2021-2022学年九年级数学华东师大版上册22.2.5　一元二次方程的根与系数的关系同步习题（word解析版）

22.2.5　一元二次方程的根与系数的关系
知识点
1　求一元二次方程两根的和与积
1.设方程3x2-2x-6=0的两个实数根分别为x1,x2,因为a=　　　　,b=　　　　,c=　　　　,所以x1+x2=-=　　　,x1x2==　　　　.?
2.[2020·邵阳]
设方程x2-3x+2=0的两根分别是x1,x2,则x1+x2的值为
(　　)
A.3
B.-
C.
D.-2
3.在下列方程中,以3,-4为根的一元二次方程是
(　　)
A.x2-x-12=0
B.x2+x-12=0
C.x2-x+12=0
D.x2+x+12=0
4.不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积:
(1)x2+3x+1=0;
(2)3x2-2x=1;
(3)-2x2+3=0;
(4)2x2+5x=0.
知识点
2　用根与系数的关系求值
5.已知α,β是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根,则α+β-αβ的值是
(　　)
A.3
B.1
C.-1
D.-3
6.已知x1,x2是关于x的方程x2+bx-3=0的两根,且满足x1+x2-3x1x2=5,那么b的值为
(　　)
A.4
B.-4
C.3
D.-3
7.[2020·遵义]
已知x1,x2是方程x2-3x-2=0的两根,则+的值为
(　　)
A.5
B.10
C.11
D.13
8.[2019·玉林]
若一元二次方程x2-x-2=0的两根为x1,x2,则1+x1+x2(1-x1)的值为
(　　)
A.4
B.2
C.1
D.-2
9.已知x1,x2是一元二次方程x2-3x-1=0的两根,不解方程求下列各式的值:
(1)x1+x2;
(2)x1x2;
(3)+;
(4)+.
知识点
3　已知方程及其一个根求方程的另一个根
10.[2020·黔东南州]
已知关于x的一元二次方程x2+5x-m=0的一个根是2,则另一个根是
(　　)
A.-7
B.7
C.3
D.-3
11.关于x的一元二次方程3x2+mx-8=0有一个根是,求该一元二次方程的另一个根及m的值.
12.若关于x的一元二次方程x2-(m+6)x+m2=0有两个相等的实数根,且满足x1+x2=x1x2,则m的值是
(　　)
A.-2或3
B.3
C.-2
D.-3或2
13.[教材练习第3(1)题变式]
关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是-2和1,则nm的值为
(　　)
A.-8
B.8
C.16
D.-16
14.定义运算:a★b=a(1-b).若a,b是关于x的方程x2-x+m=0(m<0)的两根,则b★b-a★a的值为
(　　)
A.0
B.1
C.2
D.与m有关
15.[2019·淄博]
若x1+x2=3,+=5,则下列以x1,x2为根的一元二次方程是
(　　)
A.x2-3x+2=0
B.x2+3x-2=0
C.x2+3x+2=0
D.x2-3x-2=0
16.已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2,且x1+x2≤0,则k的取值范围是　　　　　　.?
17.[2019·随州]
已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围;
(2)若x1+x2=3,求k的值及方程的根.
18.[2019·孝感]
已知关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根x1,x2.
(1)若a为正整数,求a的值;
(2)若x1,x2满足+-x1x2=16,求a的值.
19.[2020·随州]
已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m-2=0.
(1)求证:无论m取何值,此方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程有两个实数根x1,x2,且x1+x2+3x1x2=1,求m的值.
20.已知关于x的方程x2+(2m-1)x+m2=0有实数根.
(1)求m的取值范围.
(2)若方程的一个根为1,求m的值.
(3)设α,β是方程的两个实数根,是否存在实数m使得α2+β2-αβ=6成立?若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.
教师详解详析
1.3　-2　-6　　-2　
2.A　3.B
4.解:设方程的两根分别为x1,x2.
(1)x1+x2=-3,x1x2=1.
(2)x1+x2=,x1x2=-.
(3)x1+x2=0,x1x2=-.
(4)x1+x2=-,x1x2=0.
5.B　[解析]
∵α,β是方程x2+x-2=0的两个实数根,∴α+β=-1,αβ=-2,∴α+β-αβ=-1+2=1.故选B.
6.A　[解析]
∵x1,x2是关于x的方程x2+bx-3=0的两根,∴x1+x2=-b,x1x2=-3.
∵x1+x2-3x1x2=5,∴-b-3×(-3)=5,解得b=4.故选A.
7.D　[解析]
根据题意得x1+x2=3,x1x2=-2,
所以+=(x1+x2)2-2x1x2=32-2×(-2)=13.
8.A　[解析]
根据题意得x1+x2=1,x1x2=-2,所以1+x1+x2(1-x1)=1+x1+x2-x1x2=1+1-(-2)=4.
故选A.
9.解:(1)x1+x2=3.
(2)x1x2=-1.
(3)+=(x1+x2)2-2x1x2=32-2×(-1)=11.
(4)+===-3.
10.A
11.解:设方程的另一个根为t.
依题意得3×+m-8=0,
解得m=10.
又因为t=-,所以t=-4.
故该一元二次方程的另一个根是-4,m的值为10.
12.C　[解析]
∵x1+x2=m+6,x1x2=m2,x1+x2=x1x2,
∴m+6=m2,
解得m1=3,m2=-2.
∵方程x2-(m+6)x+m2=0有两个相等的实数根,∴Δ=b2-4ac=[-(m+6)]2-4m2=-3m2+12m+36=0,解得m1=6,m2=-2,
∴m=-2.
故选C.
13.C　[解析]
∵关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是-2和1,
∴-=-1,=-2,
∴m=2,n=-4,∴nm=(-4)2=16.
故选C.
14.A　[解析]
∵a,b是关于x的方程x2-x+m=0(m<0)的两根,∴a+b=1,ab=m,
∴b★b-a★a=b(1-b)-a(1-a)=b(a+b-b)-a(a+b-a)=ab-ab=0.故选A.
15.A　[解析]
∵+=5,∴(x1+x2)2-2x1x2=5,而x1+x2=3,∴9-2x1x2=5,
∴x1x2=2,∴以x1,x2为根的一元二次方程为x2-3x+2=0.故选A.
16.-≤k≤　[解析]
∵原方程有两个实数根,∴(2k+1)2-4(k2+2k)≥0,
∴4k2+4k+1-4k2-8k≥0,
∴1-4k≥0,∴k≤.
∵x1,x2是原方程的两根,x1+x2≤0,
∴x1+x2=-(2k+1)≤0,∴k≥-.
故k的取值范围是-≤k≤.
17.解:(1)∵关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根,
∴Δ>0,
∴[-(2k+1)]2-4(k2+1)>0,
整理,得4k-3>0,解得k>.
故k的取值范围为k>.
(2)∵方程的两个根分别为x1,x2,
∴x1+x2=2k+1=3,解得k=1,
∴原方程为x2-3x+2=0,
∴x1=1,x2=2.
18.解:(1)∵关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根,
∴Δ=[-2(a-1)]2-4(a2-a-2)>0,
解得a<3.
∵a为正整数,
∴a的值为1或2.
(2)∵x1+x2=2(a-1),x1x2=a2-a-2,
又∵+-x1x2=16,
∴(x1+x2)2-3x1x2=16,
∴[2(a-1)]2-3(a2-a-2)=16,
解得a1=-1,a2=6.
由(1)可知a<3,
∴a=-1.
19.解:(1)证明:∵Δ=(2m+1)2-4×1×(m-2)
=4m2+4m+1-4m+8
=4m2+9>0,
∴无论m取何值,此方程总有两个不相等的实数根.
(2)由根与系数的关系得x1+x2=-(2m+1),x1x2=m-2.
由x1+x2+3x1x2=1,得-(2m+1)+3(m-2)=1,解得m=8.
20.解:(1)根据题意,得Δ=(2m-1)2-4m2≥0,
解得m≤.
(2)把x=1代入方程,得1+2m-1+m2=0,
解得m1=0,m2=-2,
即m的值为0或-2.
(3)存在.
根据题意,得α+β=-(2m-1),αβ=m2.
∵α2+β2-αβ=6,
∴(α+β)2-3αβ=6,
即[-(2m-1)]2-3m2=6,
整理,得m2-4m-5=0,
解得m1=5,m2=-1.
∵m≤,
∴m的值为-1.