第二十七章相似
单元测试
单选题(共12小题，每小题4分，共计48分)
1．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（ ）
A．2：5
B．3：5
C．9：25
D．4：25
2．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
4．如图，在△ABC中D为AC边上一点，若∠DBC＝∠A，，AC＝3，则CD长为(
)
A．1
B．
C．2
D．
5．在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标分别为：O(0，0)，A(1，2)，B(0，3)，以O为位似中心，△OA′B′与△OAB位似，若B点的对应点B′的坐标为(0，﹣6)，则A点的对应点A′坐标为(
)
A．(﹣2，﹣4)
B．(﹣4，﹣2)
C．(﹣1，﹣4)
D．(1，﹣4)
6．在平面直角坐标系中,点是线段上一点,以原点为位似中心把放大到原来的两倍,则点的对应点的坐标为(
)
A．
B．或
C．
D．或
7如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）
A．3：4
B．9：16
C．9：1
D．3：1
8．如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是(
)
A．∠B＝∠D
B．∠C＝∠AED
C．＝
D．＝
9．如图，在正方形ABCD中，G为CD的中点，连结AG并延长，交BC边的延长线于点E，对角线BD交AG于点F，已知AE=12，则线段FG的长是（ ）
A．2
B．4
C．5
D．6
10．要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为，和，另一个三角形的最短边长为2.5
cm，则它的最长边为（）
A．3cm
B．4cm
C．4.5cm
D．5cm
11．如图所示，下列条件中能单独判断△ABC∽△ACD的个数是（）个．
①∠ABC＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③＝；④AC2＝AD?AB
A．1
B．2
C．3
D．4
12．如图，CD是一平面镜，光线从A点射出经CD上的E点反射后照射到B点，设入射角为α（入射角等于反射角），AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C、D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则CE的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）
13．如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是_____．
14．已知，且，则的值为__________．
15．已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为_____．
16．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5
m，CD=8
m，则树高AB=．
17．如图，小军、小珠之间的距离为2.7
m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8
m，1.5
m，已知小军、小珠的身高分别为1.8
m，1.5
m，则路灯的高为____m.
解答题（共4小题，每小题8分，共计32分）
18．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．
19．如图，在锐角中，点、分别在边、上，于点，于点，
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
20．在一次数学活动课上，小芳到操场上测量旗杆的高度，她的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处(如图)，然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，利用她所测数据，求旗杆的高．
21．如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．
求证：△ABC∽△AED．第二十七章相似
单元测试
单选题(共12小题，每小题4分，共计48分)
1．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（ ）
A．2：5
B．3：5
C．9：25
D．4：25
【答案】C
【详解】
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，
∴△DEF∽△BAF．
∵DE：EC=3：2，
∴，
∴．
故选：C．
2．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
∵GE∥BD，GF∥AC，
∴△AEG∽△ABD，△DFG∽△DCA，
∴，，
∴．
故选：D．
3．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】D
【解析】
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，
∴△ABF∽△GDF，
∴=2，
∴AF=2GF=4，
∴AG=6．
∵CG∥AB，AB=2CG，
∴CG为△EAB的中位线，
∴AE=2AG=12．
故选：D．
4．如图，在△ABC中D为AC边上一点，若∠DBC＝∠A，，AC＝3，则CD长为(
)
A．1
B．
C．2
D．
【答案】C
【解析】
由题意知：在△BCD和△ACB中，∠C=∠C（公共角），∠DBC=∠A（已知），根据两角对相等的两三角形相似，可得△BCD∽△ACB，可得，可由BC=，AC=3，求得CD=2．
故选C
5．在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标分别为：O(0，0)，A(1，2)，B(0，3)，以O为位似中心，△OA′B′与△OAB位似，若B点的对应点B′的坐标为(0，﹣6)，则A点的对应点A′坐标为(
)
A．(﹣2，﹣4)
B．(﹣4，﹣2)
C．(﹣1，﹣4)
D．(1，﹣4)
【答案】A
【详解】
解：∵△OA′B′与△OAB关于O（0，0）成位似图形，且若B?（0，3）的对应点B′的坐标为（0，-6），
∴OB：OB'=1：2=OA：OA'
∵A（1，2），
∴A'（-2，-4）
故选：A．
6．在平面直角坐标系中,点是线段上一点,以原点为位似中心把放大到原来的两倍,则点的对应点的坐标为(
)
A．
B．或
C．
D．或
【答案】B
【解析】
点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，
则点P的对应点的坐标为（m×2，n×2）或（m×（-2），n×（-2）），即（2m，2n）或（-2m，-2n），
故选B．
7．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）
A．3：4
B．9：16
C．9：1
D．3：1
【答案】B
【详解】
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=3：4，
∴DE：AB=3：4，
∴S△DFE：S△BFA=9：16．
故选B．
8．如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是(
)
A．∠B＝∠D
B．∠C＝∠AED
C．＝
D．＝
【答案】C
【详解】
BAD
CAE，
A，B，D都可判定，
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似.
故选：C.
9．如图，在正方形ABCD中，G为CD的中点，连结AG并延长，交BC边的延长线于点E，对角线BD交AG于点F，已知AE=12，则线段FG的长是（ ）
A．2
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【详解】
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，
∴△ABF∽△GDF，
∴，
∴FG=AF，
∵CG∥AB，AB=2CG，
∴CG为△EAB的中位线，
∴AG=AE=6，
∴FG=AG=2．
故选：A．
10．要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为，和，另一个三角形的最短边长为2.5
cm，则它的最长边为（）
A．3cm
B．4cm
C．4.5cm
D．5cm
【答案】C
【详解】设另一个三角形的最长边为xcm，由题意得
5：2.5=9：x，
解得：x=4.5，
故选C.
11．如图所示，下列条件中能单独判断△ABC∽△ACD的个数是（）个．①∠ABC＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③＝；④AC2＝AD?AB
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】
有三个
①∠ABC＝∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
②∠ADC＝∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确
④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；
故选：C
12．如图，CD是一平面镜，光线从A点射出经CD上的E点反射后照射到B点，设入射角为α（入射角等于反射角），AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C、D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则CE的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解析】
试题解析：由镜面反射对称可知：∠A=∠B=∠α，∠AEC=∠BED.
∴△AEC∽△BED.
∴
又∵若AC=3，BD=6，CD=12，
∴
解得EC=4.
故选B.
填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）
13．如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是_____．
【答案】
【详解】
作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，
∵△ABC的面积是6，
∴BC?AH=6，
∴AH==3，
设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴，即，解得x=，
即正方形DEFG的边长为，
故答案为：．
14．已知，且，则的值为__________．
【答案】12
【解析】
∵，
∴设a=6x，b=5x，c=4x，
∵a+b-2c=6，
∴6x+5x-8x=6，
解得：x=2，
故a=12．
故答案为12．
15．已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为_____．
【答案】9
【详解】设四边形BCED的面积为x，则S△ADE=12﹣x，
∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，且DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
则=，即，
解得：x=9，
即四边形BCED的面积为9，
故答案为：9．
16．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5
m，CD=8
m，则树高AB=．
【答案】5.5
【详解】
试题分析：在△DEF和△DBC中，，
∴△DEF∽△DBC，
∴=，
即=，
解得BC=4，
∵AC=1.5m，
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m
17．如图，小军、小珠之间的距离为2.7
m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8
m，1.5
m，已知小军、小珠的身高分别为1.8
m，1.5
m，则路灯的高为____m.
【答案】3
【解析】
如图，∵CD∥AB∥MN，
∴△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF，
∴，
即，
解得：AB=3m，
答：路灯的高为3m．
解答题（共4小题，每小题8分，共计32分）
18．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．
【答案】河宽为17米．
【详解】∵CB⊥AD，ED⊥AD，
∴∠CBA＝∠EDA＝90°，
∵∠CAB＝∠EAD，
∴?ABC∽?ADE，
∴，
又∵AD=AB+BD，BD=8.5，BC＝1，DE＝1.5，
∴，
∴AB＝17，
即河宽为17米．
19．如图，在锐角中，点、分别在边、上，于点，于点，
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）详见解析；（2）
【详解】
（1）证明：（1）∵，，
∴，∵，
∴
∵，∴
（2）由（1）可知：，
∴
由（1）可知：，
∵，
∴
∴
20．在一次数学活动课上，小芳到操场上测量旗杆的高度，她的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处(如图)，然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，利用她所测数据，求旗杆的高．
【答案】21.5米
【详解】解：设旗杆高AB=x．过F作FG⊥AB于G，交CE于H（如图）．
因为CE∥AB
所以△AGF∽△EHF．
因为，FD=1.5，GF=27+3=30，HF=3，
所以，EH=3.5-1.5=2，AG=x-1.5．
由△AGF∽△EHF，
得,
即，
所以，x-1.5=20，
解得，x=21.5（米）
答：旗杆的高为21.5米．
21．如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．
求证：△ABC∽△AED．
【答案】证明见解析.
【详解】
∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD，
∵AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40，
∴，
∴△ABC∽△AED．
