人教A版（2019）必修第一册学案
第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
第1课时 不等关系与比较大小
【学习目标】
1．了解现实世界和日常生活中的等量关系与不等关系．(数学抽象)
2．了解不等式(组)的实际背景，会用不等式(组)表示不等关系．(数学建模)
3．会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小．(数学运算)
【使用说明及学法指导】
1.预学指导：精读教材的内容，完成预学案，找出自己的疑惑；
2.探究指导：小组成员依次发表观点，有组织，有记录，有展示，有点评；
3.展示指导：规范审题，规范书写，规范步骤，规范运算；
4.检测指导：课堂上定时训练，展示答案；
5.总结指导：回扣学习目标，总结本节内容.
【预学案】
知识点1 不等式与不等关系
不等式的定义所含的两个要点．
(1)不等符号<，>，__≤__，__≥__或≠.
(2)所表示的关系是__不等关系__.
思考1：不等式“a≤b”的含义是什么？只有当“a提示：不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”，其含义是指“a知识点2 比较两实数a，b大小的依据
思考2：(1)在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？
(2)若“b－a>0”，则a，b的大小关系是怎样的？
提示：(1)是 (2)b>a
预学自测：
1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.( √ )
(2)若x2＝0，则x≥0.( √ )
(3)若x－1≤0，则x<1.( × )
(4)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a[解析] (1)不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2.
(2)若x2＝0，则x＝0，所以x≥0成立．
(3)若x－1≤0，则x<1或者x＝1，即x≤1.
(4)任意两数之间，有且只有a>b，a＝b，a2．大桥桥头立着的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系( C )
A．T<40
B．T>40
C．T≤40
D．T≥40
3．已知x<1，则x2＋2与3x的大小关系为__x2＋2>3x__.
【我的疑惑】
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【探究案】
探究一 用不等式(组)表示不等关系
例1
某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件．若把提价后商品的售价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？
[分析] 由“这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件”确定售价变化时相应每天的利润，由“每天的利润不低于300元”确定不等关系，即可列出不等式．
[解析] 若提价后商品的售价为x元，则销售量减少×10件，因此，每天的利润为(x－8)·[100－10(x－10)]元，则“每天的利润不低于300元”可以用不等式表示为(x－8)·[100－10(x－10)]≥300.
[归纳提升] 将不等关系表示成不等式的思路
(1)读懂题意，找准不等式所联系的量．
(2)用适当的不等号连接．
例2
某矿山车队有4辆载重为10
t的甲型卡车和7辆载重为6
t的乙型卡车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运360
t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．
[分析] 首先用变量x，y分别表示甲型卡车和乙型卡车的车辆数，然后分析已知量和未知量间的不等关系：(1)卡车数量与驾驶员人数的关系；(2)车队每天运矿石的数量；(3)甲型卡车的数量；(4)乙型卡车的数量．再将不等关系用含未知数的不等式表示出来，要注意变量的取值范围．
[解析] 设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则
即
[归纳提升] 用不等式组表示不等关系的方法
首先要先弄清题意，分清是常量与常量、变量与变量、函数与函数还是一组变量之间的不等关系；然后类比等式的建立过程找到不等词，选准不等号，将量与量之间用不等号连接；最后注意不等式与不等关系的对应，不重不漏，尤其要检验实际问题中变量的取值范围．
【对点练习】?
用一段长为30
m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18
m，要求菜园的面积不小于110
m2，靠墙的一边长为x
m，试用不等式表示其中的不等关系．
[解析] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x
m，而墙长为18
m，所以0这时菜园的另一条边长为＝(15－)(m)．
因此菜园面积S＝x·(15－)，依题意有S≥110，
即x(15－)≥110，
故该题中的不等关系可用不等式组表示为
探究二：比较实数的大小
例3
已知a，b为正实数，试比较＋与＋的大小．
[解析] 方法一(作差法)：(＋)－(＋)
＝(－)＋(－)
＝＋＝
＝.
∵a，b为正实数，∴＋>0，>0，(－)2≥0，
∴≥0，∴＋≥＋.
方法二(作商法)：＝
＝＝
＝＝1＋≥1.
∵＋>0，＋>0，∴＋≥＋.
方法三(平方后作差)：∵(＋)2＝＋＋2，(＋)2＝a＋b＋2，
∴(＋)2－(＋)2＝.
∵a>0，b>0，∴≥0.
又＋>0，＋>0，故＋≥＋.
[归纳提升] 比较大小的方法
1．作差法的依据：a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a步骤：作差—变形—判断差的符号—得出结论．
注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是多少无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或多个因式的积的形式．
2．作商法的依据：b>(<)0时，>1?a>(<)b；＝1?a＝b；<1?a<(>)b.
步骤：作商—变形—判断商与1的大小—得出结论．
注意：作商法的适用范围较小，且限制条件较多，用的较少．
3．介值比较法：(1)介值比较法的理论根据：若a>b，b>c，则a>c，其中b是a与c的中介值．(2)介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值．
【对点练习】?
当x≤1时，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[解析] 3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝3x2(x－1)＋(x－1)
＝(3x2＋1)(x－1)．
因为x≤1，所以x－1≤0，
而3x2＋1>0.
所以(3x2＋1)(x－1)≤0，
所以3x3≤3x2－x＋1.
【检测案】
1．下列说法正确的是( C )
A．某人月收入x不高于2
000元可表示为“x<2
000”
B．小明的身高x，小华的身高y，则小明比小华矮表示为“x>y”
C．某变量x至少是a可表示为“x≥a”
D．某变量y不超过a可表示为“y≥a”
[解析] A应为x≤2
000，B应为x2．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则( C )
A．a>b
B．aC．a≥b
D．a≤b
[解析] a－b＝3x2－x＋1－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，∴a－b≥0即a≥b，故选C．
3．设a，b∈R，定义运算“?”和“?”如下：a?b＝
a?b＝若m?n≥2，p?q≤2，则( A )
A．mn≥4且p＋q≤4
B．m＋n≥4且pq≤4
C．mn≤4且p＋q≥4
D．m＋n≤4且pq≤4
4．用不等式表示下面的不等关系：
(1)a与b的积是非负数：__ab≥0__；
(2)m与n的和大于p：__m＋n>p__；
(3)某学校规定学生离校时间t在16点到18点之间：__16≤t≤18__.
5．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是__x【课堂小结】人教A版（2019）必修第一册学案
第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
第1课时 不等关系与比较大小
【学习目标】
1．了解现实世界和日常生活中的等量关系与不等关系．(数学抽象)
2．了解不等式(组)的实际背景，会用不等式(组)表示不等关系．(数学建模)
3．会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小．(数学运算)
【使用说明及学法指导】
1.预学指导：精读教材的内容，完成预学案，找出自己的疑惑；
2.探究指导：小组成员依次发表观点，有组织，有记录，有展示，有点评；
3.展示指导：规范审题，规范书写，规范步骤，规范运算；
4.检测指导：课堂上定时训练，展示答案；
5.总结指导：回扣学习目标，总结本节内容.
【预学案】
知识点1 不等式与不等关系
不等式的定义所含的两个要点．
(1)不等符号<，>，______，______或≠.
(2)所表示的关系是__________.
思考1：不等式“a≤b”的含义是什么？只有当“a知识点2 比较两实数a，b大小的依据
思考2：(1)在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？
(2)若“b－a>0”，则a，b的大小关系是怎样的？
预学自测：
1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.(
)
(2)若x2＝0，则x≥0.(
)
(3)若x－1≤0，则x<1.(
)
(4)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a )
2．大桥桥头立着的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系(
)
A．T<40
B．T>40
C．T≤40
D．T≥40
3．已知x<1，则x2＋2与3x的大小关系为____________.
【我的疑惑】
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【探究案】
探究一 用不等式(组)表示不等关系
例1
某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件．若把提价后商品的售价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？
【归纳提升】 将不等关系表示成不等式的思路
例2
某矿山车队有4辆载重为10
t的甲型卡车和7辆载重为6
t的乙型卡车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运360
t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．
【归纳提升】 用不等式组表示不等关系的方法
【对点练习】?
用一段长为30
m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18
m，要求菜园的面积不小于110
m2，靠墙的一边长为x
m，试用不等式表示其中的不等关系．
探究二：比较实数的大小
例3
已知a，b为正实数，试比较＋与＋的大小．
【归纳提升】 比较大小的方法
【对点练习】?
当x≤1时，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
.
【检测案】
1．下列说法正确的是(
)
A．某人月收入x不高于2
000元可表示为“x<2
000”
B．小明的身高x，小华的身高y，则小明比小华矮表示为“x>y”
C．某变量x至少是a可表示为“x≥a”
D．某变量y不超过a可表示为“y≥a”
2．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则(
)
A．a>b
B．aC．a≥b
D．a≤b
3．设a，b∈R，定义运算“?”和“?”如下：a?b＝
a?b＝若m?n≥2，p?q≤2，则(
)
A．mn≥4且p＋q≤4
B．m＋n≥4且pq≤4
C．mn≤4且p＋q≥4
D．m＋n≤4且pq≤4
4．用不等式表示下面的不等关系：
(1)a与b的积是非负数：__
__；
(2)m与n的和大于p：__
_；
(3)某学校规定学生离校时间t在16点到18点之间：__
_.
5．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是__
__.
【课堂小结】
