中小学教育资源及组卷应用平台
【北师大版八年级数学（上）单元测试卷】
第一章
勾股定理
一、选择题：（每小题3分共30分）
1．已知直角三角形的两条直角边分别为和，则斜边为（
）
A．
B．
C．
D．
解由已知，直角三角形的两条直角边分别为和，
第三边长，
故选C．
2．在Rt△ABC中，两条直角边的长分别为5和12，则斜边的长为（ ）
A．6
B．7
C．10
D．13
解：由勾股定理得，斜边长＝，
故选：D．
3．如图所示，在正方形中，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分），得到长为的正方形，则下列等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
解根据题意，在正方形ABCD中，将它剪去4个全等的直角三角形，得到长为c的正方形，
∴在中，，，，
∴，A选项不符合题意；
根据勾股定理得：，符合题意；
C：，不符合题意；
D：，不符合题意；
故选：B．
4．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝8cm，BC＝4cm，BF＝6cm，点M在棱AB上，且AM＝2cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ）
A．10cm
B．4cm
C．6cm
D．2cm
解：如图1中，MN＝（cm），
如图2中，MN＝（cm），
∵10＜2
∴一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为10cm，
故选：A．
5．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵大树在距地面5米的C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量树尖B与树桩A相距12米，则大树折断前高为（ ）
A．13米
B．17米
C．18米
D．22米
解：Rt△ABC中，AC=5米，AB=12米，
由勾股定理，得：米，
∴树的高度为：AC+BC=18米，
故选：C．
6．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相聚8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（ ）米．
A．
B．
C．
D．
解：两棵树的高度差为，间距为，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离．
故选：D．
7．在由边长为1的小正方形构成网格中的位置如图所示，则边上的高是（
）
A．
B．
C．
D．
解：作于D，如图所示，
∵小正方形的边长都为1，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故选：D．
8．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2022
B．2021
C．2020
D．1
解：由题意得，正方形A的面积为1，
由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积＝1，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
……
∴“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2022．
故选：A．
9．《九章算术》是我国古代数学的重要著作，其中有一道题，原文是：今有户不知高、广，从之不出二尺，斜之适出，不知其高、宽，有竿，竿比门宽长出4尺；竖放；斜放，竿与门对角线恰好相等问．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程（
）
A．x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2
B．2x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2
C．x2＝42＋（x﹣2）2
D．x2＝（x﹣4）2＋22
解：根据勾股定理可得：
x2=（x-4）2+（x-2）2，
故选：A．
10．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．
解：在Rt△ABC中，
∵AC＝6，BC＝8，
∴AB＝=＝10，
△ADE是由△ACD翻折，
∴AC＝AE＝6，EB＝AB?AE＝10?6＝4，
设CD＝DE＝x，
在Rt△DEB中，
∵，
∴，
∴x＝3，
∴CD＝3．
故答案为：B．
二.填空题：（每小题3分共15分）
11．在中，高，若，，则的面积为___________．
解：∵AD为边BC上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
在Rt△ABD中，，
在Rt△ACD中，，
当AD在三角形的内部时，BC=20+8=28，
所以△ABC的面积为×28×15=210；
当AD在三角形的外部时，BC=20-8=12，
所以△ABC的面积为×12×15=90．
故答案为：90或210．
12．如图，在中，，，．在上取一点，上取一点，连接，若，过点作，且点在的右侧，则的度数为__________．
解：在中，，，，
∵，即，
∴为直角三角形且．
过点C作交AB于点M，则，如下图所示，
∵，，
∴，
∴．
又∵，
∴．
故答案为：．
13．如图，台阶阶梯每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点，最短路程是____________．
解：如图所示，
∵楼梯的每一级的高宽长分别为20cm，宽40cm，长50cm，
∴(cm)
即蚂蚁从点A沿着台阶面爬行到点B的最短路程是130cm．
故答案为：130cm．
14．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，点，是方格纸的两个格点（即正方形的顶点）.在这张的方格纸中，找出格点，使为面积为1的直角三角形，则点的个数是________.
解：因为，，所以点距线段的距离为1.
如图，当为直角时，满足条件的点是，；
当为直角时，满足条件的点是，；
当为直角时，满足条件的点是，。
所以满足条件的点共有6个.
15．在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则的周长为_______________．
解当△ABC是钝角三角形时，
∵∠D=90°，AC=13，AD=12，
∴,
∵∠D=90°，AB=15，AD=12，
∴,
∴BC=BD-CD=9-5=4，
∴△ABC的周长=4+15+13=32；
当△ABC是锐角三角形时，
∵∠ADC=90°，AC=13，AD=12，
∴，
∵∠ADB=90°，AB=15，AD=12，
∴，
∴BC=BD-CD=9+5=14，
∴△ABC的周长=14+15+13=42；
综上，△ABC的周长是32或42，
故答案为：32或42.
三.解答题：（共55分）
16．如图，在中，是上的一点，若，，，，求的面积．
解：，
是直角三角形，
，
在中，，
，
．
因此的面积为84．
故答案为84．
17．如图，一架云梯长米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面米．
（1）这个梯子底端离墙有多少米？
（2）如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了米吗？
解：（1）由题意得此时a=24米，c=25米，根据a2+b2=c2，
∴b=7米；
（2）不是．设滑动后梯子的底端到墙的距离为b米，
得方程，b2+（24-4）2=252，
解得b=15，
所以梯子向后滑动了8米．
综合得：如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向不是滑4米．
18．如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？
解：设AE＝xkm，
∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE＝CE，即DE2＝CE2，
由勾股定理，得152+x2＝102+（25﹣x）2，x＝10．
故：E点应建在距A站10千米处．
19．为了抗旱保收，某市准备开采地下水，经探测，
处地下有水，为此处需要爆破，已知处与公路上的停靠站的距离为300m，与公路上的另一停靠站的距离为400m，且，如图所示，为了安全，爆破点周围250m的范围内禁止进入，向在进行爆破时，公路段某部分是否有危险而需要暂时封锁？
解因为，，，
由勾股定理，得.
如图，过点向作垂线，交于点.
由直角三角形面积公式，得，
即，
所以.
所以公路段某部分有危险需要暂时封锁.
20．如图，点是内一点，把绕点顺时针旋转得到，且，，.
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求的度数.
解：（1）是直角三角形理由如下：
绕点顺时针旋转得到，
，
，，
是等边三角形，
，
又，
，
是直角三角形.
（2）由（1）得，，是等边三角形，
，
，
.
21．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点
C为一海港，且点
C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有
小时．
解：（1）海港C受台风影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2＋BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形．
∴AC?BC＝CD?AB
∴CD＝240（km）
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受到台风影响．
（2）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，
∵ED＝＝70（km）
∴EF＝140km
∵台风的速度为20km/h，
∴140÷20＝7（小时）
即台风影响该海港持续的时间为7小时．
故答案为：7．
22．已知：AB=AC，且AB⊥AC，D在BC上，求证：．
解作AE⊥BC于E，如图所示．∵AB=AC，且AB⊥AC，∴△BAC是等腰直角三角形．∵AE⊥BC，∴BE=AE=EC，∴BD=BE－DE=AE－DE，DC=EC+DE=
AE+DE，∴BD2+CD2=
（AE－DE）2+（AE+DE）2=
AE2+DE2-2AE?DE+
AE2+DE2+2AE?DE=
2AE2+2DE2=
2（AE2+DE2）=2AD2．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【北师大版八年级数学（上）单元测试卷】
第一章
勾股定理
一、选择题：（每小题3分共30分）
1．已知直角三角形的两条直角边分别为和，则斜边为（
）
A．
B．
C．
D．
2．在Rt△ABC中，两条直角边的长分别为5和12，则斜边的长为（ ）
A．6
B．7
C．10
D．13
3．如图所示，在正方形中，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分），得到长为的正方形，则下列等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝8cm，BC＝4cm，BF＝6cm，点M在棱AB上，且AM＝2cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ）
A．10cm
B．4cm
C．6cm
D．2cm
5．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵大树在距地面5米的C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量树尖B与树桩A相距12米，则大树折断前高为（ ）
A．13米
B．17米
C．18米
D．22米
6．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相聚8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（ ）米．
A．
B．
C．
D．
7．在由边长为1的小正方形构成网格中的位置如图所示，则边上的高是（
）
A．
B．
C．
D．
8．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2022
B．2021
C．2020
D．1
9．《九章算术》是我国古代数学的重要著作，其中有一道题，原文是：今有户不知高、广，从之不出二尺，斜之适出，不知其高、宽，有竿，竿比门宽长出4尺；竖放；斜放，竿与门对角线恰好相等问．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程（
）
A．x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2
B．2x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2
C．x2＝42＋（x﹣2）2
D．x2＝（x﹣4）2＋22
10．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．
二.填空题：（每小题3分共15分）
11．在中，高，若，，则的面积为___________．
12．如图，在中，，，．在上取一点，上取一点，连接，若，过点作，且点在的右侧，则的度数为__________．
13．如图，台阶阶梯每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点，最短路程是____________．
14．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，点，是方格纸的两个格点（即正方形的顶点）.在这张的方格纸中，找出格点，使为面积为1的直角三角形，则点的个数是________.
15．在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则的周长为_______________．
三.解答题：（共55分）
16．如图，在中，是上的一点，若，，，，求的面积．
17．如图，一架云梯长米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面米．
（1）这个梯子底端离墙有多少米？
（2）如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了米吗？
18．如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？
19．为了抗旱保收，某市准备开采地下水，经探测，
处地下有水，为此处需要爆破，已知处与公路上的停靠站的距离为300m，与公路上的另一停靠站的距离为400m，且，如图所示，为了安全，爆破点周围250m的范围内禁止进入，向在进行爆破时，公路段某部分是否有危险而需要暂时封锁？
20．如图，点是内一点，把绕点顺时针旋转得到，且，，.
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求的度数.
21．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点
C为一海港，且点
C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有
小时．
22．已知：AB=AC，且AB⊥AC，D在BC上，求证：．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
