重庆市江津区高中2021届高三下学期6月月考数学试题 Word版含答案解析

江津区高中2021届高三下学期6月月考
数学试卷
一、选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1．设false，则false　
A．1 B．false C．0 D．false
2．已知集合false，2，3，4，false，那么集合false，false、false中所含元素的个数为
A．21 B．17 C．13 D．12
3．数列false满足: false都有false且false则false
A．false B．false C．false D．false
4．函数false的图象大致为
5．已知false，函数false，若false满足关于false的方程false，则下列选项的命题中为假命题的是
A．false，false B．false，false
C．false，false D．false，false
6．false的内角false，false，false的对边分别为false，false，false，已知false，false，false，则false　　
4523740433070A．false B．false C．false D．false
7．《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多false达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗浮宫博物馆．该油画规格为：纵false，横false．油画挂在墙壁上的最低点处false离地面false（如图所示）．有一身高为false的游客从正面观赏它（该游客头顶false到眼睛false的距离为false，设该游客离墙距离为false，视角为false．为使观赏视角false最大，false应为
A．77 B．80 C．100 D．false
8．已知抛物线false与圆false在交点false处的切线互相垂直，则false
A．false B．false C．false D．false
二、选择题：本大题4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项式符合题目
要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.
9．已知false，false，则正确的有
A．false B．与false共线的单位向量是false，false
C．false与false的夹角为false D．false与false平行
10．已知数列false满足false，false，false，false，则
A．false，false，false，false为等差数列
B．false，false，false，false为常数列
C．false
D．若数列false满足false，则数列false的前100项和为100
418147539560511．如图，已知false是圆false的直径，false，false在圆上且分别在false的两侧，其中false，false.现将其沿false折起使得二面角false为直二面角，则下列说法正确的是
A.false，false，false，false在同一个球面上
B.当false时，三棱锥false的体积为false
C.false与false是异面直线且不垂直
D.存在一个位置，使得平面false平面false
关于函数false的四个结论正确的是
A.false的图像关于点false对称 B.false的最大值为false
C.false的区间false上单调递增 D.false是周期函数且最小正周期false
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案写在答题卡相应位置上.
13．从编号为false的false件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是false的样本，若编号为false的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为__________．
14．函数false在其极值点处的切线方程为__________．
15．用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字且为5的倍数的四位数，把所组成的全部四位数从小到大排列起来，则3125是第__________个数．
16．我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当我们的厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为false，厚度为false的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为false，厚度变为false.在理想情况下，对折次数false有下列关系：false（注：false），根据以上信息，一张长为false，厚度为false的纸最多能对折__________次.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答过程填写在答题卡的相应位置.
17．（10分）已知函数false.
（1）求函数false在false上的单增区间；
（2）若false，求false的值．
18．（12分）数列false的前false项和记为false，已知false，false，2，3，false．
证明：数列false是等比数列；
求false．
4469130447865519．（12分）直三棱柱被平面截去一部分后得到如图所示几何体，，false，false是false中点．
（1）求证：平面false⊥平面false；
（2）若三棱锥false体积为false，求二面角false的正弦值．
20．（12分）4345305629285已知双曲线false的方程为false，离心率false，顶点到渐近线的距离为false．
（1）求双曲线false的方程；
（2）如图，false是双曲线false上一点，false，false两点在双曲线false的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若false，false，求false面积的取值范围．
21．（12分）某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为三级过滤，使用寿命为十年．如图①所示，两个一级过滤器采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装．
其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现，在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立），三级滤芯无需更换．若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个80元，二级滤芯每个160元，若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个200元，二级滤芯每个400元．现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中图②是根据200个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图，表1是根据100个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表．
以200个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以100个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率．
（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30的概率；
（2）记false表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数，求false的分布列及数学期望；
（3）记false，false分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数．若false，且false，false，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定false，false的值．
22．（12分）已知函数false,且false．
求false；
在函数false的图象上取定两点false，falsefalse，记直线false的斜率为false，问：是否存在false，使false成立？若存在，求出false的值（用false表示）；若不存在，请说明理由．
江津区高中2021届高三下学期6月月考
数学参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
C
D
C
B
D
A
AC
ABD
ABC
AD
1.解：false，则false．故选：false．
2.解：由false，2，3，4，false，false，false，false，false的所有可能值有false，false，false，false，false，false，1，2，3，4，6，false，false共有13个；故选：false．
3.令false，则false，所以false为等比数列，首项为false，公比为false，所以false，故选false．
4.false，且false，函数为偶函数，故选D．
5.解：false满足关于false的方程false，falsefalsefalse，false函数false在false处取到最小值是false等价于false，false，所以命题false错误．故选：false．
6.解： false，false，
false，false，false，false，由正弦定理可得false，false，false，false，false，false，false，故选：false．
7.解：如图所示，设false，则false．
false，解得false，
当且仅当false，即false时取等号．故选：false．
8.解：设圆与抛物线的一个交点为false，false,在P点抛物线的切线与圆的切线垂直，必须且只须圆的半径与抛物线在P点相切，false,false,falsefalsefalse．由于抛物线在false轴的上方，所以false，false .
二、多选题
9.解：false，false正确，false，false与false共线的单位向量为false，false或false，false，false错误，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false正确，
false，falsefalse与false不平行，false错误，故选：false．
10.解：数列false满足false，false，false，false，则数列false，false，false，false是以1为首项，2为公差的等差数列，数列false，false，false，false是以3为首项，2为公差的等差数列．
对于false，false，false，false为等差数列，故false正确；对于false，false，false，false为常数列，故false正确；对于false：数列false，false，false，false是以1为首项，2为公差的等差数列，故false，故false错误，对于false，故false正确．故选：false．
11.因为false，所以A正确；当false，A，C各在所在圆弧的中点，此时三棱锥的底面BCD的面积和高均处于最大位置，此时体积为false，所以B正确；AB与CD显然异面，用反证法证明他们不垂直．若false，过A作BD的垂线，垂足为E，因为为直二面角，所以AE⊥平面BCD，所以false，所以false，所以false，这与false矛盾，所以AB与CD不垂直，所以正确，故选ABC．
12.A:false，所以A正确；B:因为false，所以该函数为奇函数，不妨设false，则false，令false，则false，令为false，则有false，则false，又false，所以最大值不为false，所以B错误；C:当false时，false，由B知，false在该区间内有增有减，故不单调，所以B错误；D:false，故该函数为周期函数，若false，则false，故该函数最小正周期为false，所以D正确．
三、填空题
13．解：组距为false，由false得false是第false组第false件产品，所以最大编号false．
14．解：依题解：依题意得false，令false，可得false，false．
因此函数false在其极值点处的切线方程为false．故答案为：false．
15.千位数字为1时有false个；千位数字为2时有false个；千位数字为3时且比3125小的有5个（3015，3025，3045，3105，3120），比3125小的共有53个，所以3125是第54个数.
16.false，
因为falsefalse，所以false的最大值为8．
四、解答题
17．falsefalse
false..............................................................3分
（1）令false得false，
所以函数false在false上的单增区间为false和false. ............................6分
由false得false，而false，
false， ..................................8分
false，
false，
false. .................................................................12分
18.（1）证：由false，false，2，3，false，知false，false，false，falsefalse又false，2，3，false，则false，2，3，false，
false，false，2，3，false，故数列false是首项为1，公比为2的等比数列．
（2）解：当false时，false．由（1）知：false，false
当false时，false，false．等式成立．
19.（1）证明：false
直三棱柱中false,已知false则false .............2分
所以false,false,则false ..................................4分
所以false .....................................................................................................5分
（2）取false中点false,连接false,则false，
法一：则false，过false作false,
false,所以false,即线段false长是false到false距离，
设false，在底面false中false,
得false，false，得false ........7分
法二：设false，false，得false.7分
以false为原点，false分别为false轴建立直角坐标系。
falsefalse;
设面false的法向量为false
false,false ......9分
设面false的法向量为false
false,false ..........10分
false，设二面角false大小为false，
所以false .................................................12分
20.解：（1）由题意知，双曲线false的顶点false到渐近线false的距离为false，
falsefalse，得falsefalse双曲线false的方程为false．
（2）由（Ⅰ）知双曲线false的两条渐近线方程为false．设false，false，false，false．
由false得false点的坐标为false，将false点坐标代入false，化简得false．设false，falsefalse，falsefalse，false，false．
又falsefalsefalse．
记false，false，由false得false，又false（1）false，false，false，
当false时，false的面积取得最小值2，当false时，false的面积取得最大值false．
false面积的取值范围是false．
21.解：（1）由题意知，若一套净水系统在使用周期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30，
则该套净水系统中的两个一级过滤器均需要更换12个滤芯，二级过滤器需要更换6个滤芯，
设“一套净水系统在使用周期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30”为事件false，
false一个一级过滤器需要更换12个滤芯的概率为0.4，二级过滤器需要更换6个滤芯的概率为0.4，
false（A）false．
（2）由柱状图知：一个一级过滤器需要更换滤芯的个数为10，11，12的概率分别为0.2，0.4，0.4，由题意false的可能取值为20，21，22，23，24，
false，false，
false，false，
false，
false的分布列为：
false
20
21
22
23
24
false
0.04
0.16
0.32
0.32
0.16
false．
（3）false，false，false，若false，false，则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为：false，若false，false，
则该用户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为：
false，故false，false的值分别为23，5．
22解:（1）【法一：含参讨论】若false，则任意falsefalse，与题设矛盾；1分
若false， false令false当false时，false单调递减；当false时，false单调递增， ……………（2分）
故当false时，false取最小值false ……………（3分）
于是对一切false恒成立，当且仅当false.①
令false则false当false时，false单调递增；
当false时，false单调递减. ……………（4分）
故当false时，false取最大值false.
因此，当且仅当false即false时，①式成立. 综上所述，false.……………（5分）
【法二：含参讨论，关注false】若false，则对一切false，falsefalse，这与题设矛盾； …（1分）
若false， false令false当false时，false单调递减；当false时，false单调递增，……………（3分）
故当false时，false取最小值，又false，则false …………（5分）
【法三：先得必要，再证充分性】
由false，且false，得false是false的极小值点，故false.
而false，于是false，解得false. ……………（3分）
下面证明当false时，false.…………易证！ ……………（5分）
【法四：分离参数】false
falsefalse …（2分）
false，记false
false
falsefalse
则false在false和false单减，false，
则false，则false. …………（5分）
（2）【法一】由题意知，false
令falsefalse在区间false上单调递增； …………（6分）
且false…（8分）
falsefalse ………………（9分）
由（1）得false恒成立， ……………………（10分）
从而false，false又falsefalse
所以falsefalse ………………………（11分）
由零点存在性定理得，存在唯一false，使false且false.
综上所述，存在false使false成立，且false . …… （12分）
【法二：分析法】false
false
false
【法三：确定主元证明不等式】false令falsefalse在区间false上单调递增； ……（6分）
false，
令false，false，
false. ………………………（9分）
同理证得false， ………………………（11分）
下同法一
【法四：指数均值不等式】
证明指数均值false（确定主元或换元false） ………（8分）
得false………（11分）
下同法一