人教A版（2019）必修第一册学案
第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
第2课时 不等式性质
【学习目标】
1．掌握不等式的性质及应用．(逻辑推理)
2．能运用等式的性质或不等式的性质解决相关问题．(逻辑推理)
【使用说明及学法指导】
1.预学指导：精读教材的内容，完成预学案，找出自己的疑惑；
2.探究指导：小组成员依次发表观点，有组织，有记录，有展示，有点评；
3.展示指导：规范审题，规范书写，规范步骤，规范运算；
4.检测指导：课堂上定时训练，展示答案；
5.总结指导：回扣学习目标，总结本节内容.
【预学案】
知识点1 不等式的性质
性质1 a>b?__b
性质2 a>b，b>c?__a>c__；(传递性)
性质3 a>b?__a＋c>b＋c__；(同加保序性)
推论：a＋b>c?__a>c－b__；(移项法则)
性质4 a>b，c>0?__ac>bc__，(乘正保序性)a>b，c<0?ac性质5 a>b，c>d?__a＋c>b＋d__；(同向相加保序性)
性质6 a>b>0，c>d>0?__ac>bd__；(正数同向相乘保序性)
性质7 a>b>0?__an>bn__(n∈N，n≥2)．(非负乘方保序性)
【思考】：(1)性质3的推论实际就是解不等式中的什么法则？
(2)性质4就是在不等式的两边同乘以一个不为零的数，不改变不等号的方向，对吗？为什么？
(3)使用性质6,7时，要注意什么条件？
提示：(1)移项法则．
(2)不对．要看两边同乘以的数的符号，同乘以正数，不改变不等号的方向，但是同乘以负数时，要改变不等号的方向．
(3)各个数均为正数．
预学自测：
1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若a>b，则ac2>bc2.( × )
(2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．( × )
(3)设a，b∈R，且a>b，则a3>b3.( √ )
(4)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.( × )
[解析] (1)由不等式的性质，ac2>bc2?a>b；反之，c＝0时，a>bac2>bc2.
(2)相乘需要看是否而相加与正、负和零均无关系．
(3)符合不等式的可乘方性．
(4)取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足a＋c>b＋d，但不满足a>b，故此说法错误．
2．设bA．a－c>b－d
B．ac>bd
C．a＋c>b＋d
D．a＋d>b＋c
3．已知a<0，－1A．a>ab>ab2
B．ab2>ab>a
C．ab>a>ab2
D．ab>ab2>a
[解析] 由－1又a<0，∴ab>ab2>a，故选D．
4．用不等号“>”或“<”填空：
(1)如果a>b，c__b－d；
(2)如果a>b>0，c(3)如果a>b>0，那么__<__；
(4)如果a>b>c>0，那么__<__.
[解析] (1)∵c－d，∵a>b，∴a－c>b－d.
(2)∵c－d>0.∵a>b>0，∴－ac>－bd，∴ac(3)∵a>b>0，∴ab>0，>0，∴a·>b·>0，
∴>>0，∴()2>()2，即<.
(4)∵a>b>0，所以ab>0，>0.于是a·>b·，即>，即<.∵c>0，∴<.
【我的疑惑】
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【探究案】
探究一、不等式性质的应用
例1
若aA．a2B．abC．>
D．ac2>bc2
[分析] 通过赋值可以排除A，D，根据不等式的性质可判断B，C正误．
[解析] 若ab，故不成立；对于C选项，<<0，故选项正确；对于D选项，当c＝0时，不正确．
[归纳提升] 判断关于不等式的命题真假的两种方法
(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断．
(2)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断．
【对点练习】?
设a，b是非零实数，若aA．a2B．ab2C．<
D．<
[解析] 当a<0，b>0时，a20，ab符号不确定，故B错.－＝<0，所以<，故C正确．D中与的大小不能确定．
探究二、利用不等式的性质证明不等式
例2
设a>b>c，求证：＋＋>0.
[分析] 不等式证明，就是利用不等式性质或已知条件，推出不等式成立．
[证明] 因为a>b>c，所以－c>－b.
所以a－c>a－b>0，所以>>0.
所以＋>0.又b－c>0，
所以>0.所以＋＋>0.
[归纳提升] 利用不等式的性质证明不等式注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
【对点练习】?
若a>b>0，c.
[证明] 因为c－d>0.
又因为a>b>0，所以a－c>b－d>0.
所以(a－c)2>(b－d)2>0.所以0<<.
又因为e<0，所以>.
探究三、利用不等式的性质求范围
例3
已知－1(1)求x－y的取值范围．
(2)求3x＋2y的取值范围．
[解析] (1)因为－1所以－3<－y<－2，
所以－4(2)由－1所以1<3x＋2y<18.
[归纳提升] 利用不等式的性质求取值范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
【对点练习】?
已知10[解析] 因为－30因为－30所以<－<，又10所以<－<，即<－<.
所以－<<－.
【检测案】
1．若a>b>0，cA．>
B．<
C．>
D．<
[解析] 因为c－d>0，
所以>>0.
又a>b>0，所以>，所以<.
2．已知a>b，c>d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是( D )
A．ad>bc
B．ac>bd
C．a－c>b－d
D．a＋c>b＋d
[解析] 令a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除A、B，C．由不等式的性质5知，D一定成立．
3．给定下列命题：
①0>a>b?a2>b2；②a2>b2?a>b>0；③a>b?<1；④a>b?a3>b3.
其中真命题的个数是( B )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 对于①，由0>a>b可知，0<－a<－b，则由性质7可知，(－b)2>(－a)2，即b2>a2，故①错误；对于②，性质7不具有可逆性，故②错误；对于③，只有当a>0且a>b时，<1才成立，故③错误；对于④，因为a>b，所以a－b>0，所以a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)[(a＋)2＋]>0，故a3>b3，④正确．
4．若a>b>0，则__<__(n∈N＋)．(填“>”或“<”)
[解析] ∵a>b>0，∴an>bn>0，
∴>，即<.
【课堂小结】人教A版（2019）必修第一册学案
第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
第2课时 不等式性质
【学习目标】
1．掌握不等式的性质及应用．(逻辑推理)
2．能运用等式的性质或不等式的性质解决相关问题．(逻辑推理)
【使用说明及学法指导】
1.预学指导：精读教材的内容，完成预学案，找出自己的疑惑；
2.探究指导：小组成员依次发表观点，有组织，有记录，有展示，有点评；
3.展示指导：规范审题，规范书写，规范步骤，规范运算；
4.检测指导：课堂上定时训练，展示答案；
5.总结指导：回扣学习目标，总结本节内容.
【预学案】
知识点1 不等式的性质
性质1 a>b?__
__；(对称性)
性质2 a>b，b>c?__
__；(传递性)
性质3 a>b?__
__；(同加保序性)
推论：a＋b>c?__
__；(移项法则)
性质4 a>b，c>0?__
__，(乘正保序性)a>b，c<0?ac性质5 a>b，c>d?__
__；(同向相加保序性)
性质6 a>b>0，c>d>0?__
__；(正数同向相乘保序性)
性质7 a>b>0?__
__(n∈N，n≥2)．(非负乘方保序性)
【思考】：(1)性质3的推论实际就是解不等式中的什么法则？
(2)性质4就是在不等式的两边同乘以一个不为零的数，不改变不等号的方向，对吗？为什么？
(3)使用性质6,7时，要注意什么条件？
预学自测：
1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若a>b，则ac2>bc2.(
)
(2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．(
)
(3)设a，b∈R，且a>b，则a3>b3.(
)
(4)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.(
)
2．设b )
A．a－c>b－d
B．ac>bd
C．a＋c>b＋d
D．a＋d>b＋c
3．已知a<0，－1 )
A．a>ab>ab2
B．ab2>ab>a
C．ab>a>ab2
D．ab>ab2>a
4．用不等号“>”或“<”填空：
(1)如果a>b，c__b－d；
(2)如果a>b>0，c__bd；
(3)如果a>b>0，那么__
__；
(4)如果a>b>c>0，那么__
__.
【我的疑惑】
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【探究案】
探究一、不等式性质的应用
例1
若a )
A．a2B．abC．>
D．ac2>bc2
【归纳提升】 判断关于不等式的命题真假的两种方法
【对点练习】?
设a，b是非零实数，若a )
A．a2B．ab2C．<
D．<
探究二、利用不等式的性质证明不等式
例2
设a>b>c，求证：＋＋>0.
【归纳提升】 利用不等式的性质证明不等式注意事项
【对点练习】?
若a>b>0，c.
探究三、利用不等式的性质求范围
例3
已知－1(1)求x－y的取值范围．
(2)求3x＋2y的取值范围．
【归纳提升】 利用不等式的性质求取值范围的策略
【对点练习】?
已知10【检测案】
1．若a>b>0，c )
A．>
B．<
C．>
D．<
2．已知a>b，c>d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是(
)
A．ad>bc
B．ac>bd
C．a－c>b－d
D．a＋c>b＋d
3．给定下列命题：
①0>a>b?a2>b2；②a2>b2?a>b>0；③a>b?<1；④a>b?a3>b3.
其中真命题的个数是(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
4．若a>b>0，则__<__(n∈N＋)．(填“>”或“<”)
【课堂小结】