江苏省南师大附高2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案解析

南师附中2020~2021学年度第二学期期中考试试卷
高一数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知false，false，false，false是平面内的四个点，满足false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．已知正方形false的边长为3，若false，false（ ）
A．3 B．false C．6 D．false
3．已知平面向量false，false，若false，则实数false（ ）
A．false B．false C．8 D．false
4．已知false，且false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．若false，false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．已知false为正整数，false，false，且false，则当函数false取最大值时，false（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．在false中false，则此三角形的形状为（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
8．如图，在平行四边形false中，false，false为false的中点，false为线段false上一点，且满足false，则实数false（ ）
A．false B．false C．false D．false
758825647065733425270510false
false
false
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false
false
false
二、多项选择题:本大题共4小题，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选错得0分，部分选对得2分．
9．已知复数z1=2+i，z2在复平面内对应的点在直线false上，且满足false是纯虚数，则（ ）
A．false B．false
C．false的虚部为false D．false的虚部为2
10．下列四个等式中正确的是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
11．在false中，角false，false，false所对的边分别为false，false，false，以下说法中正确的是（ ）
A．若false，false，false，则符合条件的三角形不存在
B．若false，则false为直角三角形
C．若false，则false
D．若false，则false
12．已知false，（false）那么下列结论正确的是（ ）
A．若false的最小正周期是false，则false
B．若false在false内无零点，则false
C．若false在false内单调，则false
D．当false时，直线false是函数false图像的一条对称轴
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在复平面内，false对应的复数是false，false对应的复数是false，则false对应的复数是______．
14．false______．
15．如图所示，位于false处的信息中心获悉：在其正东方向相距false海里的false处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西45°，相距20海里的false处的乙船，现乙船朝北偏东false的方向沿直线false前往false处救援，则false______海里，false______．
16．对于集合false和常数false，定义：false为集合false相对false的“余弦方差”．集合false相对常数false的“余弦方差”是一个常数false，则false______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．
17．（10分）在平面四边形false中，false，false，false，false．
（1）求false；
（2）若false，求false．
18．（12分）已知平面向量false，false．
（1）若false，且false，求false的坐标；
（2）当false为何值时，false与false垂直；
（3）若false与false的夹角为锐角，求实数false的取值范围．
19．（12分）已知平面向量false，false，且false．
（1）求false的值；
（2）若false，false，且false，求false的值．
20．（12分）在false中，角false，false，false所对的边分别为false，false，false．已知false，false．
（1）求false的值；
（2）求false的值．
21．（12分）在false中，角false，false，false所对的边分别为false，false，false．已知false．
（1）求角false的大小；
（2）若false是锐角三角形，且false，求false面积的取值范围．
22．（12分）在false中，角false，false，false所对的边分别为false，false，false．已知false．
（1）求false的值；
（2）求false的最大值．
南师附中2020~2021学年度第二学期期中考试试卷
高一数学答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．【答案】D
【考点】平面向量的线性运算
【解析】由题意可知，false，故答案选D．
2．【答案】A
【考点】平面向量是数量积运算
【解析】由题意可知，在正方形false中，false，且false，所以false，故答案选A．
3．【答案】D
【考点】平面向量的坐标运算、模的求解
【解析】由题意，false，所以false，所以false，故答案选D．
4．【答案】C
【考点】三角恒等变换构造角度或和差化积公式
【解析】法一：因为false，且false，所以false，即化简为false，则false，所以falsefalse，故答案选C.
法二：因为false，所以由和差化积公式可得false，又false，所以false，所以false，所以false，则false，故答案选C.
5.【答案】B
【考点】三角函数的化简求值：半角公式的应用
【解析】由题意可知，因为false，false，所以false，因为false，所以false，false，所以false，false，所以false，则false，故答案选B.
6.【答案】C
【考点】两角和与差的正切公式、三角函数的图象与性质综合应用
【解析】由题意，因为false，所以false，所以false，即false，解得false或false（舍去），则false，因为false，所以false，则当false，false时，函数false取得最大值，故答案选C.
7.【答案】C
【考点】正余弦定理的应用：判断三角形的形状
【解析】法一：由题意可知，利用正弦定理可化简为false，即false，由余弦定理可得false，即false，同分化简可得false，因式分解得到false，因为false，所以false，即false为直角三角形，故答案选C.
法二：由题意可知，因为false，所以false，所以false，所以false，即false，所以false，所以false，即false为直角三角形，故答案选C.
8.【答案】A
【考点】平面向量的基本定理应用
【解析】由题意可知，在平行四边形false中，因为false，false为false的中点，所以false，false，则存在实数false使得falsefalse，又因为false，所以false解得false，故答案选A.
二、多项选择题:本大题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选错得0分，部分选对得2分.
9.【答案】BC
【考点】复数的概念
【解析】由题意可知，因为false，可得false，又false在复平面内对应的点在直线false上，则可设false，则false，因为false是纯虚数，所以false，解得false，所以false，则false，所以选项B、C正确，故答案选BC.
10.【答案】AD
【考点】三角恒等变换公式应用
【解析】由题意可知，对于选项A，因为false，所以false，所以选项A正确；对于选项B，false，所以false，所以选项B错误；对于选项C，false，所以选项C错误；对于选项D，false，所以选项D正确；综上，答案选AD.
11.【答案】ABD
【考点】利用正弦余弦定理判断三角形解的个数、判断三角形的形状、三角恒等变换公式在三角形中的应用
【解析】由题意可知，对于选项A，若false，false，false，则由正弦定理可得false，所以符合条件的三角形不存在，所以选项A正确；对于选项B，若false，则由正弦定理可得，false，即false，在false中，false，所以false，则false，解得false，则false为直角三角形，所以选项B正确；对于选项C，若false，可令false，false，则false，false，所以选项C错误；对于选项D，若false，可得到false，所以false，则false，则false，即false，所以选项D正确；综上，答案选ABD.
12.【答案】BCD
【考点】三角恒等变换、三角函数的图象与性质
【解析】由题意可知，false，则对于选项A，若false的最小正周期是false，则false的最小正周期为false，所以false，解得false，所以选项A错误；对于选项B，因为false，所以false，若false在false内无零点，则false，解得false，所以false，所以选项B正确；对于选项C，若false在false内单调，则false，解得false，则false，所以选项C正确；对于选项D，当false时，false，令false，所以直线false是函数false图像的一条对称轴，所以选项D正确；综上，答案选BCD.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.【答案】4-3i
【考点】复数与平面向量综合
【解析】由题意可知，false，则false对应的复数是false.
14.【答案】false
【考点】三角恒等变换：降幂公式、两角和与差的余弦公式
【解析】法一：由题意，falsefalsefalse
法二：由题意，令false，false，则false①，falsefalse②，则false，得false，所以false，即false.
15.【答案】false；false
【考点】解三角形在实际问题中的应用
【解析】由题意可知，false，则在false中，由余弦定理可得，false，所以false海里，所以false，则false，所以falsefalse.
16.【答案】false
【考点】新情景问题下的三角恒等变换公式的应用
【解析】由题意，当集合为false时，相对常数false的“余弦方差”falsefalse，即常数false，故答案为false.
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17.【考点】正弦定理、余弦定理在平面几何中的应用
【解析】
（1）在false中，由正弦定理可得false，即false，所以false，
因为false，所以false，所以false；
（2）由（1）知false，
则在false中，由余弦定理可得，false
false，所以false.
18.【考点】平面向量的坐标运算、数量积计算等
【解析】
（1）设false，false，
因为false，所以false，因为false，所以false，
解得：falsefalse所以false或false；
（2）false，false，
因为false与false垂直，所以false，解得：false.
（3）因为false，所以false，
因为false与false的夹角为锐角，所以false解得：false且false，即false.
19.【考点】平面向量的坐标运算、三角恒等变换、给值求角问题
【解析】
（1）因为false，所以false，
所以false.
所以false，false.
（2）因为false，false，所以false，
因为false，
所以false，所以false.
因为false，所以false.
因为false，且false，所以false，
因为false，所以false，
因为false，所以false.
20.【考点】正余弦定理的综合应用、三角恒等变换
【解析】
（1）由false，且由余弦定理false，得false．
由false，及余弦定理，得false；
（2）由（1）知false，且false，所以false，
代入false，可得false.
由（1）知false，则false为钝角，所以false.
所以false，false，
故false.
21.【考点】正余弦定理的综合应用、三角恒等变换、求面积的范围问题
【解析】
（1）在false中，由正弦定理可得false，
可化为false，
因为false，所以false，
所以false，
则false，
因为false，所以false，所以false，
所以当false，不符合题意，所以false，
又false，所以false，
（2）由（1）知false，且false是锐角三角形，所以false，解得false，
在false中，由正弦定理可得，false，
所以false面积为false，所以false面积的取值范围为false.
22.【考点】正余弦定理的综合应用、三角恒等变换、求三角函数值或最值问题
【解析】
（1） 在false中，因为false，所以false，
又因为false，所以false，
化简得false，
因为false，所以等式两边同时除以false，
得到false；
（2）由题意falsefalse.
法一：因为false，所以false，
令false，则falsefalse，当且仅当false，即false，解得false或false时取等号，所以false的最大值为false.
法二：令false,false，false，则falsefalse，令false，false，则化为false，所以false的最大值为false.