3.2勾股定理的逆定理 同步练习 -2021—2022学年苏科版数学八年级上册（Word版含解析）

3.2勾股定理的逆定理
一．选择题
1．以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（　　）
A．1，1，1 B．2，3，4 C．1，，2 D．，3，5
2．满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是（　　）
A．三个内角度数之比是3：4：5
B．三边的平方之比是5：12：13
C．三边长度之比是1：：
D．三个内角度数之比是2：3：4
3．有下列判断：
①△ABC中，如果a2+b2≠c2，那么△ABC不是直角三角形
②△ABC中，如果a2﹣b2＝c2，那么△ABC是直角三角形
③如果△ABC是直角三角形，那么a2+b2＝c2
其中说法正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．②
4．阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（　　）
A．②④ B．①②④ C．①② D．①④
5．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC是（　　）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
6．若△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．（c+b）（c﹣b）＝a2 B．∠A+∠B＝∠C
C．a＝32，b＝42，c＝52 D．a：b：c＝5：12：13
7．如图，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个正方形中，与众不同的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在单位为1的正方形网格图中有a，b，c，d四条线段，从中任取三条线段所构成的三角形中恰好是直角三角形的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在△ABC中，BC＝2，∠C＝45°，若D是AC的三等分点（AD＞CD），且AB＝BD，则AB的长为（　　）
A．2 B． C． D．
10．在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当a＝24时，b+c的值为（　　）
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
A．250 B．288 C．300 D．574
二．填空题
11．三角形的两边长分别为1cm和2cm，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是　 　cm．
12．下列各组数：①1、2、3；②，，2；③0.3、0.4、0.5；④9、40、41，其中是勾股数的是　 　（填序号）．
13．如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝13，AC＝5，点D为BC的中点，则线段AD的长为　 　．
14．△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，下列条件中能判断出是△ABC直角三角形的有　 　．
（1）∠A：∠B：∠C＝3：4：5；（2）a：b：c＝5：4：3；（3）a2+b2＝c2；（4）∠A＝90°﹣∠B；（5）∠A+∠B＝∠C．
15．《九章算术》提供了许多整勾股数，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（8，15，17）等等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”．后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数．由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”．若“由9生成的勾股数”的“弦数“记为A，“由20生成的勾股数”的“弦数“记为B，则A+B＝　 　．
三．解答题
16．在△ABC中，D是BC边上的点，AB＝13，AD＝12，BD＝5，AC＝15．
（1）求证：△ABD是直角三角形；
（2）求DC的长．
17．如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B＝90°，BC＝1，∠BAC＝30°，CD＝2，AD＝2．
（1）求证：△ACD是直角三角形；
（2）求四边形ABCD的面积．
18．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时明《周牌算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“正整数直角三角形”，这三个正整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25等都是勾股数．
（1）小欢在研究勾股数时发现，某些正整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差，我们这样的勾股数叫做完美勾股数．如3，4，5中，5＝22+12，3＝22﹣12；5，12，13中，13＝32+22，5＝32﹣22．判断8，15，17和9，40，41这两组勾股数是不是完美勾股数，并说明理由；
（2）有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长为4，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值．
参考答案
一．选择题
1．解：A、∵12+12≠12，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵22+32≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵12+（）2＝22，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵（）2+32≠52，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．解：当三个内角度数之比是3：4：5时，最大的角的度数是：180°×＝75°＜90°，故选项A不符合题意；
当三边长的平方比为5：12：13时，因为（）2+（）2≠（）2，故该三角形不是直角三角形，故选项B不符合题意；
当三边长度是1：：时，12+（）2＝（）2，故该三角形不是直角三角形，故选项C符合题意；
三个内角度数比为2：3：4时，最大的角的度数是：180°×＝80°＜90°，故选项D不符合题意；
故选：C．
3．解：①a＝3，b＝5，c＝4，32+52≠42，32+42＝52则△ABC可能是直角三角形，故原来说法错误；
②△ABC中，如果a2﹣b2＝c2，那么△ABC是直角三角形，说法正确；
③如果△ABC是直角三角形，a＝3，b＝5，c＝4，那么a2+c2＝b2，但是a2+b2≠c2，故原来说法错误．
∴其中说法正确的只有②，
故选：D．
4．解：①∵7不能表示为两个正整数的平方和，
∴7不是广义勾股数，故①结论正确；
②∵13＝22+32，
∴13是广义勾股数，故②结论正确；
③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③结论错误；
④设，，
则
＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
＝（a2c2+b2d2+2abcd）+（a2d2+b2c2﹣2abcd）
＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2，
当ad＝bc时，m1?m2不是广义勾股数，
∴两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数，故④结论错误，
∴依次正确的是①②．
故选：C．
5．解：∵（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，
∴a﹣b＝0，或a2+b2﹣c2＝0，
即a＝b或a2+b2＝c2，
∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
6．解：由（c+b）（c﹣b）＝a2整理得：a2+b2＝c2，故选项A不符合题意；
由∠A+∠B＝∠C，可知∠C＝90°，故选项B不符合题意；
a＝32，b＝42，c＝52，则a2+b2≠c2，故选项C符合题意；
当a：b：c＝5：12：13时，则a2+b2＝c2，故选项D不符合题意；
故选：C．
7．解：设网格中每个小正方形的边长是1．
图A中三角形各边长为、、，故该三角形为钝角三角形；
图B中各边长为2、4、2，故该三角形为直角三角形；
图C中各边长、2、，故该三角形为直角三角形；
图D中各边长为、2、5，故该三角形为直角三角形．
即B，C，D是直角三角形，A不是直角三角形．
故选：A．
8．解：由图可得，
线段a，b，c，d的长度分别为：，3，2，，
∵（）2+（2）2＝（）2，（）2+（2）2＝（3）2，
∴从a，b，c，d四条线段中任取三条线段所构成的三角形中恰好是直角三角形的个数为2，
故选：B．
9．解：过B作BE⊥AC于E，
∵AB＝BD，BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠BEC＝90°，AE＝DE，
∵D是AC的三等分点（AD＞CD），
∴AE＝DE＝DC，
在Rt△BEC中，BC＝2，∠C＝45°，
∴∠EBC＝∠C＝45°，
∴BE＝CE，
由勾股定理得：2BE2＝DC2＝（2）2＝8，
解得：BE＝EC＝2，
∴AE＝1，
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，
故选：B．
10．解：从表中可知：a依次为6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，???，即24＝2×（10+2），
b依次为8，15，24，35，48，???，即当a＝24时，b＝122﹣1＝143，
c依次为10，17，26，37，50，???，即当a＝24时，c＝122+1＝145，
所以当a＝24时，b+c＝143+145＝288，
故选：B．
二．填空题
11．解：∵三角形的两边长分别为1cm和2cm，
∴可设第三边为xcm，
∵此三角形是直角三角形，
∴当x是斜边时，x2＝12+22，解得x＝；
当x是直角边时，x2+12＝22，解得x＝．
故答案为：或．
12．解：①1、2、3，因为1+2＝3，无法组成三角形，所以不是勾股数；
②，不是正整数，不属于勾股数；
③0.3、0.4、0.5不是正整数，不属于勾股数；
④因为92+402＝412，所以9、40、41属于勾股数；
故答案为：④．
13．解：∵52+122＝132，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∵D为BC的中点，
∴AD＝BC＝．
故答案为：．
14．解：（1）∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴最大角∠C＝×180°＝75°，
∴△ABC不是直角三角形；
（2）∵a：b：c＝5：4：3，
∴b2+c2＝a2，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）∵a2+b2＝c2，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（4）∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（5）∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
所以能判断出是△ABC直角三角形的有（2）（3）（4）（5），
故答案为：（2）（3）（4）（5）．
15．解：∵由9生成的勾股数”的“弦数”记为A，
∴92＝81，81＝40+41，
故A＝41，
∵“由20生成的勾股数”的“弦数”记为B，
∴102＝100，则100﹣1＝99，100+1＝101，
即B＝101，
则A+B＝41+101＝142．
故答案为：142．
三．解答题
16．（1）证明：∵AB＝13，AD＝12，BD＝5，
∴AB2＝AD2+BD2，
∴△ABD是直角三角形，即∠ADB＝90°；
（2）解：∵∠ADB＝90°，
∴△ADC是直角三角形，
在Rt△ADC中，DC＝＝9．
17．（1）证明：∵∠B＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AC＝2BC＝2，
又CD＝2，AD＝，
∴AC2+CD2＝8，AD2＝8，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形．
（2）解：∵AC＝2，BC＝1，
∴＝，
∴＝．
18．解：（1）∵17＝42+12，15＝82﹣72，
∴8，15，17是完美勾股数；
∵41＝52+42，9＝52﹣42，
∴9，40，41是完美勾股数；
（2）由勾股定理得：
7a﹣7+（150﹣30b）＝16×15，
∴a＝，
由题意可知：7a﹣7＞0，150﹣30b＞0
∴a＞1，0＜b＜5
∵a和b均为正整数
∴b的可能值为：1，2，3，4．
当b＝1时，a＝＝，不是正整数，故b＝1不符合题意；
当b＝2时，a＝＝，不是正整数，故b＝2不符合题意；
当b＝3时，a＝＝，不是正整数，故b＝3不符合题意；
当b＝4时，a＝＝31，是正整数，此时，＝，＝，
∵（）2+（）2＝240，（4 ）2＝240，
∴（ ）2+（）2＝（4 ）2，
∴b＝4符合题意．
∴a＝；a＝31，b＝4．