重庆第八高级中学校2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案

重庆八中2020—2021学年度（下）期末考试高一年级
数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2. 复数（为虚数单位）的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则角为（ ）
A. 30° B. 30°或150° C. 60° D. 60°或120°
4. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5. 直线与圆交于、两点，则（ ）
A. 2 B. C. 6 D.
6. 已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况是（ ）
A. 无论，，如何，总有唯一交点 B. 存在，，使之有无穷多个交点
C. 无论，，如何，总是无交点 D. 存在，，使之无交点
7. 如图，在正三棱柱中，，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知点为直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二．选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）
9. 复数的共轭复数记为，则下列运算结果一定是实数的是（ ）
A. B. C. D.
10. 如果，，那么直线经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
11. 在菱形中，，，，分别为，的中点，则（ ）
A. B.
C. 在方向上的投影向量的模为2 D.
12. 在正方体中，点在线段上运动，下列说法正确的是（ ）
A. 平面平面 B. 平面
C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 三棱锥的体积不变
三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上．）
13. 若直线与垂直，则实数______．
14. 已知圆与圆相交于，两点，则直线的方程为______．
15. 己知复数，满足，，若（为虚数单位），则______．
16. 已知圆锥的母线长为2，轴截面是过该圆锥顶点的所有截面中面积最大的一个，则该圆锥的表面积的最大值为______．
四．解答题（本大题共6小题，共70分．请将正确答案做在答题卷相应位置，要有必要的推理或证明过程．）
17. 设向量，，．
（1）若向量，求．
（2）若向量与向量的夹角为，求．
18. 的内角，，的对边分别为，，，．
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积的最大值．
19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，、分别是、中点．
（1）求证：平面；
（2）求与面所成角的正弦值．
20. 如图，现有两辆汽车同时从地出发，沿各自路径匀速前往地，汽车甲路线为，汽车乙路线，两车在地汇合后共同前往下一个目的地．已知km，km，km，甲的行驶速度为km/h，乙的行驶速度为km/h．
（1）求乙到达地这一时刻的甲、乙两车之间的距离；
（2）已知两车车上都配有通话器，通话器有效通话距离不超过km，从乙到达地这一时刻算起，甲乙无法通话的时间为多长？
21. 如图，已知在三棱柱中，四边形为正方形，，，、分别是、的中点，点是线段上的动点．
（1）证明：；
（2）若，若，求平面与平面所成锐二面角余弦值．
22. 已知圆心在第一象限，半径为的圆与轴相切，且与轴正半轴交于，两点（在左侧），（为坐标原点）．
（1）求圆的标准方程；
（2）过点任作一条直线与圆相交于，两点．
①证明：为定值；②求的最小值．
重庆八中2020—2021学年度（下）期末考试高一年级
数学试题 答案版
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2. 复数（为虚数单位）的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
3. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则角为（ ）
A. 30° B. 30°或150° C. 60° D. 60°或120°
【答案】A
4. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
【答案】D
5. 直线与圆交于、两点，则（ ）
A. 2 B. C. 6 D.
【答案】B
6. 已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况是（ ）
A. 无论，，如何，总有唯一交点 B. 存在，，使之有无穷多个交点
C. 无论，，如何，总是无交点 D. 存在，，使之无交点
【答案】A
7. 如图，在正三棱柱中，，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
8. 已知点为直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
二．选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）
9. 复数的共轭复数记为，则下列运算结果一定是实数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
10. 如果，，那么直线经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】ACD
11. 在菱形中，，，，分别为，的中点，则（ ）
A. B.
C. 在方向上的投影向量的模为2 D.
【答案】ACD
12. 在正方体中，点在线段上运动，下列说法正确的是（ ）
A. 平面平面 B. 平面
C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 三棱锥的体积不变
【答案】ABD
三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上．）
13. 若直线与垂直，则实数______．
【答案】
14. 已知圆与圆相交于，两点，则直线的方程为______．
【答案】
15. 己知复数，满足，，若（为虚数单位），则______．
【答案】
16. 已知圆锥的母线长为2，轴截面是过该圆锥顶点的所有截面中面积最大的一个，则该圆锥的表面积的最大值为______．
【答案】
四．解答题（本大题共6小题，共70分．请将正确答案做在答题卷相应位置，要有必要的推理或证明过程．）
17. 设向量，，．
（1）若向量，求．
（2）若向量与向量的夹角为，求．
【答案】（1）；（2）或.
18. 的内角，，的对边分别为，，，．
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积的最大值．
【答案】（1）；（2）
19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，、分别是、中点．
（1）求证：平面；
（2）求与面所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
20. 如图，现有两辆汽车同时从地出发，沿各自路径匀速前往地，汽车甲路线为，汽车乙路线，两车在地汇合后共同前往下一个目的地．已知km，km，km，甲的行驶速度为km/h，乙的行驶速度为km/h．
（1）求乙到达地这一时刻的甲、乙两车之间的距离；
（2）已知两车车上都配有通话器，通话器有效通话距离不超过km，从乙到达地这一时刻算起，甲乙无法通话的时间为多长？
【答案】（1）；（2）小时.
21. 如图，已知在三棱柱中，四边形为正方形，，，、分别是、的中点，点是线段上的动点．
（1）证明：；
（2）若，若，求平面与平面所成锐二面角余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
22. 已知圆心在第一象限，半径为的圆与轴相切，且与轴正半轴交于，两点（在左侧），（为坐标原点）．
（1）求圆的标准方程；
（2）过点任作一条直线与圆相交于，两点．
①证明：为定值；②求的最小值．
【答案】（1）；（2）①，证明见解析，②