以false，解得false，故该组数据的平均数为false.所以该组数据的方差为false，即标准差为3.
15.答案：false
解析：由三角形的面积公式，得甲的面积为false，乙的面积为false，丙的面积为false，故false，即false.
16.答案：14；false
解析：
17.答案：选①：由false，得false，
得false，得false，
又false，false，所以false，
又false，所以false.
②因为false，
根据正弦定理得false，
所以false，
所以false，
所以false.
因为false，所以false，
又false，所以false.
③因为false，
所以false，
所以false.
因为false，false，所以false，所以false，
又false，所以false.
（2）在false中，由false，false，得false.
由false的面积为false，得false，所以false.
因为M是false的中点，所以false，
从而false，
所以false.
18.答案：（1）易得falsefalse.
因为函数false的图像与函数false的图像关于y轴对称，
所以false，所以false.
（2）令false.
由false，可得false，则false，
所以关于t的方程false在false上有解，
故关于t的方程false在false上有解，
又函数false的值域为false，
所以false，故实数m的取值范围为false.
解析：
19.答案：（1）如图，连接BD，易知false，false.
又false，故false.
又false平面PAD，false平面PAD，所以false平面PAD.

（2）如图，取棱PC的中点N，连接DN.
依题意，得false.
又平面false平面PCD，平面false平面false，
所以false平面PAC.
又false平面PAC，故false.
又false，false，所以false平面PCD.
（3）如图，连接AN.
由（2）中false平面PAC，可知false为直线AD与平面PAC所成的角.
因为false为等边三角形，false且N为PC的中点，
所以false.
又false，在false中，false，
所以直线AD与平面PAC所成角的正弦值为false.
解析：
20.答案：（1）甲连胜四场的概率为false.
（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.
比赛四场结束，共有三种情况：
乙连胜四场的概率为false；
丙上场后连胜三场的概率为false.
所以需要进行第五场比赛的概率为false.
（3）丙最终获胜，有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为false；
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为false.
因此丙最终获胜的概率为false.
解析：
21.答案：（1）频率分布表如下：
组别
月用电量
频数
频率
①
false
4
0.04
②
false
12
0.12
③
false
24
0.24
④
false
30
0.3
⑤
false
26
0.26
⑥
false
4
0.04
合计

100
1
频率分布直方图如下：

（2）该100户用户11月的平均用电量：
false度，
所以估计全市住户11月的平均用电量为324度.
（3）false，
false
由false，得false或false
或false
解得false，
因为false，所以x的最大值为423.
根据频率分布直方图，false时的频率为：
false，
故估计“阶梯电价”能给不低于false的用户带来实惠.
22. 解析：
（1）当false时，false.
false.
（2）设false，∵false在false上递减，
∴false整理得
false，解得false.
∴false在false内的“倒域区间”为false.
（3）∵false在false时，函数值false的取值区间恰为false，其中false，false，
∴false，∴false、false同号.只考虑false或false，
当false时，根据false的图像知，false最大值为1，false，false，
∴false，由（Ⅱ）知false在false内的“倒域区间”为false；
当false，false最小值为-1，false，false，
∴false，同理知false在false内的“倒域区间”为false.
false.
?依题意：抛物线与函数false的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限.
因此，false应当使方程false，在false内恰有一个实数根
并且使方程false，在false内恰有一个实数.
由方程false在false内恰有一根知false；
由方程false在false内恰有一根知false，
综上：false.