人教版A版高中数学必修二2.3.2平面与平面垂直的判定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中不正确的是（
）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】C
【解析】
【分析】
根据空间中的平行与垂直关系，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.
【详解】
解：对于A，时，过作平面，则；由知，所以，故A正确；
对于B，当，，时，得且，所以，故B正确；
对于C，当，，时，则，所以C错误；
对于D，当，时，，又，所以，D正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查了空间中的平行与垂直关系的判断问题，也考查了符号语言应用问题，是基础题.
2．在长方体的侧面中，与平面ABCD垂直的平面有（
）个
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】D
【解析】
【分析】
根据长方体中的棱与面的垂直关系，可判断与平面ABCD垂直的平面.
【详解】
如图
在长方体中，侧棱与底面都是垂直的，所以侧面与底面ABCD垂直.
平面、平面、平面、平面均与平面ABCD垂直.
故选：D
【点睛】
本题考查长方体中的侧面与底面的垂直关系，属于基础题.
3．如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形为正方形，，，，为全等的等边三角形，、分别为、的中点，在此几何体中，下列结论中正确的个数有（）
①平面平面
②直线与直线是异面直线
③直线与直线共面
④面与面的交线与平行
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】A
【解析】
【分析】
根据展开图，复原几何体，利用异面直线的定义可以判断出②③的正误，利用面面垂直的判定定理判断①的正误，利用面面平行的性质定理判断④的正误，最后选出正确答案.
【详解】
根据展开图，复原几何体，如下图所示：
由已知条件，在平面内，过点的中线垂直于，再也找不到和平面内垂直的线段，因此找不到和平面垂直的垂线，由已知四边形为正方形，能得到或，再也找不到和平面内相垂直的的线段，因此找不到和平面垂直的线段，所以不能判断平面平面，故①是不正确的；
根据异面直线的定义可以判断②是正确的；
因为、分别为、的中点，所以，而四边形为正方形，所以有，因此有，所以中点共面，所以③是正确的；
因为，平面,
平面，所以平面，
而平面，所以面与面的交线与平行，故④正确，故有三个结论是正确的，本题选A.
【点睛】
本题考查了线面平行的判定定理和性质定理，考查了面面垂直的判定定理，考查了异面直线的定义.
4．在正方体中，截面与底面ABCD所成二面角的正切值等于(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先找二面角A1﹣BD﹣A的平面角，在△A1OA中，∠A1OA即为二面角A1﹣BD﹣A的平面角
【详解】
连接AC交BD与点O，如图所示，
因为AA1⊥BD，AC⊥BD，
所以∠A1OA即为二面角A1﹣BD﹣A的平面角，
在△A1OA中，AA1＝a，AOa，
所以二面角A1﹣BD﹣A的正切值为
故选C．
【点睛】
这是利用面面垂直来找二面角的问题，找二面角的关键是过公共棱上同一点，在两半平面内作棱的垂线，找两垂线所成角．常用方法是用三垂线定理或其逆定理．
5．如果直线与平面不垂直，那么在平面内（
）
A．不存在与垂直的直线
B．存在一条与垂直的直线
C．存在无数条与垂直的直线
D．任意一条都与垂直
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
因为直线l与平面不垂直，必然会有一条直线与其垂直，而所有与该直线平行直线也与其垂直，因此选C
6．若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【答案】B
【解析】
【分析】
正四棱锥
，连接底面对角线
，在中，为侧棱与地面所成角，通过边的关系得到答案.
【详解】
正四棱锥
，连接底面对角线，
，易知为等腰直角三角形.
中点为
，又正四棱锥知：底面
即
为所求角为
，答案为B
【点睛】
本题考查了线面夹角的计算，意在考察学生的计算能力和空间想象力.
7．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（
）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】D
【解析】
试题分析：，,故选D.
考点：点线面的位置关系.
8．如图，在三棱锥中，，，，二面角的平面角为，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先对取特殊值，进行判断，最后可以判断出.
【详解】
当时，显然有，故平面，于是是二面角的平面角，即，当时，不是二面角的平面角，故而，综上所述：，故本题选B.
【点睛】
本题考查了二面角与平面角大小关系的判断，考查了空间想象能力.
9．设l是直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（
）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】
利用空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得到答案.
【详解】
A.若，，则与可能平行，也可能相交，所以不正确.
B.若，，则与可能的位置关系有相交、平行或,所以不正确.
C.若，，则可能，所以不正确.
D.若，，由线面平行的性质过的平面与相交于，则，又.
所以，所以有，所以正确.
故选：D
【点睛】
本题考查面面平行、垂直的判断，线面平行和垂直的判断,属于基础题.
10．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（
）
A．2对
B．3对
C．4对
D．5对
【答案】C
【解析】
【分析】
画出该几何体的直观图，易证平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，从而可选出答案．
【详解】
该几何体是一个四棱锥，直观图如下图所示，易知平面平面，
作PO⊥AD于O，则有PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，
又AD⊥CD，所以，CD⊥平面PAD，
所以平面平面，
同理可证：平面平面，
由三视图可知：PO＝AO＝OD，所以，AP⊥PD，又AP⊥CD，
所以，AP⊥平面PCD，所以，平面平面，
所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对．
【点睛】
本题考查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属于中档题．
二、填空题
11．正六棱柱相邻两个侧面所成的二面角的大小为________
【答案】
【解析】
【分析】
由正六棱柱的几何特征可得为正六棱柱相邻两个侧面所成的二面角的平面角，根据正六边形的内角计算即可.
【详解】
解：如图，
由正六棱柱的几何特征可知，
则为正六棱柱相邻两个侧面所成的二面角的平面角，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查二面角的求解，关键是要找到二面角的平面角，是基础题.
12．点、、分别是正方体的棱,,的中点,则下列命题中的真命题是__________（写出所有真命题的序号）.
①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多可以四个面都是直角三角形;
②点在直线上运动时,总有;
③点在直线上运动时,三棱锥的体积是定值;
④若是正方体的面,（含边界）内一动点,且点到点和的距离相等,则点的轨迹是一条线段.
【答案】①②④
【解析】
【分析】
根据题意画出正方体.
根据图像可知四个面都是直角三角形,①对;根据图象易证面,所以不论点在直线上如何运动,总有,②对;根据等体积关系有,面不变,但高在变,所以三棱锥的体积不是定值,③错;
④以为轴,以为轴建平面直角坐标系,设,棱长为1.根据距离公式可得,.且,
的轨迹是线段.④对.
【详解】
解:画出正方体.
①四面体及四个面都是直角三角形,①对;
②在平面中有,又正方体中,从而可以得到面,所以不论点在直线上如何运动,总有,②对;
③因为,面不变,底面面积不变,点在直线上运动时,点到平面的距离在变,即高在变,所以三棱锥的体积不是定值,③错;
④以为轴,以为轴在平面所在平面建平面直角坐标系,设,棱长为1.则,.因为,所以,即的轨迹是线段.④对.
故答案为:
①②④
【点睛】
本题考查空间线面位置关系的判断,考查椎体体积等基础知识,考查空间想象力、推理论证能力.
13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，二面角A﹣BD﹣A1的大小为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
连接，交于，连，可得是二面角A﹣BD﹣A1的平面角，在直角三角形中可求得结果.
【详解】
连接，交于，连，
如图所示：
因为，且在底面内的射影是，
所以由三垂线定理可得，
所以是二面角A﹣BD﹣A1的平面角，
设正方体的棱长为1，则，，
所以，
因为，
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了三垂线定理，考查了求二面角，关键是作出二面角的平面角，属于基础题.
14．如图所示，在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，是上的一动点，当点满足条件①，②，③中的______时，平面平面（只要填写一个你认为是正确的条件序号即可）.
【答案】②（或③）
【解析】
【分析】
推出,则要得到平面平面,即要得到平面,故只需垂直平面内的一条与相交的直线即可.
【详解】
底面,,
底面各边都相等,,
,平面,
,
当(或时,即有平面,
而平面,平面平面.
故答案为:②(或③).
【点睛】
本题考查线面?面面垂直的判定与性质应用,需要学生具备一定的空间想象能力与逻辑思维能力.
15．已知三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且二面角P﹣AB﹣C的大小为120°，若三棱锥P﹣ABC的体积为，，则球O的表面积为________．
【答案】.
【解析】
【分析】
取中点即球心，利用等腰三角形常作辅助线能够证明平面同时得出二面角的平面角，利用棱锥体积公式进行求解求出球半径．
【详解】
解：设球半径为r，则，所以O是AB的中点，
因为，所以，，所以平面OPC，为二面角的平面角，=120°，
所以体积，所以，
所以球的表面积．
故答案为：．
【点睛】
本题考查求球的表面积，考查棱锥的体积公式和二面角．解题中利用等腰三角形性质证得线面垂直，找到二面角的平面角，使问题得到解决．
三、解答题
16．如图所示，在四棱锥中，，，面面．
求证：（1）平面；
（2）平面平面．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由题可得根据线面平行的判断定理可证平面；
（2）由题，易得，再利用面面可得面，即得证.
【详解】
(1)
面,面,∴平面
(2)
∵
∴
∵面面,面面,面,
∴面,
又面
,∴面面
【点睛】
本题主要考查了空间几何中平行以及垂直的判断定理和性质定理，熟悉定理是解题的关键，属于较为基础题.
17．如图所示：在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，分别为的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）详见解答；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由已知可得，再由面面垂直定理可得平面，即可证明结论；
（2）平面，用等体积法求三棱锥的体积.
【详解】
（1）为中点，，
平面平面，平面平面，
平面，平面平面，
平面平面；
（2）且，分别为的中点，
，
平面，，
.
【点睛】
本题考查面面垂直证明，注意空间垂直间的相互转化，考查椎体体积，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于基础题.
18．如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点，且
（1）求证：平面平面；
（2）求证：∥平面.
【答案】（1）见证明；（2）见证明
【解析】
【分析】
（1）先证明，即证平面BMN⊥平面ACC1A1.(2)
取的中点，连接和，证明，再证明MN∥平面BCC1B1．
【详解】
(1)证明：因为为棱的中点，且，
所以，
因为是直三棱柱，
所以，
因为，
所以，
又因为，且，
所以，
因为，
所以平面.
(2)取的中点，连接和，
因为为棱的中点，
所以，且，
因为是棱柱，
所以，
因为为棱的中点，
所以，且，
所以，且，
所以是平行四边形，
所以，
又因为，
所以.
【点睛】
本题主要考查空间几何元素的平行垂直关系的证明，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象转化能力.
19．如图，已知四棱锥的底面是菱形，底面对角线交于点，，面，是的中点.
（1）求证：面；
（2）求证：面面；
（3）若，求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）
【解析】
【分析】
（1）由中位线定理得线线平行，从而线面平行；
（2）证明与垂直即可得线面垂直，从而有面面垂直；
（3）
是中点，则到底面的距离等于，由体积公式计算体积．
【详解】
（1）证明：∵是的中点，
∴，不在面内，在面内，
∴面；
（2）证明：连接，由平面得，
∴，∴，∴，
又，，
∴平面，而在平面内，
∴面面；
（3）解：∵是的中点，∴到底面的距离等于到平面距离的一半，即为，
∵，，
∴三棱锥的体积为.
【点睛】
本题考查证明线面平行、面面垂直，考查求棱锥的体积．掌握线面平行的判定定理和面面垂直的判定定理是解题关键．
20．如图，四棱锥中，，，，为正三角形.若，且与底面所成角的正切值为.
（1）证明：平面平面；
（2）是线段上一点，记，是否存在实数，使二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）存在，
【解析】
【分析】
（1）由勾股定理与正三角形的性质可证，再由已知证得，由线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理即可证得平面平面；
（2）作BC延长线于点Q，且BQ=AD，由（1）可知，QD,QP,QB两两垂直，以它们所在直线分别做x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，结合已知即可表示点Q，A，C，D，E的坐标，进而求得面PAE与面ACE的法向量，利用向量的数量积求夹角与已知构建方程，求得的值.
【详解】
（1）因为，，所以
又因为为正三角形，所以
又,则，即
又因为，，所以
且
所以平面，又因为平面
故平面平面
（2）作BC延长线于点Q，且BQ=AD，由（1）可知，QD,QP,QB两两垂直，以它们所在直线分别做x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则Q(0,0,0),A(2,2,0),C(0,1,0),D(2,0,0)
由,可得，所以
设平面PAE的法向量为
则，即，令，解得
所以，显然是平面ACE的法向量
设二面角为
则
依据题意有，解得
【点睛】
本题考查空间中面面垂直的证明，还考查了已知二面角的余弦值探究点的成立问题，属于较难题.
试卷第1页，总3页人教版A版高中数学必修二2.3.2平面与平面垂直的判定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中不正确的是（
）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
2．在长方体的侧面中，与平面ABCD垂直的平面有（
）个
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形为正方形，，，，为全等的等边三角形，、分别为、的中点，在此几何体中，下列结论中正确的个数有（）
①平面平面
②直线与直线是异面直线
③直线与直线共面
④面与面的交线与平行
A．3
B．2
C．1
D．0
4．在正方体中，截面与底面ABCD所成二面角的正切值等于(
)
A．
B．
C．
D．
5．如果直线与平面不垂直，那么在平面内（
）
A．不存在与垂直的直线
B．存在一条与垂直的直线
C．存在无数条与垂直的直线
D．任意一条都与垂直
6．若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
7．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（
）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
8．如图，在三棱锥中，，，，二面角的平面角为，则（
）
A．
B．
C．
D．
9．设l是直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（
）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
10．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（
）
A．2对
B．3对
C．4对
D．5对
二、填空题
11．正六棱柱相邻两个侧面所成的二面角的大小为________
12．点、、分别是正方体的棱,,的中点,则下列命题中的真命题是__________（写出所有真命题的序号）.
①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多可以四个面都是直角三角形;
②点在直线上运动时,总有;
③点在直线上运动时,三棱锥的体积是定值;
④若是正方体的面,（含边界）内一动点,且点到点和的距离相等,则点的轨迹是一条线段.
13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，二面角A﹣BD﹣A1的大小为_____．
14．如图所示，在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，是上的一动点，当点满足条件①，②，③中的______时，平面平面（只要填写一个你认为是正确的条件序号即可）.
15．已知三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且二面角P﹣AB﹣C的大小为120°，若三棱锥P﹣ABC的体积为，，则球O的表面积为________．
三、解答题
16．如图所示，在四棱锥中，，，面面．
求证：（1）平面；
（2）平面平面．
17．如图所示：在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，分别为的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求三棱锥的体积.
18．如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点，且
（1）求证：平面平面；
（2）求证：∥平面.
19．如图，已知四棱锥的底面是菱形，底面对角线交于点，，面，是的中点.
（1）求证：面；
（2）求证：面面；
（3）若，求三棱锥的体积.
20．如图，四棱锥中，，，，为正三角形.若，且与底面所成角的正切值为.
（1）证明：平面平面；
（2）是线段上一点，记，是否存在实数，使二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
试卷第1页，总3页
