人教版A版高中数学必修二2.2.4平面与平面平行的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知直线，两个不重合的平面.若//，，则下列四个结论中正确的是（
）
①与内的所有直线平行；
②与内的无数条直线平行；
③与内任何一条直线都不垂直；
④与没有公共点.
A．①②
B．②④
C．②③
D．③④
2．已知平面平面，直线，直线，下列结论中不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．与不相交
3．已知长方体,平面平面,平面平面,则与的位置关系是(
)
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
4．设平面平面，在平面内的一条直线垂直于平面内的一条直线，则（
）
A．直线必垂直于平面
B．直线必垂直于平面
C．直线不一定垂直于平面
D．过的平面与过的平面垂直
5．平面平面，直线，
，那么直线与直线的位置关系一定是（
）
A．平行
B．异面
C．垂直
D．不相交
6．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，，点E，F，M分别为C1D1，A1D1，B1C1的中点，过点M的平面α与平面AEF平行，且与长方体的面相交，则交线围成的几何图形的面积为（
）
A．
B．
C．12
D．24
7．已知正方体的棱长为2，点在线段上，且，平面经过点，则正方体被平面截得的截面面积为（
）
A．
B．
C．
D．
8．，则与位置关系是
( )
A．平行
B．异面
C．相交
D．平行或异面或相交
9．如图，在长方体中，，，，，分别为，，的中点，点在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
10．如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且截面，则线段长度的取值范围是（
）.
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．如图所示，三棱台的一条侧棱所在直线与平面的位置关系是__________.
12．以下结论中，正确结论的序号为_________.
①过平面外一点P，有且仅有一条直线与平行；
②过平面外一点P，有且仅有一个平面与平行；
③过直线外一点P，有且只有一条直线与平行；
④过直线外一点P，有且只有一个平面与平行；
⑤与两个相交平面的交线平行的直线必与两相交平面都平行；
⑥，，过A与平行的直线必在内.
13．如图所示，在正方体中，M，N分别是和的中点，
则（1）所在的直线与平面的位置关系是________；
（2）所在的直线与平面的位置关系是_________；
（3）所在的直线与平面的位置关系是_________.
14．下列说法正确的有：________.
①如果一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
②如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
③分别在两个平行平面内的两条直线互相平行；
④过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行.
15．如图，正方体的棱长为，动点在线段上，、分别是、的中点，则下列结论中正确的是______________.
①与所成角为；
②平面；
③存在点，使得平面平面；
④三棱锥的体积为定值.
三、解答题
16．判断下列命题的真假.
（1）；
（2）；
（3）.
17．如图所示，以AB＝4
cm，BC＝3
cm的长方形ABCD为底面的长方体被平面斜着截断的几何体，EFGH是它的截面．当AE＝5
cm，BF＝8
cm，CG＝12
cm时，试回答下列问题：
(1)求DH的长；
(2)求这个几何体的体积；
(3)截面四边形EFGH是什么图形？证明你的结论．
18．如图，在四棱锥O﹣ABCD中，OA⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，且OA＝2，M，N分别为OA，BC的中点.
（1）求证：直线MN平面OCD；
（2）求点B到平面DMN的距离.
19．将三棱锥与拼接得到如图所示的多面体，其中，，，分别为，，，的中点，.
（1）当点在直线上时，证明：平面；
（2）若与均为面积为的等边三角形，求该多面体体积的最大值.
20．如图，在棱长为a的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别为CC1、AD的中点，求异面直线OE和FD1所成角的余弦值.
试卷第1页，总3页人教版A版高中数学必修二2.2.4平面与平面平行的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知直线，两个不重合的平面.若//，，则下列四个结论中正确的是（
）
①与内的所有直线平行；
②与内的无数条直线平行；
③与内任何一条直线都不垂直；
④与没有公共点.
A．①②
B．②④
C．②③
D．③④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据面面平行的性质以及定义，可得结果.
【详解】
由面面平行的性质知①错误；
由面面平行的性质知②正确；
与内的直线可能异面垂直，故③错；
由面面平行的定义知④正确.
故选：B
【点睛】
本题主要考查面面平行的性质，属基础题.
2．已知平面平面，直线，直线，下列结论中不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．与不相交
【答案】C
【解析】
【分析】
根据面面平行的定义和性质可得选项.
【详解】
根据面面平行的的定义和性质知:
平面平面，直线，直线，则，
，
与不相交，
故选:C.
【点睛】
本题考查面面平行的定义和性质，属于基础题.
3．已知长方体,平面平面,平面平面,则与的位置关系是(
)
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
【答案】A
【解析】
【分析】
由长方体的特点可以得到平面平面,接下来根据面面平行的性质定理可以得到结果.
【详解】
因为几何体是长方体,所以平面平面,由已知条件得平面平面,平面平面,则由面面平行的性质定理得:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,则它们的交线平行,所以与的位置关系是平行.
故选:
【点睛】
本题考查了面面平行的性质定理,在两个平行平面中的两条直线的位置关系有平行和异面两种情况,但本题有第三个平面和两个平行平面相交,则由面面平行的性质定理即可判定出结果.
4．设平面平面，在平面内的一条直线垂直于平面内的一条直线，则（
）
A．直线必垂直于平面
B．直线必垂直于平面
C．直线不一定垂直于平面
D．过的平面与过的平面垂直
【答案】C
【解析】
【分析】
根据是否是两个垂直平面的交线，判断出正确的选项.
【详解】
当时，有；当不是与的交线时，直线不一定垂直于平面，如下图所示.故选C.
【点睛】
本小题主要考查面面垂直的性质定理的理解，考查分析与解决问题的能力，属于基础题.
5．平面平面，直线，
，那么直线与直线的位置关系一定是（
）
A．平行
B．异面
C．垂直
D．不相交
【答案】D
【解析】
【分析】
利用空间中线线、线面、面面的位置关系得出直线与直线没有公共点.
【详解】
由题平面平面
，直线，
则直线与直线的位置关系平行或异面，即两直线没有公共点，不相交.
故选D.
【点睛】
本题考查空间中两条直线的位置关系，属于简单题．
6．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，，点E，F，M分别为C1D1，A1D1，B1C1的中点，过点M的平面α与平面AEF平行，且与长方体的面相交，则交线围成的几何图形的面积为（
）
A．
B．
C．12
D．24
【答案】A
【解析】
【分析】
设N为A1B1的中点，连结MN，AN、AC、CM，则四边形MNAC为所作图形，再求其面积可得答案.
【详解】
解：设N为A1B1的中点，连结MN，AN、AC、CM，则四边形MNAC为所作图形．
由题意知MN∥A1C1（或∥EF），四边形MNAC为梯形，
且MNAC＝2，
过M作MP⊥AC于点P，
可得MC2，PC，
得MP
∴梯形MNAC的面积6，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查面面平行的判定与性质及梯形面积的计算，属于基础题型.
7．已知正方体的棱长为2，点在线段上，且，平面经过点，则正方体被平面截得的截面面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解.
【详解】
如图所示：
确定一个平面，
因为平面平面，
所以，同理，
所以四边形是平行四边形.
即正方体被平面截的截面.
因为，
所以，
即
所以
由余弦定理得：
所以
所以四边形
故选：B
【点睛】
本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.
8．，则与位置关系是
( )
A．平行
B．异面
C．相交
D．平行或异面或相交
【答案】D
【解析】
结合图(1)，(2)，(3)所示的情况，可得a与b的关系分别是平行、异面或相交．
选D。
9．如图，在长方体中，，，，，分别为，，的中点，点在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先找出过点且与平面平行的平面，然后在三角形内找线段长度的最小值即可.
【详解】
如图，连接，，，
因为，，分别为，，的中点，
所以平面，则平面，
因为，所以同理得平面，
又，得平面平面，
因为直线平面，
所以点在直线上,在中，
有，，，
所以，
故当时，线段的长度最小，
有.
故选：D.
【点睛】
本题考查了空间中两平面平行的证明，等面积法求点到直线距离，属于一般题.
10．如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且截面，则线段长度的取值范围是（
）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
取CD的中点为N,的中点为R,的中点为H,证明平面MNRH//平面,平面,线段MP扫过的图形为,通过证明,说明为直角,得线段长度的取值范围为即可得解.
【详解】
取CD的中点为N,的中点为R,的中点为H,作图如下:
由图可知,,
所以四边形为平行四边形,
所以,
因为,
所以,
因为,
故平面MNRH//平面,
因为截面,
所以平面,线段MP扫过的图形为,
由知,,
在中,,
即,所以，
所以,即为直角,
故线段长度的取值范围为,即,
故选:B
【点睛】
本题考查面面平行的判定定理与性质定理及空间两点间的距离;重点考查转化与化归的思想;属于难度大、抽象型试题.
二、填空题
11．如图所示，三棱台的一条侧棱所在直线与平面的位置关系是__________.
【答案】相交
【解析】
【分析】
根据棱台的定义，结合线面的位置关系，可以判断出侧棱所在直线与平面的位置关系.
【详解】
由棱台的定义知，棱台的所有侧棱所在的直线都交于同一点，而任一侧面所在的平面由两条侧棱所在的直线确定，故这条侧棱与不含这条侧棱的任意一个侧面所在的平面都相交.
【点睛】
本题考查了棱台的定义、以及线面的位置关系的判断.
12．以下结论中，正确结论的序号为_________.
①过平面外一点P，有且仅有一条直线与平行；
②过平面外一点P，有且仅有一个平面与平行；
③过直线外一点P，有且只有一条直线与平行；
④过直线外一点P，有且只有一个平面与平行；
⑤与两个相交平面的交线平行的直线必与两相交平面都平行；
⑥，，过A与平行的直线必在内.
【答案】②③⑥
【解析】
【分析】
对于①：根据直线与平面平行的判定定理可知：过平面外一点显然有无数条直线与已知直线平行；对于②：根据平面平面平行的判定和性质，可以判断出是否正确；
对于③：根据平行公理可以出是否正确；
对于④：可以通过打开的书页，一支笔与书脊平行，进行判断正确；
对于⑤：通过考虑能不能在其中一个平面内，进行判断正确；
对于⑥：运用反证法可以判断出是否正确.
【详解】
①错，②对，如图（1）所示，过P有无数条直线都与平行，这无数条直线都在平面内，有且只有一个平面与平行；③对，④错，如图（2）所示，比如可以联想到打开的书页，一支笔与书脊平行；⑤错，可以在其中一个平面内；⑥对，如图（3）所示，假设不在内，直线与点A确定一个平面，与相交得的交线.又，这与矛盾，故.
【点睛】
本题考查了直线与平面平行的判宝定理及性质定理，平面与平面平行的判定定理及性质定理，考查了平行公理、反证法的运用.
13．如图所示，在正方体中，M，N分别是和的中点，
则（1）所在的直线与平面的位置关系是________；
（2）所在的直线与平面的位置关系是_________；
（3）所在的直线与平面的位置关系是_________.
【答案】相交
相交
相交
【解析】
【分析】
（1）考虑是不是所在的平面与平面的交线入手，进行判断；
（2）考虑是不是所在的平面与平面的交线入手，进行判断；
（3）考虑是不是所在的平面与平面的交线入手，进行判断.
【详解】
（1）所在的直线与平面相交.
（2）所在的直线与平面相交.
（3）所在的直线与平面相交.
【点睛】
本题考查了线面的位置关系，面面相交的性质是解题的关键.
14．下列说法正确的有：________.
①如果一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
②如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
③分别在两个平行平面内的两条直线互相平行；
④过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行.
【答案】②④
【解析】
【分析】
根据平面平行的判定和性质，结合选项，进行逐一分析即可.
【详解】
对①：只有一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么有两个平面平行，
故①错误；
对②：根据平面平行的判定定理，显然成立，故②正确；
对③：在两个平行平面内的两条直线，可以平行，也可以为异面直线，故③错误；
对④：根据平面平行的判定定理，显然成立，故④正确.
综上所述，正确的有②④，
故答案为：②④.
【点睛】
本题考查平面平行的判定和性质，属基础题.
15．如图，正方体的棱长为，动点在线段上，、分别是、的中点，则下列结论中正确的是______________.
①与所成角为；
②平面；
③存在点，使得平面平面；
④三棱锥的体积为定值.
【答案】②④
【解析】
【分析】
利用线线平行，找出异面直线的夹角的平面角，求出即可，可判断①的正误；根据线面垂直的判定定理即可判断②的正误；利用面面平行的性质定理可判断③的正误；利用等体积法即可求出棱锥的体积，可判断④的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于①，、分别为、的中点，，
在正方体中，且，则四边形为平行四边形，
，异面直线与所成的角为，
在中，，所以，为等边三角形，则，即①错误；
对于②，，，，，
，，
又因为平面，且平面，所以，
因为，所以平面，即②正确；
对于③，若平面平面，因为平面平面，
所以平面平面，但平面与平面有公共点，所以③错误；
对于④，（定值），即④正确.
故答案为：②④.
【点睛】
本题考查了空间立体几何中线面的位置关系、异面直线的夹角、棱锥体积等知识点，熟练运用线面平行或垂直的判定定理与性质定理是解题关键，属于中等题．
三、解答题
16．判断下列命题的真假.
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）假命题；（2）假命题；（3）真命题.
【解析】
【分析】
（1）还可能相交，所以该命题是假命题；（2）或者异面，所以该命题是假命题；（3）利用面面平行的性质定理判断得解.
【详解】
（1）如果，则可能相交，所以该命题是假命题；
（2）如果，则或者异面，所以该命题是假命题；
（3）如果则.所以该命题是真命题.
【点睛】
本题主要考查空间直线平面平行的位置关系的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
17．如图所示，以AB＝4
cm，BC＝3
cm的长方形ABCD为底面的长方体被平面斜着截断的几何体，EFGH是它的截面．当AE＝5
cm，BF＝8
cm，CG＝12
cm时，试回答下列问题：
(1)求DH的长；
(2)求这个几何体的体积；
(3)截面四边形EFGH是什么图形？证明你的结论．
【答案】（1）9（2）102（3）菱形
【解析】
分析：（1）根据面面平行性质定理得线线平行EF∥HG，再根据勾股定理求DH，（2）先分割成一个长方体ABCD－EB1PD1，一个斜三棱柱EFB1－HGC1，一个直三棱柱EHD1－B1C1P.再分别利用柱体体积公式求体积，即得结果，（3）先根据面面平行性质定理得EFGH是平行四边形，再通过计算相邻边相等得菱形.
详解：解：(1)过E作EB1⊥BF，垂足为B1，则BB1＝AE＝5(cm)，
所以B1F＝8－5＝3(cm)．
因为平面ABFE∥平面DCGH，EF和HG是它们分别与截面的交线，所以EF∥HG.
过H作HC1⊥CG，垂足为C1，
则GC1＝FB1＝3(cm)，
DH＝12－3＝9(cm)．
(2)作ED1⊥DH，垂足为D1，B1P⊥CG，垂足为P，连结D1P，B1C1，则几何体被分割成一个长方体ABCD－EB1PD1，一个斜三棱柱EFB1－HGC1，一个直三棱柱EHD1－B1C1P.从而几何体的体积为
V＝3×4×5＋×3×4×3＋×3×4×4＝102(cm3)．
(3)是菱形．
证明：由(1)知EF∥HG，同理EH∥FG.于是EFGH是平行四边形．
因为EF＝＝
＝5(cm)，
DD1＝AE＝5(cm)，ED1＝AD＝3(cm)，
HD1＝4(cm)，
所以EH＝＝
＝5(cm)．
所以EF＝EH.
故EFGH是菱形．
点睛：求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．
18．如图，在四棱锥O﹣ABCD中，OA⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，且OA＝2，M，N分别为OA，BC的中点.
（1）求证：直线MN平面OCD；
（2）求点B到平面DMN的距离.
【答案】（1）证明见详解；（2）
【解析】
【分析】
（1）构造平面，使之与平面平行，再通过面面平行证明线面平行即可；
（2）通过变换顶点，利用等体积法求得点到平面的距离.
【详解】
（1）取中点为，连接，如下图所示：
在中，因为分别是的中点，
故//；
在正方形中，因为分别是的中点，
故//；
又因为，平面，
，平面，
故平面//平面，
又因为平面，故//平面，即证.
（2）连接，如下图所示：
因为点为中点，故
又因为平面，且
故.
又在中，容易知，
故边上的高为，
故.
设点到平面的距离为，
则
解得.
故点到平面的距离为.
【点睛】
本题考查由面面平行推证线面平行，以及用等体积法求解点到面的距离，属基础题.
19．将三棱锥与拼接得到如图所示的多面体，其中，，，分别为，，，的中点，.
（1）当点在直线上时，证明：平面；
（2）若与均为面积为的等边三角形，求该多面体体积的最大值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）利用面面平行的判定定理得出平面平面，再由面面平行的性质得出平面；
（2）将多面体的体积转化为三棱锥与的体积和，由于三棱锥和的底面积一定，则高同时达到最大值时，多面体的体积最大，当平面平面时，由面面垂直的性质得出三棱锥和的高，利用棱锥的体积公式计算即可.
【详解】
（1）证明：∵、、为中点
∴，
又∵
∴
∵平面，平面
∴平面
同理平面
平面
∴平面平面
∵，∴平面
∴平面
（2）
易知平面
故
连接，当平面平面时
∵是的中点
∴在正三角形、中
，，平面与平面的交线为
平面，平面
∴平面，平面
∴平面
此时，三棱锥和的高同时达到最大值
此时
由，是面积为的正三角形
可得
，
∴此时.
故该多面体体积的最大值为.
【点睛】
本题主要考查了面面平行的性质证明线面平行以及求棱锥的体积，属于中档题.
20．如图，在棱长为a的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别为CC1、AD的中点，求异面直线OE和FD1所成角的余弦值.
【答案】
【解析】
取
D1C1的中点M，连接OM，OF，因为OF∥MD1，，
所以四边形OFD1M是平行四边形，所以OM∥FD1，
所以∠MOE是异面直线OE和FD1所成的角或其补角.
连接OC、ME.因为OM＝FD1＝，
，
，
所以OE2＋ME2＝OM2＝a2，所以△OME是直角三角形，且∠OEM＝90°，所以cos∠MOE＝，即异面直线OE和FD1所成角的余弦值是.
考点：异面直线所成的角.
试卷第1页，总3页
