人教版八上高分笔记之导与练 11.2.2 三角形的外角（原卷+答案）

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11.2.2三角形的外角
知识要点：
1.三角形的一边与另一边的??
??组成的角叫做三角形的外角.
2．三角形的外角等于与它__
_____的两个内角的和.
3．如图，∠1是ΔABC的一个
，∠2=
+
__
∠1+∠2+∠3=?
?度.?
易错点睛
判断题：三角形的外角一定大于三角形的内角.(
??)?
典型例题
题型一
三角尺的组合问题
将一副直角三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的一条直角边和含45°角的三角尺的一条直角边在同一条直线上，则∠α的度数是（??????)
A.45°
B.60°
C.75°
D.85°
变式练习：
如图，将分别含有30°，450角的一副三角尺重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中∠a的度数为___
?
将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，点C在EF上，AC经过点D，已知∠A＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，∠BCE＝40°，则∠CDF的度数为___
°?
题型二
内外角性质的综合应用
如图，在ΔABC中，AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的平分线.求证：∠BED＝90°-∠C.?
变式练习：
如图，在ΔABC中，∠C＝36．若将ΔABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1-∠2的度数是（?）
A.36°
B.72°
C.50°
D.46°
2.如图，CE是RtΔABC的外角＜ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，∠BAC＝90°．求证：∠B＋2∠E＝90°．
例3、如图①，在ΔABC中，∠1＝∠2，∠C=∠B，E为AD上一点，且EF⊥BC于点F．
（1）试探索∠DEF与∠B，∠C的大小关系；
（2）如图②，当点E在AD的延长线上时，其余条件都不变，第（1）问中的结论是否仍成立？
变式练习：
1.如下几个图形是五角星和它的变形．
(1)图(1)中是一个五角星，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E；
(2)图(2)中的点A向下移到BE上时，五个角的和(即∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E)有无变化？说明你的结论的正确性；
(3)把图(2)中的点C向上移到BD上时，如图(3)所示，五个角的和(即∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E)有无变化？说明你的结论的正确性．
基础练习：
如图，CACD是ΔABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，CB＝40°，则∠ECD的度数为___
2.如图，图中x的值为???
第1题
第2题
第3题
第4题
3.如图，CE平分∠ACD，交AB于点E，∠A＝40°，∠B＝30°，∠D＝104°，则∠BEC的度数为___
4.如图，∠2＋∠3-∠1的度数为__
5.如图，在ΔABC中，D，E分别为AC，BC上的点，AE，BD交于点F，∠CAE＝20°，∠C＝40°，∠CBD＝30°．
（1）求∠AFB的度数；
（2）若∠BAF＝2∠ABF，求∠BAF的度数．
6.如图，在ΔABC中，∠B＝∠C，AE平分ΔABC的外角∠CAD．求证：AE//BC．
综合题探究
7.（1）【问题背景】如图1，在ΔABC中，∠ACB的平分线与ΔABC的外角∠ABF的平分线交于点E．
①【特例探寻】若／ABC＝80°，CACB＝60°，直接写出的值为_______
②【一般结论】求的值；
（2）【变式迁移】如图2，AB//CD，F为CD上一点，CABE的平分线与∠EFC的平分线交于点P，试探究∠P与∠E的数量关系，说明理由.
答案：
知识要点：
1.三角形的一边与另一边的??延长线??组成的角叫做三角形的外角.
2．三角形的外角等于与它__不相邻_____的两个内角的和.
3．如图，∠1是ΔABC的一个外角，∠2=∠BAC+∠BCA
∠1+∠2+∠3=?360?度.?
易错点睛
判断题：三角形的外角一定大于三角形的内角.(
x??)?
解析：①若外角为锐角，则外角小于相邻的内角；②若外角为直角，则外角等于相邻的内角。
典型例题
题型一
三角尺的组合问题
将一副直角三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的一条直角边和含45°角的三角尺的一条直角边在同一条直线上，则∠α的度数是（??????)
A.45°
B.60°
C.75°
D.85°
答案：C
解析：三角尺组合求角度，首先明确一副三角尺各角的度数，然后利用三角形内角和定理及其推论，并结合相关角之间的关系求解。
变式练习：
如图，将分别含有30°，450角的一副三角尺重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中∠a的度数为___140°?
将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，点C在EF上，AC经过点D，已知∠A＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，∠BCE＝40°，则∠CDF的度数为___25°?
题型二
内外角性质的综合应用
如图，在ΔABC中，AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的平分线.求证：∠BED＝90°-∠C.?
证明：：AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的平分线，
∠BAE=∠BAC,∠ABE=∠ABC,?
∠BED=∠BAB+∠ABB=(∠BAC+∠ABC)=(180°-∠C)=90°-∠C.
变式练习：
如图，在ΔABC中，∠C＝36．若将ΔABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1-∠2的度数是（?B?）
A.36°
B.72°
C.50°
D.46°
2.如图，CE是RtΔABC的外角＜ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，∠BAC＝90°．求证：∠B＋2∠E＝90°．
证明：CE是∠ACD的平分线，
∴∠ACE=∠DCE.?
∴∠LBAC=∠ACE+∠E=90°,?
∠DCE=∠B+∠E,?
∠ACE=90°-∠E=∠B+∠E.?
∴∠B+2∠E=90°.?
例3、如图①，在ΔABC中，∠1＝∠2，∠C=∠B，E为AD上一点，且EF⊥BC于点F．
（1）试探索∠DEF与∠B，∠C的大小关系；
（2）如图②，当点E在AD的延长线上时，其余条件都不变，第（1）问中的结论是否仍成立？
分析：（1）过点A作AG⊥BC于点G，则EF∥AG，故∠DEF=∠DAG，根据直角三角形的性质可知∠CAG=90°-∠C，再由三角形内角和定理可知∠BAC=180°-∠B-∠C，根据∠1=∠2可知，∠2=∠BAC=（180°-∠B-∠C），再根据∠DAG=∠2-∠CAG即可得出结论；
（2）过点A作AH⊥BC于H，根据直角三角形两锐角互余表示出∠CAH，根据角平分线的定义可得∠2，再表示出∠DAH，然后根据三角形的内角和定理可得∠DEF=∠DAH．
解答：（1）解：如图1所示，过点A作AG⊥BC于点G，则EF∥AG，∠DEF=∠DAG，
∵∠AGC=90°，
∴∠CAG=90°-∠C．
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠BAC=（180°-∠B-∠C）=90°-（∠B+∠C）．
∵∠DAG=∠2-∠CAG=90°-（∠B+∠C）-（90°-∠C）=（∠C-∠B），
即∠DEF=（∠C-∠B）；
变式练习：
1.如下几个图形是五角星和它的变形．
(1)图(1)中是一个五角星，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E；
(2)图(2)中的点A向下移到BE上时，五个角的和(即∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E)有无变化？说明你的结论的正确性；
(3)把图(2)中的点C向上移到BD上时，如图(3)所示，五个角的和(即∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E)有无变化？说明你的结论的正确性．
解：(1)如图，连接CD
　　在△ACD中，根据三角形内角和定理，得出∠A＋∠2＋∠3＋∠ACE＋∠ADB＝180°．
　　∵∠1＝∠B＋∠E＝∠2＋∠3，
　　∴∠A＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋∠E＝∠A＋∠B＋∠E＋∠ACE＋∠ADB＝∠A＋∠2＋∠3＋∠ACE＋∠ADB＝180°．
　　(2)无变化．
　　根据平角的定义，得出∠BAC＋∠CAD＋∠DAE＝180°．
　　∵∠BAC＝∠C＋∠E，∠EAD＝∠B＋∠D，
　　∴∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝∠BAC＋∠CAD＋∠DAE＝180°；
　　(3)无变化．
　　∵∠ACB＝∠CAD＋∠D，∠ECD＝∠B＋∠E，
∴∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝∠ACB＋∠ACE＋∠ECD＝180°．
基础练习：
如图，CACD是ΔABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，CB＝40°，则∠ECD的度数为___50°
2.如图，图中x的值为???60
第1题
第2题
第3题
第4题
3.如图，CE平分∠ACD，交AB于点E，∠A＝40°，∠B＝30°，∠D＝104°，则∠BEC的度数为?57°
4.如图，∠2＋∠3-∠1的度数为___180°
5.如图，在ΔABC中，D，E分别为AC，BC上的点，AE，BD交于点F，∠CAE＝20°，∠C＝40°，∠CBD＝30°．
（1）求∠AFB的度数；
（2）若∠BAF＝2∠ABF，求∠BAF的度数．
答案：（1）900（2）600
6.如图，在ΔABC中，∠B＝∠C，AE平分ΔABC的外角∠CAD．求证：AE//BC．
解：∵∠B＝∠C，∴∠CAD＝∠B＋∠C＝2∠C，∵AE平分∠CAD，
∴4∠EAC=∠CAD=∠C,?
∴AE//BC.?
综合题探究
7.（1）【问题背景】如图1，在ΔABC中，∠ACB的平分线与ΔABC的外角∠ABF的平分线交于点E．
①【特例探寻】若／ABC＝80°，CACB＝60°，直接写出的值为_______
②【一般结论】求的值；
（2）【变式迁移】如图2，AB//CD，F为CD上一点，CABE的平分线与∠EFC的平分线交于点P，试探究∠P与∠E的数量关系，说明理由.
解：（1）
（2）设∠ABF＝2y，∠ACF＝2x，在ΔABC中，∠ABF＝∠A＋ACB,
∠A=∠ABF-∠ACB=2y-2x=2(y-x).?
∵CE平分∠ACB，BE平分∠AFB，
4∠ECF=∠ACF=x,∠EBF=∠ABF=y.?
在ΔEBC中，∠E＝∠EBF-∠ECF＝y-x，==
∠E＝2∠P，理由如下：设∠EBA＝2x，∠EFC＝2y，设EF，PF与AB分别交于点N，M
∵BP平分∠EBA，FP平分∠EFC，
∴∠PBA＝∠EBA＝x，∠PFC＝∠EFC＝y．AB//CD，∴∠ENA＝∠EFC＝2y，
∠PMA=∠PFC=y.∠E=∠ENA-∠EBA=2y-2x=2(y-x),
∠P=∠PMA-∠PBA=y-x,∴∠E=2∠P.?
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