2020-2021学年人教版数学八年级上册11.2.2三角形的外角课件ppt（共30张ppt）

三角形的内角是三角形内部的骄子
什么都没有呀，让人感到很无奈
那三角形的外部呢？
只要你添上一笔就精彩了
α
外角
那就让我们
A
B
C
D
E
想一想
?
同学们，你们知不知道国旗上的五角星的五个角的和是多少度吗?
关注三角形的外角
B
A
C
D
如左图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD,像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角
60°
70°
上图中∠A=70°, ∠B =60° ∠ACD是△ABC的一个外角,你能求出∠ACD 是多少度？
画图并思考：
　画一个△ABC ，你能画出它的所有外角来吗？请动手试一试．同时想一想△ABC的外角共有几个呢？
归纳：
　　每一个三角形都有６个外角．
每一个顶点相对应的外角都有２个．
每个外角与相应的内角是邻补角．
已知∠A＝60°∠B＝50°则∠1＝___°∠2＝___°
探一探
?
A
B
C
D
2
1
A
B
C
D
1
2
已知∠A＝30°∠B＝40°则∠1＝___°∠2＝___°
　　根据以上结果，你能找到三角形外角与内角之间的关系吗？请大胆写出来！
70
110
110
70
关注三角形的外角
B
A
C
D
由上边的计算结果，你发现了什么
你能得到什么结论
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
1
（CE//BA）
A
E
擅长画平行线的小明用另一种方法解释了这个性质，看动画，你知道他是怎么解释的吗？
C
B
D
三角形外角与内角关系有：
相邻时:
∠１+∠２=1800 ;
探索思考
?
用文字表述为:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
A
B
C
D
2
1
不相邻时:
∠２=∠A+∠B
∠２>∠A
∠２>∠B
在这里,我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理.像这样,由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论(corollary).
推论可以当作定理使用.
三角形内角和定理的推论:
推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
关注▲外角
?
A
B
C
D
2
1
数学语言
推论1: ∠２=∠A+∠B.
推论2: ∠２>∠A;
　　　　　∠２>∠B;
3、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
2、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
1、三角形的一个外角与它相邻的内角互补；
三角形的外角与内角的关系：
已知:如图,在△ABC中,外角∠DCA=100°,∠A=45°.
求:∠B和∠ACB的大小.
随堂练习
?
A
B
C
D
如图，D 是△ABC 的BC 边上一点，
∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，
∠BAC=70°.
求：（1）∠B 的度数；
（2）∠C 的度数.
典型例题
5.如图：已知在△ABC中，EF与AC交于点G，与BC的延长线交于点F，∠B=450 ，∠F=300，∠CGF=700，
求∠A的度数.
A
E
G
F
C
B
如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，你能利用三角形的内角和等于1800求出这三个外角的和吗？
A
B
C
D
E
F
A
B
C
1
2
3
方法1
方法2
三角形的外角和定理：
三角形的外角和等于360°
∠1＋∠2 ＋∠3 ＝ ?
从哪些途径探究这个结果
议一议
A
B
C
1
2
3
∠2＋ ∠ABC=180°
∠3＋ ∠ACB=180°
三个式子相加得到
∠1＋ ∠2＋ ∠3＋ ∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=540°
而∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=180°
∠1＋ ∠2＋ ∠3＝360°
∠1＋ ∠BAC=180°
解：
解：过A作AD平行于BC
∠3＝ ∠4
B
C
1
2
3
4
A
∠2＝ ∠BAD
所以， ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠4＋ ∠BAD=360°
两直线平行，同位角相等
D
已知:如右图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.
证明:∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),
∴ AD ∥BC(内错角相等,两直线平行).
∠B=∠C (已知),
∴∠DAC=∠C(等量代换).
A
C
D
B
E
分析:要证明AD∥BC,只需要证明“同位角相等”,“内错角相等”或“同旁内角互补”.
∵ AD平分 ∠EAC(已知).
∴∠C= ∠EAC(等式性质).
∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义).
·
·
例题是运用了定理“内错角相等,两直线平行”得到了证实.
已知:如图所示.
求证:(1)∠BDC>∠A;
(2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C.
证明(1):∵ ∠BDC是△DCE的一个外角 (外角意义),
∴ ∠BDC>∠CED(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角).
∴ ∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角).
∴ ∠BDC>∠A (不等式的性质).
∵ ∠DEC是△ABE的一个外角 (外角意义),
B
C
A
D
E
关注三角形的外角
已知:如图所示.
求证:(1)∠BDC>∠A;
(2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C.
证明(2):∵ ∠BDC是△DCE的一个外角 (外角意义),
∴ ∠BDC =∠C+∠CED(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).
∴ ∠DEC=∠A+ ∠B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和).
∴ ∠BDC=∠A+∠B+∠C (等式的性质).
∵ ∠DEC是△ABE的一个外角 (外角意义),
B
C
A
D
E
关注三角形的外角
已知:五角星如图所示.
求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
解:∵∠1是△BDF的一个外角
∴ ∠1=∠B+∠D
分析:设法利用外角把这五个角“凑”到一个三角形中,运用三角形内角和定理来求解.
又∵∠A+∠1+∠2=180°( ? )
又 ∵ ∠2是△EHC的一个外角
∴ ∠2=∠C+∠E
A
B
C
D
E
F
1
H
2
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =180°
想一想
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝ .
A
D
E
C
F
B
1
2
3
360°
N
P
M
判断题：
1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（ ）
2、三角形的外角和等于它内角和的2倍。（ ）
3、三角形的一个外角等于两个内角的和。（ ）
4、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。（ ）
5、三角形的一个外角大于任何一个内角。（ ）
6、三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。（ ）
例题2：在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=80° ∠C=30 °
（1）求∠DAE
（2）你能发现∠DAE与∠B、∠C的关系吗？
（3）若只知∠B-∠C=20°，你能求出∠DAE吗？
A
B
C
D
E
△ABC中，∠B、∠C的内角（外角）平分线交于D，已知∠A=x°,用x的式子表示∠BDC

如图，类似于三角形，我们称
∠1+ ∠2+ ∠3+ ∠4为四边形的外角和，
已知四边形的内角和为360?，你能用今
天所学的方法进行推理计算吗？能知道
多边形的外角和吗?
1
2
3
4
A
B
C
D
已知：P是△ABC内一点。
求证：∠BPC＞∠BAC
A
B
C
P
D
三角形内角和定理的推论:
推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
△ABC中:
推论1: ∠２=∠A+∠B.
推论2: ∠２>∠A;
　　　∠２>∠B;
小 结
?
这个结论以后可以直接运用.
A
B
C
D
2
1
再见！