上海市华二附高2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含答案

华二附中高二期中数学试卷
一?填空题
1. 若实数满足，且，则的最小值为______.
2. 已知直线?和平面，若，，则与的关系是___________.
3. 分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是___________．
4. 一个高为2的圆柱，底面周长为2，该圆柱的表面积为 .
5. 正方体中，?分别是棱?的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________.
6. 正方体中，与平面所成角的正弦值为___________.
7. 已知四棱椎底面是边长为6 的正方形，侧棱底面，且，则该四棱椎的体积是 ▲ .
8. 如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________
9. 在北纬45°的纬度圈上有?两点，它们分别在东经70°与东经160°的经度圈上，设地球半径为，则?两点的球面距离为___________.
10. 有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根直铁条端点处相连能够焊接处一个三棱锥形的铁架，则的取值范围是________.
二?选择题
11. 设，，…，是空间中给定2021个不同的点，则使成立的点的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2020 D. 2021
12. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为
A. B. C. D.
13. 如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球的体积，那么这个圆锥的轴截面的顶角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
14. 如图，正方体中，?分别是?上的点，若，那么（ ）
A. 大于90度 B. 小于90度 C. 等于90度 D. 不能确定
三?解答题
15. 将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧.

(1)求三棱锥体积；
(2)求异面直线与所成的角的大小.
16. 已知函数定义域为，且的图像连续不间断，若函数满足：对于给定的实数且，存在，使得，则称具有性质.
（1）已知函数，判断是否具有性质，并说明理由；
（2）求证：任取，函数，具有性质.
17. 如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，，，（）
（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成角正弦值为，求的值；
（3）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）
18. 正三棱锥中，，侧棱长为2，点是棱的中点，定义集合如下：点是棱上异于的一点，使得()，我们约定：若除以3的余数，则(例如：?等等)
（1）若，求三棱锥的体积；
（2）若是一个只有两个元素的有限集，求的范围；
（3）若是一个无限集，求各线段，，，…的长度之和(用表示).(提示：无穷等比数列各项和公式为())
华二附中高二期中数学试卷 答案版
一?填空题
1. 若实数满足，且，则的最小值为______.
【答案】
2. 已知直线?和平面，若，，则与的关系是___________.
【答案】或．
3. 分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是___________．
【答案】相交或异面
4. 一个高为2的圆柱，底面周长为2，该圆柱的表面积为 .
【答案】6
5. 正方体中，?分别是棱?的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________.
【答案】
6. 正方体中，与平面所成角的正弦值为___________.
【答案】
7. 已知四棱椎底面是边长为6 的正方形，侧棱底面，且，则该四棱椎的体积是 ▲ .
【答案】96
8. 如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________
【答案】
9. 在北纬45°的纬度圈上有?两点，它们分别在东经70°与东经160°的经度圈上，设地球半径为，则?两点的球面距离为___________.
【答案】
10. 有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根直铁条端点处相连能够焊接处一个三棱锥形的铁架，则的取值范围是________.
【答案】
二?选择题
11. 设，，…，是空间中给定2021个不同的点，则使成立的点的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2020 D. 2021
【答案】B
12. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为
A. B. C. D.
【答案】B
13. 如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球的体积，那么这个圆锥的轴截面的顶角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
14. 如图，正方体中，?分别是?上的点，若，那么（ ）
A. 大于90度 B. 小于90度 C. 等于90度 D. 不能确定
【答案】C
三?解答题
15. 将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧.

(1)求三棱锥体积；
(2)求异面直线与所成的角的大小.
【答案】(1) (2).
16. 已知函数定义域为，且的图像连续不间断，若函数满足：对于给定的实数且，存在，使得，则称具有性质.
（1）已知函数，判断是否具有性质，并说明理由；
（2）求证：任取，函数，具有性质.
【答案】（1）具有性质；（2）证明见解析；
17. 如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，，，（）
（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成角正弦值为，求的值；
（3）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
18. 正三棱锥中，，侧棱长为2，点是棱的中点，定义集合如下：点是棱上异于的一点，使得()，我们约定：若除以3的余数，则(例如：?等等)
（1）若，求三棱锥的体积；
（2）若是一个只有两个元素的有限集，求的范围；
（3）若是一个无限集，求各线段，，，…的长度之和(用表示).(提示：无穷等比数列各项和公式为())
【答案】（1）；（2）；（3）.