浙江省杭州市西湖高级中学2011-2012学年高二5月月考数学（理）试题

(本试卷共4页， 21小题，满分100分．考试时间90分钟)
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
1．如果A是B的必要不充分条件,B是C的充分必要条件,D是C的充分不必要条件,那么A是D的 （ ）
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2．设全集是，，若，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，值域为R的函数是 （ ）
A． B．
C． D．
4．当时， 的值等于 （ ）
A．1 B．– 1 C． D．–
5．函数f(x)＝，若f(4x1)＋f(4x2)＝1，x1>1，x2>1，则f(x1·x2)的最小值为 (　　)
A. B.
C． 2 D.
6．命题“存在R，0”的否定是 （ ）
A．不存在,>0 B．存在, 0
C．对任意的, 0 D．对任意的,>0
7．函数的定义域是 （ ）
A． B．
C． D．
8．函数y＝(09．函数f(x)定义域为D，若对任意x1、x2∈D，当x1A. B.
C．1 D.
10．已知，则方程（为正实数）的实数根最多有 （ ）
A．6个 B．4个 C．7个 D．8个
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．不等式的解集是 ．
12．在的展开式中，的系数是15，则实数= ．
13．若x≥0，y≥0，且，则的最小值是 ．
14．若函数f(x)＝loga(2－logax)在[，4]上单调递减，则正实数a的取值范围是 ．
15．若，且的值为 ．
16．设p，q，r∈N*，且q17．对于函数f(x)＝(其中a为实数，x≠1)，给出下面命题：①当a＝1时，f(x)在定义域上为单调增函数；②f(x)的图象关于点(1，a)对称；③对任意a∈R，f(x)都不是奇函数；④当a＝－1时，f(x)为偶函数；⑤当a＝2时，对于满足条件2三、解答题：本大题共4小题，共42分．
18．(本小题满分10分)
已知函数y＝f(x)是定义在R上的周期函数，周期T＝5.函数y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，且在[1,4]上是二次函数，在x＝2时函数取最小值－5.试求：
(1)f(1)＋f(4)的值；
(2)y＝f(x)，x∈[1,4]的解析式．
19．(本小题满分10分)
某车站每天上午发出两班客车，每班客车发车时刻和发车概率如下：
第一班车：在8：00、8：20、8：40发车的概率分别为
第二班车：在9：00、9：20、9：40发车的概率分别为
两班车发车时刻是相互独立的，一位旅客8：10到达车站乘车
求：（1）该旅客乘第一班车的概率；
（2）该旅客候车时间（单位：分钟）的分布列；
（3）该旅客候车时间的数学期望.
20．(本小题满分10分)
某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益。现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%。
（1），若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数模型的基本要求，并分析函数是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；
（2）若该公司采用模型函数作为奖励函数模型，试确定最小的正整数的值.
21．(本小题满分12分)
已知函数
（1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，设函数，若，
求证.
杭西高高二理科数学5月月考试卷
本试卷共4页， 21小题，满分100分．考试时间90分钟．
参考公式：
球的表面积公式 棱柱的体积公式
球的体积公式 其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高
棱台的体积公式
其中R表示球的半径
棱锥的体积公式 其中S1、S2分别表示棱台的上、下底面积，
h表示棱台的高
其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高
如果事件互斥，那么
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
1．如果A是B的必要不充分条件,B是C的充分必要条件,D是C的充分不必要条件,那么A是D的（ A ）
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2．设全集是实数集，，若，则实数的取值范围是 ( C )
A． B． C． D．
3．下列函数中，值域为R的函数是 （ C ）
A． B．21世纪教育网
C． D．
4．当时， 的值等于 ( D )
A．1 B．– 1 C． D．–
5．函数f(x)＝，若f(4x1)＋f(4x2)＝1，x1>1，x2>1，则f(x1·x2)的最小值为(　　)
A. B.
C．2 D.
解析：依题意得f(x)＝1－，
1－＋1－＝1，
由此解得log2x2＝，log2(x2x1)＝log2x2＋log2x1＝＋log2x1＝＋log2x1＝－2＋＋(log2x1＋1)≥－2＋2 ＝2，故f(x1x2)＝1－≥1－＝，f(x1·x2)的最小值是，选B.
答案：B
6．命题“存在R，0”的否定是（ D ）
A．不存在,>0 B．存在, 0
C．对任意的, 0 D．对任意的,>0
7．函数的定义域是 ( D )
A． B．
C． D．
8．函数y＝(0解析：y＝＝，而0答案：D
9．函数f(x)的定义域为D，若对于任意的x1、x2∈D，当x1A. B.
C．1 D.
解析：依题意得f(1)＝1－f(0)＝1，f＝1－f，f＝，f＝f(1)＝，由函数f(x)在[0,1]上为非减函数得，当≤x≤时，f(x)＝，则f＝，又f＝f＝，即f＝.因此有f＋f＝，选A.
10．已知函数，则方程（为正实数）的实数根最多有（ A ）个 [来源:21世纪教育网]
A．6个 B．4个 C．7个 D．8个
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．不等式的解集是 。
12.在的展开式中，的系数是15，则实数=__________。
13．若x≥0，y≥0，且，则的最小值是 ．
14．若函数f(x)＝loga(2－logax)在[，4]上单调递减，则正实数a的取值范围是________．
解析：令t＝2－logax，则当a＞1时，y＝logat在(0，＋∞)上单调递增，t＝2－logax在[，4]上单调递减，∴f(x)＝loga(2－logax)在[，4]上单调递减，又t＝2－logax在[，4]上恒大于0，∴2－loga4＞0，即＞0，∴log4a＞或log4a＜0(舍)，∴a＞2；同理当0＜a＜1时，有0＜a＜.
答案：0＜a＜或a＞2
15.若，且的值为
16．设p，q，r∈N*，且q解析：f－f
＝f－f
＝5－(4＋1)＝0.
答案：0
17．对于函数f(x)＝(其中a为实数，x≠1)，给出下面命题：①当a＝1时，f(x)在定义域上为单调增函数；②f(x)的图象关于点(1，a)对称；③对任意a∈R，f(x)都不是奇函数；④当a＝－1时，f(x)为偶函数；⑤当a＝2时，对于满足条件2解析：对于①，当a＝1时，f(x)＝＝1＋在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上也是减函数，因此①错；对于②，f(x)＝＝a＋，因此f(x)的图象关于点(1，a)对称，②正确；对③④，由于定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，因此对任意a∈R，f(x)既不是奇函数也不是偶函数，③正确，④错误；对于⑤，当a＝2时，f(x)＝＝2＋，由于20，x2－1>x1－1>1，所以f(x1)－f(x2)＝<3(x2－x1)，⑤正确．
答案：②③⑤
三、解答题：本大题共4小题，共42分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．(本小题满分10分)已知函数y＝f(x)是定义在R上的周期函数，周期T＝5.函数y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，且在[1,4]上是二次函数，在x＝2时函数取最小值－5.试求：
(1)f(1)＋f(4)的值；
(2)y＝f(x)，x∈[1,4]的解析式．
解析：(1)因为y＝f(x)是以5为周期的周期函数，
∴f(4)＝f(5－1)＝f(－1)，
又y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)＝f(4)　∴f(1)＋f(4)＝0.
(2)当x∈[1,4]时，
由题意可知f(x)＝a(x－2)2－5(a≠0)
由f(1)＋f(4)＝0得
a(1－2)2－5＋a(4－2)2－5＝0.∴a＝2.
∴f(x)＝2(x－2)2－5＝2x2－8x＋3(1≤x≤4)．
20．(本小题满分10分)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益。现
准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加
而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%。
（1），若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数模型的基本要求，并分析函数是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；
（2）若该公司采用模型函数作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值。
21．(本小题满分12分)
已知函数
（Ⅰ）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，设函数，若，求证
22．（本小题满分15分）
（Ⅰ）………………1分
，即在上恒成立
设
，时，单调减，单调增，所以时，有最大值………………3分
，所以………………5分
（Ⅱ）当时，,
,所以在上是增函数，上是减函数……………6分
因为，所以
即
同理………………8分
所以
又因为当且仅当“”时，取等号………………10分
又，………………12分
所以
所以
所以：………………15分