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【北师大版九年级数学（上）单元测试卷】
第二章：一元二次方程
一．选择题：（每小题3分共30分）
1．关于x的一元二次方程一个根是1，则a的值是（
）
A．0
B．1
C．3
D．-3
解：把代入可得：
，解得：；
故选C．
2．用配方法解方程时，原方程变形正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：方程，
变形得：，
配方得：，即，
故选：A．
3．若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
解：∵关于x的一元二次方程x2+k-3=0没有实数根，
∴Δ=02-4×1×（k-3）=-4k+12＜0，
∴k的取值范围是k＞3；
故选：A．
4．若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（
）
A．
B．4
C．25
D．5
解：解方程，得，
即，
∵四边形是菱形，
∴，
由勾股定理得，
即菱形的边长为，
5．若关于的一元二次方程
的一个根是2，则的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
解的一个根为2，设另一根为
，解得
又
故选D
6．元旦来临前，某商场将一件原价为a元的衬衫以一个给定的百分比提升价格，元旦那天商场又按照新的价格以相同的百分比降低了这件衬衫的价格，最终，衬衫的价格比原价降低了0.16a元，则这个给定的百分比为（
）
A．16%
B．36%
C．40%
D．50%
解：设这个给定的百分比为x，根据题意得，
a（1+x）（1-x）=a-0.16a，
解得x1=0.4，x2=-0.4（舍去），
即这个给定的百分比为40%．
故选：C．
7．已知关于x的一元二次方程标有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．
B．
C．且
D．
解：由题可得：,
解得：且；
故选：C．
8．方程x（x-2）=2x的解是
（
）
A．x=2
B．x=4
C．x1=0，x2=2
D．x1=0，x2=4
解：∵x（x﹣2）＝2x，
∴x（x﹣2）﹣2x＝0，
∴x（x﹣4）＝0，
则x＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝0，x2＝4．
故选：D．
9．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（
）
A．化为
B．化为
C．化为
D．化为
解：A、由原方程，得x2-2x=99，
等式的两边同时加上一次项系数-2的一半的平方1，得
（x-1）2=100；
故本选项正确，不符合题意；
B、由原方程，得x2+8x=9，
等式的两边同时加上一次项系数8的一半的平方16，得
；
故本选项正确，不符合题意；
C、由原方程，得
，
等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方
，得
；
故本选项错误，符合题意；
D、由原方程，得
3x2-4x=2，
化二次项系数为1，得
等式的两边同时加上一次项系数-的一半的平方，得
；
故本选项正确，不符合题意．
故选：C．
10．疫情期间，育才中学为每个班级准备了免洗抑菌洗手液．去市场购买时发现当购买量不超过100瓶时，洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，每瓶单价就降低元，但最低价格不能低于每瓶5元．若学校购买洗手液共花费1200元，则购买洗手液的瓶数是（
）
A．200
B．150
C．150或200
D．200或300
解设购买洗手液x瓶，
∵＜，
∴＞，
∴，
解得：，，
∵，
∴，
∴；
故答案选A．
二.填空题：（每小题3分共15分）
11．若一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是________．
解：根据题意得m-1≠0且△=42-4（m-1）×3≥0，
解得m≤且m≠1．
故答案为：m≤且m≠1．
12．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为______．
解：
（x－2）（x－3）=0
解得：x=2或x=3，
当等腰三角形的三边为2，2，3时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，周长为7；
当等腰三角形的三边为2，3，3时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，周长为8，
所以三角形的周长为7或8，
故填：7或8．
13．方程的根是__．
解：
去分母得x2＝1，
解得x1＝1，x2＝﹣1，
检验：当x＝1时，x+1≠0，当x＝﹣1时，x+1＝0，所以x＝﹣1是原方程的增根，
所以原方程的根为x＝1；
故答案为x＝1．
14．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则b＝_____．
解：∵x2﹣8x＝5，
∴x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，
故答案为：21．
15．如图，在△ABC中，AC＝50cm，BC＝40cm，∠C＝90°，点P从点A出发沿AC边向点C以2cm/s的速度匀速移动，同时另一点Q从点C出发沿CB边向点B以3cm/s的速度匀速移动，当△PCQ的面积等于300cm2时，运动时间为__．
解：设x秒后，△PCQ的面积等于300m2，有：
（50﹣2x）×3x＝300，
∴x2﹣25x＋100＝0，
∴x1＝20，x2＝5．
当x＝20时，CQ＝3x＝3×20＝60＞BC＝40，
即x＝20s不合题意，舍去．
答：5秒后，△PCQ的面积等于300cm2．
故答案是：5s．
三、解答题：（共55分）
16．解方程：
（1）；
（2）．
解：(1)
，即
∴a=1，b=4，c=-1，△=b2-4ac=16+4=20，
∴，
∴，．
(2)
分解因式得：
可得或
∴，
17．已知关于的一元二次方程
(为常数）．
（1）当时，求这个方程的解：
（2）当为何值时，此方程有两个相等的实数根?为何值时，此方程没有实数根?
解（1），
，
，
解得；
（2），
即：
当，即时，此方程有两个相等的实数根．
当，即时，此方程没有实数根．
18．小张经营一家水果店，某日到水果批发市场批发一种水果，经了解，一次性批发这种水果不得少于千克，超过千克时，所有这种水果的批发单价均为3.5元/千克，图中折线表示批发单价（元/千克）与质量（千克）的函数关系，
（1）求线段所在直线的函数解析式；
（2）小张用元一次可以批发这种水果的质量是多少千克？
解：（1）由题意，设线段所在直线的函数解析式为．
，在此函数图像上，
解得，．
．
（2）当，时，总共花费元>元，
小张用元一次可以批发这种木果的质量的范围在到之间．
由题意，得：，
得，（不合题意，舍去）．
答：小张用元一次可以批发这种水果的质量是千克．
19．受今年疫情的影响，原材料价格上涨，为提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种新型电子产品进行提价销售，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为60元时，每天可售出100个；若销售单价每提高10元，每天就少售出20个．已知每个电子产品的固定成本为50元．
（1）若销售单价提高20元，则平均每天可售出多少个？
（2）既要考虑公司的利润，保证公司每天可获利1600元，又要让利于消费者，这种电子产品的销售单价定为多少元合适？
解：（1）由题意得：
（个）；
答：平均每天可售出60个．
（2）设这种电子产品的销售单价定为x元，由题意得：
，
解得：，
∵要让利于消费者，
∴；
答：这种电子产品的销售单价定为70元合适．
20．已知：?ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+4＝0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为1，那么?ABCD的周长是多少？
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+4＝0的两个实数根，
∴，
解得：（负根舍去），
∴m=4，
∴，解得：，
∴，即菱形的边长为2；
（2）把AB=1代入方程得：，解得：，
∴原方程为，
解得：，
∴，
∴?ABCD的周长为．
21．2021年5月22日，“祝融号”火星车安全驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测工作．着陆点附近的火星表面照片显示，最佳探测路线有两条，西线地势平坦，行程米，东线地势稍有起伏，行程米，走西线比走东线多用小时，走西线的速度比走东线的速度每小时快米．同时，为了确保安全，火星车的速度要小于米/小时，问走东线、走西线的速度各是多少？
解：设走东线的速度为x米/小时，
∵走西线的速度比走东线的速度每小时快米，
∴走西线的速度为（x+60）米/小时，
∵走西线比走东线多用小时，
∴，
解得：，，
∵火星车的速度要小于米/小时，
∴，
经检验：是分式方程的解，
∴x+60=90，
答：走东线、走西线的速度分别为30米/小时，90米/小时．
22．如图1，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、点，与正比例函数的图象交于点，将点向右平移1个单位，再向下平移6个单位得到点．
（1）求的周长和点的坐标；
（2）如图2，点是轴上一动点，当最小时，求点的坐标；
（3）若点是轴上一动点，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标．
解：（1）在中，
当x=0时，y=4，当y=0时，由得：x=8，
∴A（8，0）、B（0，4）．
∴，．
∴．
∴△OAB的周长．
联立与，解得：
．
∴点（2，3）．
由题意得：点（3，﹣3）；
（2）作点关于轴的对称点，则．
连接交轴于点．
连接，此时最小．
设直线的解析式为，把点（2，3），代入得：
．解得：，．
∴直线的解析式为．
当时，．
∴点（0，），
即当最小时，点的坐标为（0，）；
（3）设点Q（x，0），
∵D（3，﹣3），O（0，0），
∴OD2=（3﹣0）2+（﹣3﹣0）2=18，
OQ2=（x﹣0）2+（0﹣0）2=x2，
DQ2=（x﹣3）2+（0+3）2=x2﹣6x+18，
当为等腰三角形时，可分三种情况：
当OD=OQ时，由18=x2得：x=±，
∴（，0），或（，0），
当OD=DQ时，由18=
x2﹣6x+18得：
x=6或x=0（与O重合，舍去），∴（6，0），
当OQ=DQ时，由x2=x2﹣6x+18得：x=3，
∴（3，0），
综上，为等腰三角形时，点Q坐标为（，0），或（，0），或（3，0），或（6，0）．
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第二章：一元二次方程
一．选择题：（每小题3分共30分）
1．关于x的一元二次方程一个根是1，则a的值是（
）
A．0
B．1
C．3
D．-3
2．用配方法解方程时，原方程变形正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
4．若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（
）
A．
B．4
C．25
D．5
5．若关于的一元二次方程
的一个根是2，则的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
6．元旦来临前，某商场将一件原价为a元的衬衫以一个给定的百分比提升价格，元旦那天商场又按照新的价格以相同的百分比降低了这件衬衫的价格，最终，衬衫的价格比原价降低了0.16a元，则这个给定的百分比为（
）
A．16%
B．36%
C．40%
D．50%
7．已知关于x的一元二次方程标有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．
B．
C．且
D．
8．方程x（x-2）=2x的解是
（
）
A．x=2
B．x=4
C．x1=0，x2=2
D．x1=0，x2=4
9．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（
）
A．化为
B．化为
C．化为
D．化为
10．疫情期间，育才中学为每个班级准备了免洗抑菌洗手液．去市场购买时发现当购买量不超过100瓶时，洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，每瓶单价就降低元，但最低价格不能低于每瓶5元．若学校购买洗手液共花费1200元，则购买洗手液的瓶数是（
）
A．200
B．150
C．150或200
D．200或300
二.填空题：（每小题3分共15分）
11．若一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是________．
12．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为______．
13．方程的根是__．
14．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则b＝_____．
15．如图，在△ABC中，AC＝50cm，BC＝40cm，∠C＝90°，点P从点A出发沿AC边向点C以2cm/s的速度匀速移动，同时另一点Q从点C出发沿CB边向点B以3cm/s的速度匀速移动，当△PCQ的面积等于300cm2时，运动时间为__．
三、解答题：（共55分）
16．解方程：
（1）；
（2）．
17．已知关于的一元二次方程
(为常数）．
（1）当时，求这个方程的解：
（2）当为何值时，此方程有两个相等的实数根?为何值时，此方程没有实数根?
18．小张经营一家水果店，某日到水果批发市场批发一种水果，经了解，一次性批发这种水果不得少于千克，超过千克时，所有这种水果的批发单价均为3.5元/千克，图中折线表示批发单价（元/千克）与质量（千克）的函数关系，
（1）求线段所在直线的函数解析式；
（2）小张用元一次可以批发这种水果的质量是多少千克？
19．受今年疫情的影响，原材料价格上涨，为提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种新型电子产品进行提价销售，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为60元时，每天可售出100个；若销售单价每提高10元，每天就少售出20个．已知每个电子产品的固定成本为50元．
（1）若销售单价提高20元，则平均每天可售出多少个？
（2）既要考虑公司的利润，保证公司每天可获利1600元，又要让利于消费者，这种电子产品的销售单价定为多少元合适？
20．已知：?ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+4＝0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为1，那么?ABCD的周长是多少？
21．2021年5月22日，“祝融号”火星车安全驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测工作．着陆点附近的火星表面照片显示，最佳探测路线有两条，西线地势平坦，行程米，东线地势稍有起伏，行程米，走西线比走东线多用小时，走西线的速度比走东线的速度每小时快米．同时，为了确保安全，火星车的速度要小于米/小时，问走东线、走西线的速度各是多少？
22．如图1，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、点，与正比例函数的图象交于点，将点向右平移1个单位，再向下平移6个单位得到点．
（1）求的周长和点的坐标；
（2）如图2，点是轴上一动点，当最小时，求点的坐标；
（3）若点是轴上一动点，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标．
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