2.2 30°、45°、60°角的三角函数值 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 2.2 30°、45°、60°角的三角函数值 同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-17 11:27:13 | ||
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文档简介
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第二章
直角三角形的边角关系
2
30°、45°、60°角的三角函数值
知识能力全练
知识点一
30°，45°，60°角的三角函数值
1.计算＋tan30°·sin60°＝（
）
A.
B.2
C.
D.
2.下列计算错误的有（
）
①sin60°-sin30°＝sin30°；②sin245＋cos245°＝1；③（tan60°）2＝；
④tan30°＝.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则cos
B＝__________.
4.｜-6｜×2-1-cos45°＝__________.
5.如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是__________.
6.已知，那么∠A＋∠B＝___________.
7.计算:
（1）2sin30°＋3cos60°-4tan45°；
（2）.
8.已知a是锐角，且cos(a＋15°)＝，计算：.
9.如图所示，△ABC中，D为BC边上的一点，若∠B＝36°，AB＝AC＝BD＝2.
（1）求CD的长；
（2）利用此图求sin18的值.
知识点二
30°，45°，60°角的三角函数值的应用
10.如图所示，Rt△ABC是一款儿童滑梯的剖面图，∠C＝90°，若滑梯的坡角∠B＝30°，滑梯长AB＝3米，则滑梯的水平宽度BC为_________米.
11.如图所示，一轮船在M处观测灯塔P位于南偏西30°方向，该轮船沿正南方向以15海里/小时的速度匀速航行2小时后到达N处，再观测灯塔P位于南偏西60°方向，若该轮船继续向南航行至灯塔P最近的位置T处，此时轮船与灯塔之间的距离PT为___________海里（结果保留根号）.
12.如图所示，起重机臂AC长60
m，露在水面上的钢缆BC长30m，起重机司机想看看被打捞的沉船情况，在竖直平面内把起重机臂AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的钢缆B′C′的长度是___________.
13.如图所示，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度.
巩固提高全练
14.若锐角α满足cosa＜，且tana＜1，则a的取值范围是（
）
A.30°＜a＜45°
B.45°＜a＜60°
C.60°＜a＜90°
D.30°＜a＜60°
15.已知a为锐角，下列结论:①sina＋cosa＝1；②如果a＞45°，那么sina＞cosa；③如果cosa＞，，那么a＜60°；④＝1-sina，其中正确的有（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
16.锐角A满足3tanA＝，则∠A＝__________度.
17.计算:6tan230°-cos30°·tan60°-2sin45°＋cos60°.
18.计算:
（1）2cos45°-tan30°cos30°＋sin260°；
（2）cos45°＋|1-|--tan60°＋（π-2020）0.
19.2sin45°的值等于（
）
A.1
B.
C.
D.2
20.如图所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，sinB＝0.5，若AC＝6，则BC的长为（
）
A.8
B.12
C.6
D.12
21.满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的为（
）
A.AB＝，BC＝4，AC＝5
B.AB:
BC:
AC＝3:
4:5
C.∠A:∠B:∠C＝3:4:5
D.
22.在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝6，CD＝1，则BC的长为________.
23.计算:.
24.如图所示，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40
n
mile的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行.
（1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20
n
mile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少（结果保留根号）？
参考答案
1.C
2.C
3.
4.2
5.
6.90°
7.解析（1）2sin30°＋3cos60°-4tan45°＝.
（2）.
8.解析
由cos（a＋15°）＝，且α是锐角，得a＋15°＝45°，∴a＝30°.
∴
＝.
9.解析（1）∵AB＝AC，∠B＝36°，∴∠C＝∠B＝36°.
∴∠BAC＝180°-∠B-∠C＝108°.
∵AB＝BD，∠B＝36°，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°-∠B）＝72°.
∴∠CAD＝∠BAC-∠BAD＝108°-72°＝36°，即∠CAD＝∠B.
又∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴.
∵AB＝AC＝BD＝2，∴，解得CD＝-1（负值舍去）.
（2）如图，延长CB到点E，使BE＝AB＝2，连接AE，则∠E＝∠BAE.
∵∠ABC＝36°＝∠E＋∠BAE，∴∠E＝∠BAE＝18°.
∵∠BAD＝72°，∴∠EAD＝72°＋18°＝90°.
∵∠C＝∠CAD＝36°，∴AD＝CD＝-1.
在Rt△EAD中，sinE＝，即sin18°＝.
10.
11.15
12.30m
13.解析
如图，过点A作AD⊥BC于D.
由题意知BC＝1.5×40＝60（米），∠ABD＝30°，∠ACD＝60°，
∴∠BAC＝∠ACD-∠ABC＝30°，∴∠ABC＝∠BAC，AC＝BC＝60米.
在Rt△ACD中，AD＝AC·sin60°＝60×＝30（米）.
答:此段河面的宽度为30米.
14.A
15.C
16.
30
17.解析
6tan230°-cos30°·tan60°-2sin45°＋cos60°
＝.
18.解析（1）2cos45°-tan30°cos30°＋sin260°
＝.
（2）
＝.
19.B
20.C
21.C
22.7或5
23.解析
＝.
24.解析
（1）如图，过B作BM⊥AC于M.
由题意可得∠BAM＝30°＋15°＝45°，∴∠ABM＝45°.
在Rt△ABM中，∠BAM＝45°，AB＝40
n
mile.，
∴AM＝AB·cos∠BAM＝40×cos45°＝20（
n
mile）.
∴渔船航行20
n
mile距离小岛B最近.
（2）∵BM＝20
n
mile，
MC＝20
n
mile，
∴tan∠MBC＝.∴∠MBC＝60°.
∴∠CBG＝180°-60-45-30°＝45°.
在Rt△BCM中，∵∠CBM＝60°，CM＝20
n
mile，，
∴BC＝（
n
mile）.∴救援队从B处出发沿东南方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是40
n
mile.
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第二章
直角三角形的边角关系
2
30°、45°、60°角的三角函数值
知识能力全练
知识点一
30°，45°，60°角的三角函数值
1.计算＋tan30°·sin60°＝（
）
A.
B.2
C.
D.
2.下列计算错误的有（
）
①sin60°-sin30°＝sin30°；②sin245＋cos245°＝1；③（tan60°）2＝；
④tan30°＝.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则cos
B＝__________.
4.｜-6｜×2-1-cos45°＝__________.
5.如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是__________.
6.已知，那么∠A＋∠B＝___________.
7.计算:
（1）2sin30°＋3cos60°-4tan45°；
（2）.
8.已知a是锐角，且cos(a＋15°)＝，计算：.
9.如图所示，△ABC中，D为BC边上的一点，若∠B＝36°，AB＝AC＝BD＝2.
（1）求CD的长；
（2）利用此图求sin18的值.
知识点二
30°，45°，60°角的三角函数值的应用
10.如图所示，Rt△ABC是一款儿童滑梯的剖面图，∠C＝90°，若滑梯的坡角∠B＝30°，滑梯长AB＝3米，则滑梯的水平宽度BC为_________米.
11.如图所示，一轮船在M处观测灯塔P位于南偏西30°方向，该轮船沿正南方向以15海里/小时的速度匀速航行2小时后到达N处，再观测灯塔P位于南偏西60°方向，若该轮船继续向南航行至灯塔P最近的位置T处，此时轮船与灯塔之间的距离PT为___________海里（结果保留根号）.
12.如图所示，起重机臂AC长60
m，露在水面上的钢缆BC长30m，起重机司机想看看被打捞的沉船情况，在竖直平面内把起重机臂AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的钢缆B′C′的长度是___________.
13.如图所示，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度.
巩固提高全练
14.若锐角α满足cosa＜，且tana＜1，则a的取值范围是（
）
A.30°＜a＜45°
B.45°＜a＜60°
C.60°＜a＜90°
D.30°＜a＜60°
15.已知a为锐角，下列结论:①sina＋cosa＝1；②如果a＞45°，那么sina＞cosa；③如果cosa＞，，那么a＜60°；④＝1-sina，其中正确的有（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
16.锐角A满足3tanA＝，则∠A＝__________度.
17.计算:6tan230°-cos30°·tan60°-2sin45°＋cos60°.
18.计算:
（1）2cos45°-tan30°cos30°＋sin260°；
（2）cos45°＋|1-|--tan60°＋（π-2020）0.
19.2sin45°的值等于（
）
A.1
B.
C.
D.2
20.如图所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，sinB＝0.5，若AC＝6，则BC的长为（
）
A.8
B.12
C.6
D.12
21.满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的为（
）
A.AB＝，BC＝4，AC＝5
B.AB:
BC:
AC＝3:
4:5
C.∠A:∠B:∠C＝3:4:5
D.
22.在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝6，CD＝1，则BC的长为________.
23.计算:.
24.如图所示，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40
n
mile的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行.
（1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20
n
mile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少（结果保留根号）？
参考答案
1.C
2.C
3.
4.2
5.
6.90°
7.解析（1）2sin30°＋3cos60°-4tan45°＝.
（2）.
8.解析
由cos（a＋15°）＝，且α是锐角，得a＋15°＝45°，∴a＝30°.
∴
＝.
9.解析（1）∵AB＝AC，∠B＝36°，∴∠C＝∠B＝36°.
∴∠BAC＝180°-∠B-∠C＝108°.
∵AB＝BD，∠B＝36°，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°-∠B）＝72°.
∴∠CAD＝∠BAC-∠BAD＝108°-72°＝36°，即∠CAD＝∠B.
又∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴.
∵AB＝AC＝BD＝2，∴，解得CD＝-1（负值舍去）.
（2）如图，延长CB到点E，使BE＝AB＝2，连接AE，则∠E＝∠BAE.
∵∠ABC＝36°＝∠E＋∠BAE，∴∠E＝∠BAE＝18°.
∵∠BAD＝72°，∴∠EAD＝72°＋18°＝90°.
∵∠C＝∠CAD＝36°，∴AD＝CD＝-1.
在Rt△EAD中，sinE＝，即sin18°＝.
10.
11.15
12.30m
13.解析
如图，过点A作AD⊥BC于D.
由题意知BC＝1.5×40＝60（米），∠ABD＝30°，∠ACD＝60°，
∴∠BAC＝∠ACD-∠ABC＝30°，∴∠ABC＝∠BAC，AC＝BC＝60米.
在Rt△ACD中，AD＝AC·sin60°＝60×＝30（米）.
答:此段河面的宽度为30米.
14.A
15.C
16.
30
17.解析
6tan230°-cos30°·tan60°-2sin45°＋cos60°
＝.
18.解析（1）2cos45°-tan30°cos30°＋sin260°
＝.
（2）
＝.
19.B
20.C
21.C
22.7或5
23.解析
＝.
24.解析
（1）如图，过B作BM⊥AC于M.
由题意可得∠BAM＝30°＋15°＝45°，∴∠ABM＝45°.
在Rt△ABM中，∠BAM＝45°，AB＝40
n
mile.，
∴AM＝AB·cos∠BAM＝40×cos45°＝20（
n
mile）.
∴渔船航行20
n
mile距离小岛B最近.
（2）∵BM＝20
n
mile，
MC＝20
n
mile，
∴tan∠MBC＝.∴∠MBC＝60°.
∴∠CBG＝180°-60-45-30°＝45°.
在Rt△BCM中，∵∠CBM＝60°，CM＝20
n
mile，，
∴BC＝（
n
mile）.∴救援队从B处出发沿东南方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是40
n
mile.
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