第4章专题4 对数及其运算-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册常考题型专题练习（机构专用）（Word含答案解析）

对数及其运算
考向一 对数的概念
1、指数式 x3=15的对数形式为:( )
A．log 3 15=x B．log 15 x=3 C．log x 3= 15 D．log x 15= 3
2、下列四个等式：
①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若lg x＝10，则x＝10；④若ln x＝e，则x＝e2.
其中正确的是(　　)
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
3、在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是(　　)
A．a>5或a<2 B．24、下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　)
(A)e0=1与ln 1=0
(B)log39=2与912=3
(C)8-13=12与log812=-13
(D)log77=1与71=7
5、(1)若e=ln x,则x=　　　　;?
(2)若lg(ln x)=0,则x=　　　　;?
(3)若21+log4x=16,则x=　　　　.?
6、将下列指数式与对数式互化：
(1)log216＝4; (2)logfalse27＝－3；(3)false＝6; (4)43＝64；(5)3－2＝false (6) false＝16.
考向二 对数的加减运算
1、若a＞0，a≠1，x＞0，y＞0，x＞y，下列式子中正确的个数是(　　)
①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；
③logafalse＝logax÷logay; ④loga(xy)＝logax·logay.
A.0 B.1 C.2 D.3
2、lg8＋3lg5的值为(　　)
A.－3 B.－1 C.1 D.3
3、已知lg2=0.301，lg3=0.477 ,则lg12= ( )
A.0.778 B.1.079 C.0.301 D.0.477
4、化简：
(1)false；
(2)(lg5)2＋lg2lg50＋2false.
5、若a、b是方程2lg2 x－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·false 的值．
考向三 换底公式
1、若log34·log8m＝log416，则m等于(　　)
A.3 B.9 C.18 D.27
2、(log43+log83)(log32+log98)= 　　　　
3、已知 log107=a,14b=5，用 a,b 表示 log3528 =　　　　．
4、(1)计算(log23+log43)(log32+log274)的值.
(2)已知log189=a,18b=5,求log3645.(用a,b表示)
考向四 对数的综合运算
1、如果lg 2=m,lg 3=n,则lg12lg15等于(　　)
(A)2m+n1+m+n (B)m+2n1+m+n
(C)2m+n1?m+n (D)m+2n1?m+n
2、若lg x=m,lg y=n,则lg x-lg(y10)2的值为(　　)
(A)12m-2n-2 (B)12m-2n-1
(C)12m-2n+1 (D)12m-2n+2
3、已知3a=5b=A,若1a+1b=2,则A=　　　　.?
4、已知log23=t,则log4854=　　　(用t表示).?
5、解下列关于x的方程:
(1)lgx-1=lg(x-1);
(2)log4(3-x)+log0.25(3+x)=log4(1-x)+log0.25(2x+1).
6、求值:
(1)2log22-lg 2-lg 5+13(278)?2;
(2)lg 14-2lg73+lg 7-lg 18;
(3)计算:lg5·lg8 000+(lg 23)2lg600?12lg36?12lg0.01.
7、已知a,b,c是△ABC的三边,并且关于x的二次方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lg a+1=0有等根,试判断△ABC的形状.
对数及其运算
考向一 对数的概念
1、指数式 x3=15的对数形式为:( )
A．log 3 15=x B．log 15 x=3 C．log x 3= 15 D．log x 15= 3
【答案】D
【解析】因为指数式 x3=15的对数形式为log x 15= 3，所以选D.
2、下列四个等式：
①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若lg x＝10，则x＝10；④若ln x＝e，则x＝e2.
其中正确的是(　　)
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
【答案】C
【解析】因为lg 10＝1，所以lg(lg 10)＝0，故①正确；因为ln e＝1，所以ln(ln e)＝0，故②正确；由lg x＝10，得1010＝x，故x≠100，故③错误；由e＝ln x，得ee＝x，故x≠e2，所以④错误．选C.
3、在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是(　　)
A．a>5或a<2 B．2【答案】B
【解析】由对数的定义知false 所以24、下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　)
(A)e0=1与ln 1=0
(B)log39=2与912=3
(C)8-13=12与log812=-13
(D)log77=1与71=7
【答案】B
【解析】对于A,e0=1可化为0=loge1=ln 1,所以A正确;对于B,log39=2可化为32=9,所以B不正确;对于C,8-13=12可化为log812=-13,所以C正确;对于D,log77=1可化为71=7,所以D正确.故选B.
5、(1)若e=ln x,则x=　　　　;?
(2)若lg(ln x)=0,则x=　　　　;?
(3)若21+log4x=16,则x=　　　　.?
【答案】(1)ee　(2)e　(3)64
【解析】(1)因为e=ln x,所以x=ee.
(2)因为lg(ln x)=0,所以ln x=100=1.
所以x=e1=e.
(3)因为21+log4x=16=24,所以log4x=3.
所以x=43=64.
6、将下列指数式与对数式互化：
(1)log216＝4; (2)logfalse27＝－3；(3)false＝6; (4)43＝64；(5)3－2＝false (6) false＝16.
【答案】（1）false；（2）false；（3）false；（4）false；
（5）false；（6）logfalse16＝－2.
【解析】（1）∵log216＝4，∴ false。
（2）∵logfalse27＝－3，∴false。
（3）∵false＝6，∴false。
（4）∵43＝64，∴false。
（5）∵3－2＝false，∴false。
（6）∵false＝16，∴logfalse16＝－2。
考向二 对数的加减运算
1、若a＞0，a≠1，x＞0，y＞0，x＞y，下列式子中正确的个数是(　　)
①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；
③logafalse＝logax÷logay; ④loga(xy)＝logax·logay.
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】A
【解析】由对数的运算性质，得到logax?logay≠loga（x+y）；false ；
loga（xy）=logax+logay．　故选A
2、lg8＋3lg5的值为(　　)
A.－3 B.－1 C.1 D.3
【答案】D
【解析】false，故选D。
3、已知lg2=0.301，lg3=0.477 ,则lg12= ( )
A.0.778 B.1.079 C.0.301 D.0.477
【答案】B
【解析】因为false所以选B.
4、化简：
(1)false；
(2)(lg5)2＋lg2lg50＋2false.
【答案】（1）false （2）false
【解析】 (1)原式＝＝＝.
(2)原式＝(lg5)2＋lg2(lg5＋1)＋21·false＝lg5·(lg5＋lg2)＋lg2＋2＝1＋2.
5、若a、b是方程2lg2 x－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·false 的值．
【答案】12
【解析】原方程可化为2lg2x－4lg x＋1＝0，
设t＝lg x，则原方程化为2t2－4t＋1＝0，∴t1＋t2＝2，t1t2＝.
由已知a，b是原方程的两个根，则t1＝lg a，t2＝lg b，
即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝，lg(ab)·false ＝＝(lg a＋lg b)·false＝2×＝12.
故lg(ab)·false＝12.
考向三 换底公式
1、若log34·log8m＝log416，则m等于(　　)
A.3 B.9 C.18 D.27
【答案】D
【解析】原式可化为log8m＝false ，false ，即lg m＝false，
lg m＝lg 27，m＝27.故选D.
2、(log43+log83)(log32+log98)= 　　　　
【答案】2512
【解析】原式 =(lg3lg4+lg3lg8)(lg2lg3+lg8lg9)=(lg32lg2+lg33lg2)(lg2lg3+3lg22lg3)=5lg36lg2?5lg22lg3=2512.
3、已知 log107=a,14b=5，用 a,b 表示 log3528 =　　　　．
【答案】2?ab+a2ab+a+b
【解析】∵log107=a,14b=5，∴ lg7=a，b=lg5lg?2+lg?7，∴ lg5=b(1?lg5+a)，∴lg5=b+ab1+b，∴log3528=2lg2+lg7lg5+lg7=2(1?lg5)+lg7lg5+lg7=2(1?b+ab1+b)+ab+ab1+b+a=2?2ab+a+abb+ab+a+ab=2?ab+a2ab+a+b故答案为：2?ab+a2ab+a+b．
4、(1)计算(log23+log43)(log32+log274)的值.
(2)已知log189=a,18b=5,求log3645.(用a,b表示)
解:(1)原式=log23+12log23×log32+23log32
=32log23×53log32=52log23×log32
=52log23×1log23=52.
(2)∵18b=5,∴b=log185.
∴log3645=log1845log1836=log18(5×9)log18(2×18)
=log185+log189log182+log1818=a+b1+log182
=a+b1+log18189=a+b2-log189=a+b2-a.
考向四 对数的综合运算
1、如果lg 2=m,lg 3=n,则lg12lg15等于(　　)
(A)2m+n1+m+n (B)m+2n1+m+n
(C)2m+n1?m+n (D)m+2n1?m+n
【答案】C
【解析】因为lg 2=m,lg 3=n,
所以lg12lg15=2lg2+lg3lg3+lg5=2m+nn+1?lg2=2m+nn+1?m.故选C.
2、若lg x=m,lg y=n,则lg x-lg(y10)2的值为(　　)
(A)12m-2n-2 (B)12m-2n-1
(C)12m-2n+1 (D)12m-2n+2
【答案】D
【解析】因为lg x=m,lg y=n,所以lg x-lg(y10)2=12lg x-2lg y+2=12m-2n+2.故选D.
3、已知3a=5b=A,若1a+1b=2,则A=　　　　.?
【答案】15
【解析】因为3a=5b=A>0,所以a=log3A,b=log5A.由1a+1b=logA3+logA5=logA15=2,得A2=15,A=15.
4、已知log23=t,则log4854=　　　(用t表示).?
【答案】1+3t4+t
【解析】log23=t,则log4854=log254log248=1+3log234+log23=1+3t4+t.
5、解下列关于x的方程:
(1)lgx-1=lg(x-1);
(2)log4(3-x)+log0.25(3+x)=log4(1-x)+log0.25(2x+1).
【答案】(1)x=2 (2)x=0
【解析】(1)原方程等价于x-1=x-1,x-1>0.解之得x=2.
经检验x=2是原方程的解,
所以原方程的解为x=2.
(2)原方程可化为
log4(3-x)-log4(3+x)=log4(1-x)-log4(2x+1).即log43?x3+x=log41?x2x+1.
整理得3?xx+3=1?x2x+1,解之得x=7或x=0.
当x=7时,3-x<0,不满足真数大于0的条件,故舍去.
x=0满足,所以原方程的解为x=0.
6、求值:
(1)2log22-lg 2-lg 5+13(278)?2;
(2)lg 14-2lg73+lg 7-lg 18;
(3)计算:lg5·lg8 000+(lg 23)2lg600?12lg36?12lg0.01.
【答案】(1)49 (2)0 (3)1
【解析】(1)2log22-lg 2-lg 5+13(278)?2
=2×12-lg 10+(32)?6×(?13)
=1-1+49
=49.
(2)lg 14-2lg73+lg 7-lg 18
=lg[14÷(73)2×7÷18]
=lg 1=0.
(3)分子=lg 5(3+3lg 2)+3(lg 2)2=3lg 5+3lg 2(lg 5+
lg 2)=3,
分母=(lg 6+2)-lg 6+1=3,
所以原式=1.
7、已知a,b,c是△ABC的三边,并且关于x的二次方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lg a+1=0有等根,试判断△ABC的形状.
【答案】△ABC是直角三角形
【解析】由题意知Δ=0,
即(-2)2-4[lg(c2-b2)-2lg a+1]=0,
2lg a-lg(c2-b2)=0,lg a2c2-b2=0,a2c2-b2=1,a2+b2=c2,
故△ABC是直角三角形.