山东省日照市2020-2021学年高二下学期期末校际联合考试数学试题 扫描版含答案解析

2019 级高二下学期期末校际联合考试
数学试题参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1-4CABC 5-8ADBB
1．答案：C解析：集合A＝{x|x2＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，
四个选项中，只有0∈A，
故选：C．
2．答案：A解析： （f ?2）=?2， （f ?1）=3，根据零点存在性定理可知答案
故选： A
3．答案：B解析：ab?0即为a ?0或b?0；
2 2
a ?b ?0即为a ?b?0；
由充分必要条件性质——集合观点知：后者真包含于前者
故选：B．
4．答案：C解析：因为a，b都是正数，所以
b 4a b 4a b 4a
(1? )?(1? )?5? ? ?5?2 ? ?9，当且仅当b?2a ?0时取等号．
a b a b a b
故选：C．
1 5
5．答案：A 解析：选项B， y ? ?x 是奇函数，所以不正确；选项C，当x???
x
1
时， f(x)???，所以不正确；选项D，y ? ?lnx定义域为(0，??)，所以不正
x
确；故选：A．
6．答案：D 解析：由题意知，如图，
可得： y?34?12，解得 y ?46,x?95? y ?46，解得x?141，故选D．
2?(x?1) 1?x
7．答案：B 解析：当 x?1?1 时，即 x?0 时， e ?1，即 e ?1 ，所以
1?x?0，即x?1，所以无解．
当 x?1?1 ， 即 x?0, 所 以 lg(x?3)?1,0? x?3?10,?3? x?7, 又 x?0, 所 以
0? x?7．故选B．
8．答案：B解析：因为函数 f ?x???x?x1??x?x2??x?x3?，
所以 f??x???x?x1??x?x2???x?x1??x?x3???x?x2??x?x3?，
1
2 2
? x ?x
所以 ? x1 x2 ? ? 2 1? ? x3?x2 ? ?x2 ?x3?
f?? ??? ?0, f?? ??? ?0，
? 2 ? 2 ? 2 ? 2
因为函数 f(x)的两个极值点为?,??????，
所以 f(x)在???,??,??,???上是增函数，在??,??上是减函数．
所以???????．又因为 ?x x
g(x)?e ?e 是减函数，
所以g(?)? g(?)? g(?)? g(?)． 故选：B
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分。在每小题给出的四个选项
中，有多项符合题目要求的，全部选对得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0
分。
9．AC 10．ACD 11．BD 12．BCD
9．答案：AC 解析：由图可知，阴影部分是集合 B与集合 C 的并集，再由集合 A求交
集，或是集A与B的交集并上集合A与C的交集，
所以阴影部分用集合符号可以表示为A?(B?C)或(A?B)?(A?C)，
故选：AC
x ?x x
? ? ?
10．答案： 2 1
ACD解析： 2 1 1 2
? f ?x?? ， ，
x ? f(?x)? ?x ? x ??f(x)
2 ?1 2 ?1 1?2
故 f ?x?为奇函数，
x ?
又 2 1 2
? f ?x?? x ?1? ，?
x f(x)在R上单调递增，
2 ?1 2 ?1
x x 2
?2 ?0，?2 ?1?1，?0? x ?2，
2 ?1
2
??2?? x ?0，??1? f(x)?1，即函数值域为??1,1?
2 ?1
x
令 2 ?1 x
f ?x?? x ?0，即2 ?1，解得x?0，故函数有且只有一个零点0．
2 ?1
综上可知，ACD正确，B错误．
故选：ACD
1
11．答案：BD解析： f?(x)? ?sinx，
2
? 5?
令 f?(x)?0可得x ? ?2k?或x ? ?2k?，k?Z，
6 6
? 5?
易得函数的极值点为x ? ?2k?或x ? ?2k?，k?Z，
6 6
? 5? 13?
从小到大为 , ， ?，不是等差数列，A错误；
6 6 6
5? 17?
a4 ? ?2?? ，B正确；
6 6
2
5? 13? 13? 17?
函数 f(x)在区间( , )上为增函数，在区间( , )上为减函
6 6 6 6
数，所以a3为函数 f(x)的极大值点，C错误；
? 5? 13? 17? ?
S2021 ?a1?a2 ???a2021 ? ? ? ? ???( ?1010?2?)，
6 6 6 6 6
? 13? ? 5? 17? 5?
?[ ? ???( ?1010?2?)]?[ ? ???( ?1009?2?)]，
6 6 6 6 6 6
? 1
则根据诱导公式得sinS2021 ?sin ? ，D正确；
6 2
故选：BD．
12．答案：BCD解析：由题意，记 x 表示与实数x最接近的整数，且k ? n ，
当n ?1时，可得 n ?1, n ?1，所以A不正确；
1 1 1 1
由 n ? n ? ，即 n ?k ? ，可得? ? n ?k ? ，
2 2 2 2
1
可得 n ?k? 成立，所以B正确；
2
1 1 1 1
由? ? n ?k ? ，可得k ? ? n ?k ? ，平方可得
2 2 2 2
2 1 2 1
k ?k? ?n?k ?k? ，
4 4
1
因为 ? 2
n?N ，且k ?k? 不是整数，
4
1
其中 2 2
k ?k ?1是k ?k? 右侧的最接近的整数，
4
所以 2
n?k ?k?1成立，所以C正确；
当n?1,2时， n ?1，此时a1 ?a2 ?1；
1
当n?3,4,5,6时， n ?2，此时a3 ?a4 ?a5 ?a6 ? ；
2
1
当n?7,8,9,10,11,12时， n ?3，此时a7 ?a8 ???a12 ? ；
3
1
当n?13,14,?,20时， n ?4，此时a13 ?a14 ???a20 ? ；
4
??
1 1
因为 2 2 2 2
k ?k? ?n?k ?k? ，所以k ?k ?1?n?k ?k ,所以满足k ? n 的正
4 4
整数有2k个
3
1 1 1
可得数列?an?中，有2个1，4个 ，6个 ，8个 ，??
2 3 4
又由2,4,6,8,?构成首项为2，公差为2的等差数列，可得
k(2?2k)
2+4+6+…+2k ? ?k(k?1)，
2
当k ?44时，令k(k ?1)?1980，当k ?45时，令k(k ?1)?2070，
2021?1980?41，
1 1 1 1
在数列?an?前2021项中，有2个1，4个 ，6个 ，8个 ，??88个 ，41个
2 3 4 44
1 1 1 1 1 41
，所以S2021 ?1?2? ?4? ?6??? ?88? ?41?88? ，
45 2 3 44 45 45
所以 S2021 ?89故D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．10 14．7 15．e 16．（6，+∞）
13．答案10
14．解析：当x?0时， 3 3
?x?0， f(?x)?(?x) ?1??x ?1，又因为函数 y ? f ?x?是
奇函数，所以 3
f ?x?=? f ??x?? x ?1=g ?x?．
所以 3 3
f ??1??g?2??(?1) ?1?2 ?1?7 ．
答案：7
15．解析： x x
f??x??(x?1)e ?ax+a=(x?1)(e ?a) ，若函数 y ? f ?x?在???,???单
调递增，则 f??x??0恒成立，
而 f??1??0 ，由极值点的定义可知， x ?1 为函数 y ? f??x? 的极小值点，令
x
g?x?? f??x?，g??x?? xe ?a ，所以g??1??e?a ?0，即a ?e，经检验，适合题
意．故a ?e．
答案：e
16．解析：因为 f(0)?0，所以?0，f(0)?是函数的一个“准奇点”．若函数 f(x)存在
5 个 “ 准 奇 点 ” ， 只 需 要 当 x ?0 时 ， f(?x)??f(x) 有 两 个 根 ， 即 方 程
3 2 16
6(?x)?(?x) ??(16?ax) 有 两 个 根 ， 等 价 于 a ? x ? ?6 有 两 个 根 ． 令
x
3
2 16 16 2(x ?8)
g(x)? x ? ?6 ，则 g?(x)?2x? 2 ? 2 ，函数g(x)在(0,2)上单调递减，
x x x
在(2,??)上单调递增，所以g(x)?g(2)?6，所以a ?6．答案：（6，+∞）
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）解：（1）因为 2
x ?5x?4，即?x?1??x?4??0，
所以A??1,4?． …………………………………………………………………………4分
4
2
（2）因为不等式x ??2a?1?x?a?a?1??0，所以?x?a???x??a?1????0，
得a? x?a?1，所以M ??a,a?1?．…………………………………………………6分
因为 p：x?M ，q：x?A， p是q的充分条件，所以M?A．
因为A??1,4?，所以a?1且a?1?4， ………………………………9分
所以实数a的取值范围是?1,3?． ………………………………10分
2
18．（12分）解：(1)因为 Sn ?Sn?1 ?an?1，
当 2 2
n?1时，S1?S2 ?a2，2?a2 ?a2，a2 ?0，所以a2 ?2， ………………2分
当 2
n?2时， 2 2
Sn?1?Sn ?an，所以Sn ?Sn?1?Sn?1?Sn ?an?1?an， ……………4分
即an?1?an ?(an?1?an)(an?1?an)，
数列{an}的各项均为正数，所以an?1?an ?0，
an?1?an ?1(n?2)，而a2 ?a1 ?1，所以当n?1时，an?1?an ?1，
所以数列{an}为等差数列. …………………………………………………………6分
(2) 由(1)知，an ?n， ………………………………………7分
因为bn ?bn?1 ?an ?n，所以T2n ?b1?b2 ?b3 ?b4 ???b2n?1?b2n
?(b1?b2)?(b3 ?b4)???(b2n?1?b2n) …………………………………………9分
n(1?2n?1) 2
?a1?a3 ???a2n?1 ? ?n ．
2
数列{bn}的前 2
2n项和T2n ?n …………………………12分
19．（12分）解：(1)∵ f ?x?是偶函数，∴ f ?x?? f ??x?，
?
∴ x x
log4?4 ?1??kx?log4?4 ?1??kx，
x x x
4 ?1 4 ?4 ?1?
∴ log4 ?x ??2kx ∴ log4 x ? x??2kx ，即 ?2k?1?x?0 对 x?R 恒成
4 ?1 4 ?1
1
立，∴k ?? ． ………………………………………………………………………6分
2
1 ? 4 ?
（2）∵ x x
F?x?? f ?x??g?x??log4?4 ?1?? x?log4?a?2 ? a?只有一个零点，
2 ? 3 ?
1 ? 4 ?
∴ 方 程 x x
log4?4 ?1?? x?log4?a?2 ? a? 有 且 只 有 一 个 实 根 ， 即 方 程
2 ? 3 ?
x
x ? ? 2 ? x 4 ? x? x 4?
log4?4 1? log44 ?log4?a?2 ? a??log4a?2 ?2 ? ?有且只有一个实根，
? 3 ? ? 3?
2 2 4a
亦即方程 x x x
?2 ? ?1?a?2 ? ? ?2 有且只有一个实根， ……………………9分
3
5
令 x 2 4a
t ?2 ?t ?0?，则方程?a?1?t ? t?1?0有且只有一个正根，
3
3
①当a ?1时，t ?? ，不合题意；
4
②当a ?1时，因为0不是方程的根，所以方程的两根异号或有两相等正根．
3
由? ?0，得a ? 或?3，
4
3 1
若a ? ，则t ??2不合题意，舍去；若a ??3，则t ? 满足条件．
4 2
?1
若方程有两根异号，则 ?0，∴a ?1．
a?1
综上所述，实数a的取值范围是??3???1,???． ……………………12分
20．（12分）解：（1）因为?an?是等差数列，?bn?是等比数列，公比大于0．
设等差数列?an?的公差为d ，等比数列?bn?的公比为q(q ?0)．
?3q ?3(1?2d)
由题意可得：? ，解得 ，………………………… 分
2 d ?1,q ?3 4
?3q ?12(1?d)?3
?
故 n 1 n
an ?1?(n?1)?n, bn ?3?3 ?3 . …………………………………………6分
?1, n?5
（2）数列?cn?满足cn=? ；
?bn?5, n?6
n(n?1)
当n?5时，Tn=a1?a2 ???an ? ；……………………………………8分
2
当n?5时，Tn=T5+a6b1?a7b2 ???anbn?5
1 2 n?5
?15?6?3 ?7?3 ??? n?3
令 1 2 n?5
M=6?3 ?7?3 ??? n?3
则 2 n?5 n?4
3M= 6?3 ???(n?1)?3 ?n?3 ,
? ?
两式相减得， 1 2 n 5 n 4
?2M= 6?3 ?(3 ??? 3 )?n?3
2 n?6
3 ?1?3 ?
n?4
?2M=18? ?n?3 ，
1?3
27 2n?1 ?
整理得 n 4
M=? ? ?3 ，
4 4
33 2n?1 ?
所以 n 4
Tn= ? ?3 ， ……………………………………………11分
4 4
6
?n(n?1)，
? n?5
?
综上， 2
Tn=? ． ……………………………12分
?33 2n?1 n?4
? ?3 ，n?6
?? 4 4
21．（12分）解：（1）设OM 与EH 相交于点P，OM 与BC相交于点Q，依题得，
OP?50 3cosx，EP?50 3sin x，OQ?50，
则PQ?50 3cosx?50，……………………2分
由PQ?0得， 3
cosx? ，
3
所以 f(x)?4?50 3sinx?50 3cosx?50?
即 f(x)?15000sin2x?10000 3sinx ……………………5分
（2） f?(x)?5000(6cos2x?2 3cosx) ，
f?(x)?10000(3cosx+ 3)(2cosx? 3) ，
令 3 3
f '(x)?0，得cosx? 或cosx?? (不合题意，舍去)，…………………8分
2 3
?
由 3
cosx? 得x? ，
2 6
设 3
x0=?COM ，则cosx ，则
0= x??0,x0?，
3
? ??
①当x??0, ?时， f '(x)?0， f(x)单调递增；
? 6?
?? ?
②当x?? ,x0?时， f '(x)?0， f(x)单调递减，
? 6 ?
?
所以当x? 时， f(x)取得最大值． ……………………12分
6
22 ． （ 12 分 ） 解 ： （ 1 ） 曲 线 y ? f(x) 在 点（x0, f(x0)）处 的 切 线 方 程 为
y? f(x0)? f?(x0)(x?x0)，即 y ? f?(x0)x?x0f?(x0)? f(x0)，
x
即 y ? ?lnx0 ?1，
x0
1 1
所以k ? ，b?lnx0 ?1，k?b? ?lnx0 ?1． ……………………3分
x0 x0
1 1 1 x?1
令?(x)? ?lnx?1，??(x)? ? 2 ? 2 ，所以?(x) 在（0,1）上单调递减，在
x x x x
?1,???上单调递增，
7
所以?(x)??(1)?0，即k?b的最小值为0． ……………………5分
lna?lnb
（ 2 ） 不 妨 假 设 a ?b ， 直 线 AB 的 斜 率 为 ， 直 线 AB 的 方 程 为
a?b
lna?lnb
y?lna ? (x?a)，
a?b
lna?lnb alnb?blna alnb?blna
即 y ? x? ．由题意可知， ?0， ………7分
a?b a?b a?b
lnb lna
即alnb?blna ?0，所以 ? ，
b a
lnx
设h(x)? ，
x
1?lnx
则h(b)?h(a)，h?(x)? 2 ，令h?(x)?0,x?e，所以h(x)在?0,e?上单调递增，
x
在?e,???上单调递减， ……………………9分
lnb lna
①若a?e，则h(b)?h(a)，这与 ? 矛盾，故不符合题意；
b a
②若b?e，则h(b)?h(a)，此时 2 2
ab?b ?e ，符合题意;
2 2 2
?e ?
③若 e 2
b?e?a，则 ?e，要证 e
ab?e ，即证b? ，即证h(b)?h? ?，只要证明
? ?
a a ? a ?
2
?e ?
h(a)?h? ?即可．
? ?
? a ?
2
e
2
? ? ln( )
e lnx x lnx xlnx?2x
设t(x)?h(x)?h? ?
? ?? ? 2 ? ? 2 (x?e)，
? x ? x e x e
x
2 2
? ? ? ?
则 1 lnx lnx 1 ?lnx 1?(x e )
t?(x)? ， 所 以 单 调 递 增 ， 所 以
2 ? 2 ? 2 2 ?0 t(x)
x e e x
2
?e ?
t(x)?t(e)?0，即h(b)?h(a)?h? ?，所以 2．
? ? ab?e
? a ?
综上所述，命题得证． ……………………12分
8