人教版A版高中数学必修二2.3.1直线与平面垂直的判定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,直线A1C与平面ABCD所成角的余弦值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
连接,根据线面角定义可以判断出是直线A1C与平面ABCD所成角,设出正方体的棱长,利用勾股定理和锐角的三角函数定义可以求出直线A1C与平面ABCD所成角的余弦值.
【详解】
连接,由正方体的性质可知：A1A平面ABCD,由线面角的定义可知：是直线A1C与平面ABCD所成角,设正方体的棱长为1,底面是与正方形,故,在中,
,.
故选：D
【点睛】
本题考查了线面角的求法,考查了数学运算能力.
2．长方体中，，，则直线与平面ABCD所成角的大小（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接，根据长方体的性质和线面角的定义可知：是直线与平面ABCD所成角，在底面ABCD中，利用勾股定理可以求出，在中，利用锐角三角函数知识可以求出的大小.
【详解】
连接，在长方体中，显然有平面ABCD，
所以是直线与平面ABCD所成角，在底面ABCD中，，在中，，故本题选B.
【点睛】
本题考查了线面角的求法,考查了数学运算能力.
3．在正方体中，E是的中点，若，则点B到平面ACE的距离等于（
）
A．
B．
C．
D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知求得三角形的面积，再由等积法求点到平面的距离．
【详解】
如图，在正方体中，，是的中点，
则，，．
．
设点到平面的距离为，
由，得，
解得．
故选：．
【点睛】
本题主要考查空间中点到面的距离，训练了利用等积法求多面体的体积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
4．如图，在正方体中，与平面所成角的余弦值是（
）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
连接可得平面的垂直，从而得直线与平面所成角，计算可得．
【详解】
如图，连接交于，则，又正方体中平面，平面，∴，而，∴平面，∴是直线与平面所成角，此角大小为45°，余弦值为．
故选：A.
【点睛】
本题考查直线与平面所成的角，解题关键是作出直线与平面所成的角．然后计算．
5．如图，棱长为的正方体中，为中点，这直线与平面所成角的正切值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先作出直线D1M与平面ABCD所成角，然后求解即可
【详解】
连接DM，因为几何体是正方体，
所以∠D1MD就是直线D1M与平面ABCD所成角，
tan∠D1MD=
故选C
【点睛】
求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.
6．如图，在三棱锥P?ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是( )
A．AP⊥PB，AP⊥PC
B．AP⊥PB，BC⊥PB
C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC
D．AP⊥平面PBC
【答案】B
【解析】
A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC?平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；
C中，因为平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP?平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；
D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，
故选B.
点睛:
垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
7．长方体中，，，则直线与平面ABCD所成角的大小（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接，根据长方体的性质和线面角的定义可知：是直线与平面ABCD所成的角.在中求即得.
【详解】
连接，如图所示
在长方体中，平面，
是直线与平面ABCD所成的角.
在中，，
.
故选：.
【点睛】
本题考查线面角，属于基础题.
8．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若为底面的中心，则PA与平面所成角的大小为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
如图所示，
∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，
∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．
∵==．
∴
==AA1，解得．
又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴A1P==1，
在Rt△AA1P中，tan∠APA1==，
∴∠APA1=60°．
故选：B．
点睛：求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.
9．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上,平面,是边长为的等边三角形,若球的表面积为,则直线与平面所成角的正切值为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设为中点,先证明平面，得出为所求角,利用勾股定理计算,得出结论．
【详解】
设分别是的中点
平面
是等边三角形
又
平面
为与平面所成的角
是边长为的等边三角形
，且为所在截面圆的圆心
球的表面积为
球的半径
平面
本题正确选项：
【点睛】
本题考查了棱锥与外接球的位置关系问题，关键是能够通过垂直关系得到直线与平面所求角，再利用球心位置来求解出线段长，属于中档题．
10．如图，矩形中，，为边的中点，沿将折起，点折至处（平面），若为线段的中点，则在折起过程中，下列说法错误的是（
）
A．始终有
//平面
B．不存在某个位置，使得平面
C．三棱锥体积的最大值是
D．一定存在某个位置，使得异面直线与所成角为
【答案】D
【解析】
【分析】
利用翻折前后的不变量、结合反证法，可证A，B，C正确，从而利用排除法得到正确选项。
【详解】
连结交于，取的中点，连结，，。
对A，易证，平面平面，平面，所以始终有/平面，故A正确；
对B，因为，假设平面，则，，则，因为，所以不成立，所以假设错误，故不存在某个位置，使得平面，故B正确；
对C，当平面平面时，三棱锥的体积最大，，故C正确；
故选：D
【点睛】
本题考查空间平面图形的翻折问题，考查线面、面面位置关系、体积求解，考查空间想象能力和运算求解能力，属于较难问题。
二、填空题
11．设三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，则三棱锥的体积是______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可知:，利用线面的垂直的判定定理可以证明出平面，利用三棱锥的体积公式可以求出三棱锥的体积.
【详解】
由题意可知:，因为,平面
,所以有平面,所以三棱锥的体积是
.
【点睛】
本题考查了求三棱锥的体积，考查了转化思想，考查了线面垂直的判定.
12．四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，则四棱锥的侧面积是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先证明平面，得到是直角三角形，进而四棱锥每个侧面都是直角三角形，用三角形的面积公式求解即可.
【详解】
解：如图：
由已知平面，又平面，
则，又，且，
所以平面，又平面，
所以，即是直角三角形，
同理也是直角三角形，且和的面积相同，
四棱锥的侧面积：
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查四棱锥侧面积的计算，关键是得到侧面都是直角三角形，是基础题.
13．如图60°的二面角的棱上有两点，直线分别在二面角两个半平面内，且垂直于，则__________．
【答案】10
【解析】由题意得，过点作，且，如图所示，则，又，所以为等边三角形，且四边形为矩形，即且平面，而平面，所以，由勾股定理得，
.
点睛：此题主要考查二面角在空间立体图形中求线段长度的应用，以及数形结合法的应用，属于中档题型，也是常考考点.在解决此类问题中，常常把立体问题转化为平面图形问题来解决，根据条件画出草图，观察图形特点，利用勾股定理、正弦定理或是余弦定理进行运算，从而问题可得解.
14．直三棱柱中，若，，，则点到平面的距离为__________．
【答案】.
【解析】
【分析】
法一：由已知可以证明出平面平面，通过面面垂直的性质定理，可以过作，则的长为到平面的距离，利用几何知识求出
;
法二:利用等积法进行求解.
【详解】
法一：∵，，∴平面，
又∵平面，平面平面.
又∵平面平面，
∴过作，则的长为到平面的距离，
在中，.
法二：由等体积法可知，解得点到平面的距离为.
【点睛】
本题考查了点到面的距离，一般方法是通过几何作图，直接求出点到面的距离，另一种方法是利用等积法进行求解，通过二种方法的比较，后一种方法更方便些.
15．如图，已知在长方体中，，，，点为上的一个动点，平面与棱交于点，给出下列命题：
①四棱锥的体积为20；
②存在唯一的点，使截面四边形的周长取得最小值；
③当点不与，重合时，在棱上均存在点，使得平面；
④存在唯一的点，使得平面，且．
其中正确的命题是_____（填写所有正确的序号）
【答案】①②③④
【解析】
【分析】
由题意逐个讨论所给的命题，判断它们的真假．
【详解】
解：①由题意可得，
，所以①正确；
②将长方体展开，如图所示，恰好过点时，截面的周长为，
而在中，，所以最小值为，
由面面平行的性质，可得四边形为平行四边形，且为展开图中唯一的点，所以②正确；
③点不与，重合，则不会为，即不在面内，
可作出的平面与平行，所以在棱上均有相应的，使得面，故③正确；
④因为，可得对角面为正方形，可得，
若时，由三垂线定理可得，即有面，
矩形中，，所以，所以，故④正确
综上可得：正确为①②③④.
故答案为：①②③④.
【点睛】
本题考查了正方体的性质、线面平行和垂直的判定定理、棱锥的体积、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
三、解答题
16．如图，四棱锥中，底面四边形为菱形，，为等边三角形.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，，求直线与平面所成的角.
【答案】（Ⅰ）见解析
（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）取中点E，连结，，由已知可得，，又，即可证平面，从而可得．
（Ⅱ）先证明，可得平面，由线面角定义即可知即为所求．
【详解】
（Ⅰ）因为四边形为菱形，且
所以为等边三角形．
取线段的中点,连接，
则.
又因为为等边三角形，所以．
因为平面，平面，且，
所以直线平面，
又因为，所以．
（Ⅱ）因为为等边三角形，且其边长为，所以，
又，所以，所以.
因为，
所以面，
所以为直线与平面所成的角.
在中，，所以
故直线和平面所成的角为.
【点睛】
本题主要考查了直线与平面垂直的性质及线面角求法，属于基础题
．
17．如图，在正方体中，点E为AB的中点.试判断在BC上是否存在点F，使得.若存在，请指出点F所在位置并写出证明过程；若不存在，请说明理由.
【答案】存在，为中点，证明见解析
【解析】
【分析】
假设为中点，利用，可得线面垂直，然后可得线线垂直，可得结果.
【详解】
存在，为中点，如图
由点分别为的中点
所以//，
在正方体中，，所以
又平面，且平面
所以，
由,平面
所以平面，又
所以
所以存在且为中点
【点睛】
本题考查线面垂直以及线线垂直，本题重点是通过线面垂直来得到线线垂直，属基础题.
18．如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（Ⅰ）求证：平面BCD；
（Ⅱ）求点E到平面ACD的距离.
【答案】（Ⅰ）详见解析
（Ⅱ）
【解析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ）要证明平面BCD，需要证明，，证明时主要是利用已知条件中的线段长度满足勾股定理和等腰三角形三线合一的性质（Ⅱ）中由已知条件空间直角坐标系容易建立，因此可采用空间向量求解，以为坐标原点，以方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，
求出平面的法向量和斜线的方向向量，代入公式计算
试题解析：（Ⅰ）证明：为的中点，，
,，，，
又，，
，均在平面内，平面
（Ⅱ）方法一：以为坐标原点，以方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则，
设为平面的法向量，则，
取，
，则点到平面的距离为
方法二：设点在上，且，连，
为的中点，
平面，平面，
平面，平面
平面，平面平面，且交线为
过点作于点，则平面
分别为的中点，则平面，平面，
平面，点到平面的距离即，
故点到平面的距离为
考点：1.线面垂直的判定；2.点到面的距离
19．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，BB1＝2，点E、F、M分别为C1D1，A1D1，B1C1的中点，过点M的平面α与平面DEF平行，且与长方体的面相交，交线围成一个几何图形．
（1）在图1中，画出这个几何图形，并求这个几何图形的面积（不必说明画法与理由）
（2）在图2中，求证：D1B⊥平面DEF．
【答案】（1）6（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）取A1
B1中点为N,连接N与M，则几何图形为ACMN,再求其面积．
（2）建系，利用向量的数量积等于0,说明两直线垂直．
【详解】
（1）设N为A1B1的中点，连结MN，AN、AC、CM，
则四边形MNAC为所作图形．
由题意知MN∥A1C1（或∥EF），四边形MNAC为梯形，
且MNAC＝2，
过M作MP⊥AC于点P，
可得MC2，PC，
得MP，
∴梯形MNAC的面积（24）6．
证明：（2）示例一：在长方体中ABCD﹣A1B1C1D1，
设D1B1交EF于Q，连接DQ，
则Q为EF的中点并且为D1B1的四等点，如图，
D1Q4，
由DE＝DF得DQ⊥EF，又EF⊥BB1，
∴EF⊥平面BB1D1D，∴EF⊥D1B，
，∴∠D1QD＝∠BD1D，
∴∠QD1B+∠D1QD＝∠DD1B+∠BD1Q＝90°，
∴DQ⊥D1B，∴D1B⊥平面DEF．
示例二：设D1B1交EF于Q，连接DQ，则Q为EF的中点，
且为D1B1的四等分点，D1Q4，
由BB1⊥平面A1B1C1D1可知BB1⊥EF，
又B1D1⊥EF，BB1∩B1D1＝B1，∴EF⊥平面BB1D1D，∴EF⊥D1B，
由，得tan∠QDD1＝tan∠D1BD，
得∠QDD1＝∠D1BD，∴∠QDB+∠D1BD＝∠QDB+∠QDD1＝90°，
∴DQ⊥D1B，又DQ∩EF＝Q，∴D1B⊥平面DEF．
；
【点睛】
标准几何体内，证明垂直，直接利用向量的数量积等于0,说明两直线垂直．
20．如图，四棱锥中，底面为矩形，面，为的中点．
（1）证明：平面;
（2）设，，三棱锥的体积
，求A到平面PBC的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
到平面的距离为
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：（1）连结BD、AC相交于O，连结OE，则PB∥OE，由此能证明PB∥平面ACE．（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A到平面PBD的距离
试题解析：(1）设BD交AC于点O，连结EO．
因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．
又E为PD的中点，所以EO∥PB
又EO平面AEC，PB平面AEC
所以PB∥平面AEC．
（2）
由，可得.
作交于．
由题设易知，所以
故，
又所以到平面的距离为
法2：等体积法
由，可得.
由题设易知,得BC
假设到平面的距离为d，
又因为PB=
所以
又因为(或)，
，
所以
考点：线面平行的判定及点到面的距离
试卷第1页，总3页人教版A版高中数学必修二2.3.1直线与平面垂直的判定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,直线A1C与平面ABCD所成角的余弦值是（
）
A．
B．
C．
D．
2．长方体中，，，则直线与平面ABCD所成角的大小（
）
A．
B．
C．
D．
3．在正方体中，E是的中点，若，则点B到平面ACE的距离等于（
）
A．
B．
C．
D．3
4．如图，在正方体中，与平面所成角的余弦值是（
）.
A．
B．
C．
D．
5．如图，棱长为的正方体中，为中点，这直线与平面所成角的正切值为（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在三棱锥P?ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是( )
A．AP⊥PB，AP⊥PC
B．AP⊥PB，BC⊥PB
C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC
D．AP⊥平面PBC
7．长方体中，，，则直线与平面ABCD所成角的大小（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若为底面的中心，则PA与平面所成角的大小为
A．
B．
C．
D．
9．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上,平面,是边长为的等边三角形,若球的表面积为,则直线与平面所成角的正切值为( )
A．
B．
C．
D．
10．如图，矩形中，，为边的中点，沿将折起，点折至处（平面），若为线段的中点，则在折起过程中，下列说法错误的是（
）
A．始终有
//平面
B．不存在某个位置，使得平面
C．三棱锥体积的最大值是
D．一定存在某个位置，使得异面直线与所成角为
二、填空题
11．设三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，则三棱锥的体积是______．
12．四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，则四棱锥的侧面积是_________．
13．如图60°的二面角的棱上有两点，直线分别在二面角两个半平面内，且垂直于，则__________．
14．直三棱柱中，若，，，则点到平面的距离为__________．
15．如图，已知在长方体中，，，，点为上的一个动点，平面与棱交于点，给出下列命题：
①四棱锥的体积为20；
②存在唯一的点，使截面四边形的周长取得最小值；
③当点不与，重合时，在棱上均存在点，使得平面；
④存在唯一的点，使得平面，且．
其中正确的命题是_____（填写所有正确的序号）
三、解答题
16．如图，四棱锥中，底面四边形为菱形，，为等边三角形.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，，求直线与平面所成的角.
17．如图，在正方体中，点E为AB的中点.试判断在BC上是否存在点F，使得.若存在，请指出点F所在位置并写出证明过程；若不存在，请说明理由.
18．如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（Ⅰ）求证：平面BCD；
（Ⅱ）求点E到平面ACD的距离.
19．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，BB1＝2，点E、F、M分别为C1D1，A1D1，B1C1的中点，过点M的平面α与平面DEF平行，且与长方体的面相交，交线围成一个几何图形．
（1）在图1中，画出这个几何图形，并求这个几何图形的面积（不必说明画法与理由）
（2）在图2中，求证：D1B⊥平面DEF．
20．如图，四棱锥中，底面为矩形，面，为的中点．
（1）证明：平面;
（2）设，，三棱锥的体积
，求A到平面PBC的距离．
试卷第1页，总3页
