人教版A版高中数学必修二2.3.3直线与平面垂直的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知直线平面，直线，则（
）
A．
B．
C．异面
D．相交而不垂直
【答案】A
【解析】
【分析】
根据线面垂直的定义，即可得出结果.
【详解】
根据线面垂直的定义，若直线与平面垂直，则直线垂直与该平面内的任意一条直线，因此
，故选A
【点睛】
本题主要考查线面垂直的定义，熟记概念即可，属于基础题型.
2．已知所在的平面为，，是两条不同的直线，，，，，则直线，的位置关系是（
）
A．相交
B．异面
C．平行
D．不确定
【答案】C
【解析】
【分析】
由，根据线面垂直的性质定理，可得结果
【详解】
因为，，
又，所以，
同理可证，所以//.
故选：C
【点睛】
本题主要考查线面垂直的性质定理，属基础题.
3．如图所示，在三棱锥中，平面，，的延长线交于点，则图中与垂直的直线有（
）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
【答案】D
【解析】
【分析】
根据线面垂直的判定定理先证明平面，进而可得出结果.
【详解】
平面，.
又，且，平面，
∴直线与垂直.
【点睛】
本题主要考查线线垂直的判定，由线面垂直可得线线垂直，熟记线面垂直判定定理即可，属于常考题型.
4．如图1，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（
）
A．与垂直
B．与垂直
C．与异面
D．与异面
【答案】D
【解析】
如图所示，连结，由几何关系可得点为的中点，且，
由三角形中位线的性质可得：，即与不是异面直线，
很明显，与异面，
由几何关系可得：，则，
综上可得，选项D中的结论不成立.
本题选择D选项.
5．正方体中，为侧面的中心，则与平面所成角的正弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
取中点，则所求线面角为，利用勾股定理求得，作比可求得结果.
【详解】
取中点，连接
为侧面的中心
平面
与平面所成角即为
设正方体棱长为，则，，
，即与平面所成角正弦值为
故选：
【点睛】
本题考查直线与平面所成角的求解，关键是能够根据线面垂直关系确定所求角，属于基础题.
6．如图，在三棱锥P?ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是( )
A．AP⊥PB，AP⊥PC
B．AP⊥PB，BC⊥PB
C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC
D．AP⊥平面PBC
【答案】B
【解析】
A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC?平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；
C中，因为平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP?平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；
D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，
故选B.
点睛:
垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
7．如图，四棱锥的底面为正方形，，则下列结论中不正确的是（
）
A．
B．
C．平面平面
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由底面正方形及，确定线线间的垂直关系，判断各个结论的正确性．
【详解】
，在平面的射影与垂直，则，A正确；
在平面的射影与垂直，则，B正确；
利用上述垂直可得平面，从而有平面平面，C正确；
若，则垂直在平面内的射影，这是不可能的，D错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查空间的线线的垂直与面面垂直的判断，掌握三垂线定理及其逆定理是解题基础．
8．正四棱锥S-ABCD底面边长为2，高为1，E是棱BC的中点，动点P在四棱锥表面上运动，并且总保持，则动点P的轨迹的周长为（
）
A．1+
B．+
C．2
D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
设分别为的中点,则可证明平面，得到满足条件的动点P的轨迹为，然后求解即可.
【详解】
由，即满足.
设分别为的中点，连接.
设交于点，交于点.
所以在正四棱锥S-ABCD中，平面.
所以,且,
由分别为的中点.
所以,则有，,,且
所以平面.
故当点在平面内时，有成立.
所以动点P的轨迹为平面截正四棱锥S-ABCD的截面，即.
由分别为的中点.
所以
又正四棱锥S-ABCD底面边长为2，高为1，所以,.
所以
故选：B
【点睛】
本题考查轨迹问题，考查线面的垂直的证明，属于中档题.
9．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中不正确的是（
）
A．
B．平面
C．平面平面
D．与所成的角等于与所成的角
【答案】D
【解析】
【分析】
结合直线与平面垂直的判定和性质，结合直线与平面平行的判定，即可．
【详解】
A选项，可知可知，故，正确；
B选项，AB平行CD，故正确；
C选项，，故平面平面，正确；
D选项，AB与SC所成的角为，而DC与SA所成的角为，故错误，故选D．
【点睛】
考查了直线与平面垂直的判定和性质，考查了直线与平面平行的判定，考查了异面直线所成角，难度中等．
10．如图所示，在正方体中，分别在上，且，.则（
）
A．至多与之一垂直
B．是的公垂线
C．与相交
D．与异面
【答案】B
【解析】
【分析】
延长与交于点，连接与交于点，连接，证明，，，得到答案.
【详解】
如图所示：延长与交于点，连接与交于点，连接.
，根据知，为中点.
与交于点，，故，故.
易知平面，平面，故，同理.
故选：.
【点睛】
本题考查了直线和直线的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.
二、填空题
11．在四面体中，平面
，，则其四个面中直角三角形的个数为____
【答案】4
【解析】
【分析】
根据已知可得，可证平面，即可得出结论.
【详解】
如图所示四面体中，平面
，
，
为直角三角形，
平面，
平面，
为直角三角形，
四面体中，四个面中都是直角三角形.
故答案为:4.
【点睛】
本题考查线线垂直的判定，线面垂直是解题的关键，要注意空间中的垂直关系相互转化，属于基础题.
12．平面⊥平面,,，，直线，则直线与的位置关系是___．
【答案】
【解析】
【分析】
利用面面垂直的性质定理得到平面，又直线，利用线面垂直性质定理得.
【详解】
在长方体中，设平面为平面，平面为平面，
直线为直线，由于，，由面面垂直的性质定理可得：平面，
因为，由线面垂直的性质定理，可得.
【点睛】
空间中点、线、面的位置关系问题，一般是利用线面平行或垂直的判定定理或性质定理进行求解.
13．四面体ABCD中，AB＝CD＝2，AC＝AD＝BC＝BD＝4，则异面直线AB与CD的夹角为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
取的中点，连接，根据等腰三角形的性质可得，，再根据直线与平面垂直的判定定理可得平面，然后根据直线与平面垂直的性质可得，从而可得答案.
【详解】
如图所示：
取的中点，连接，
因为，为的中点，所以，
因为，为的中点，所以，
又，
所以平面，
因为平面，所以，
所以异面直线与所成的角为.
故答案为：
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，考查了直线与平面垂直的判定定理和性质，属于基础题.
14．已知圆锥的顶点为，点在底面圆周上，且为底面直径，若，则直线与的夹角为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
平移两条异面直线至的中点，找到两直线的夹角，再解三角形即可.
【详解】
根据题意，取中点分别为，连接，
过作，垂足为，连接，作图如下：
在中，因为分别是的中点，故可得//；
在中，因为分别是的中点，故可得//；
故可得即为所求异面直线的夹角或其补角.
因为底面，又，故可得平面，
又因为平面，故可得.
设，又
故可得，；
则.
因为.
在中，
因为，
故由余弦定理可得.
在中，
由勾股定理可得.
在中，
因为，
由余弦定理可得，
故可得，又异面直线的夹角范围为，
故可得异面直线与的夹角为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查异面直线夹角的求解，涉及线面垂直的性质，属常考题.
15．如图，在四棱锥中，四边形为菱形，且是等边三角形，点是侧面内的一个动点，且满足，则点所形成的轨迹长度是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，Q点在一个过BD，且与直线AC垂直的平面内，且Q点的轨迹是该平面内与平面PBC的交线段的长度.据此进行求解.
【详解】
根据题意，连接AC，BD，记其交点为O，取PC上一点为M，连接MB，MD，作图如下：
若满足题意，又，故平面DBQ，
则点Q只要在平面DBQ与平面PBC的交线上即可.
假设如图所示：平面DBM与平面DBQ是同一个平面，
则Q点的轨迹就是线段BM.
根据假设，此时直线平面DBM，则.
故三角形MOC为直角三角形.
因为三角形PAD是等边三角形，三角形BAD也是等边三角形，
故AD，又因为BC//AD，故BCPB，
故三角形PBC为直角三角形，故
故在三角形PAC中，
由余弦定理可得：
故在直角三角形MOC中，
在直角三角形PBC中，
=
在三角形BCM中：
故可得：.
故答案为.
【点睛】
本题综合考查立体几何知识，其中的难点在于如何找到动点的轨迹；本题中利用作直线的垂面找到了动点的轨迹，这是常考的知识点.本题属立体几何综合性难题.
三、解答题
16．如图（1），在中，，AD是边BC边上的中线，将沿AD折起得到，得到如图（2）所示的三棱锥，试判断AD与是否垂直.若垂直，请写出证明过程；若不垂直，请说明理由.
【答案】AD与垂直，证明详见解析.
【解析】
【分析】
根据已知可证平面，即可求出结论.
【详解】
AD与垂直，证明如下：
连接，在图（1），，AD是边BC边上的中线，
，在图（2），
平面平面，
平面，.
【点睛】
本题考查线面垂直、线线垂直，注意翻折前后垂直的不变量，属于基础题.
17．如图，在三棱柱中，，点，分别是，的中点，平面平面．
（1）求证：；
（2）求证：//平面．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据平面平面，可得平面，可得结果.
（2）取的中点，根据
//，且，可得平行四边形是平行四边形，然后根据//，以及线面平行的判定定理，可得结果.
【详解】
（1）因为，平面平面，
平面平面，
平面，则平面．
又因为平面，
所以．
（2）取的中点，连接，．
在中，因为，分别是，的中点，
所以//，且．
在平行四边形中，因为是的中点，
所以//，且，
所以//，且
在平行四边形是平行四边形，
所以//．
又因为平面，平面，
所以//平面．
【点睛】
本题考查面面垂直的性质定理，以及线面平行的判定，属基础题.
18．如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点.
（1）求证：PE⊥BC；
（2）求证：EF∥平面PCD.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
(1)先证明平面PE⊥BC即得证.(2)
取中点，连接.证明，再证明EF∥平面PCD.
【详解】
（1）∵，且为的中点，∴.
∵平面平面，平面平面，
∴平面.
∵面，∴PE⊥BC.
（2）如图，取中点，连接.
∵分别为和的中点，∴，且.
∵四边形为平行四边形，且为的中点，
∴，
∴，且，∴四边形为平行四边形，
∴.
又平面，平面，
∴平面.
【点睛】
本题主要考查空间位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.
19．如图，在几何体中，四边形，为矩形，平面平面，平面，，，为棱的中点.
（1）证明：；
（2）设与的交点为，试问：在线段上是否存在一点，使得平面.
【答案】（1）证明见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）先证明线平面可得，根据可证明，从而可证平面，由线面垂直的性质可得结论（2）设为线段的中点，可证四边形为平行四边形，取的中点,连由中位线可知，，即可证明.
【详解】
（1）因为平面，所以，
又，，所以平面，
因为，所以平面，平面，所以，
因为平面平面，平面平面，，
所以平面，
经计算可得，，，
从而，
所以在中，，
又平面，，
所以平面，
又平面，所以.
（2）当时，平面.
其理由如下：
因为
平面，平面，所以，∴，
设为线段的中点，又，
∴，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为中位线的性质，所以，
所以，
因为平面，平面，
所以平面.
【点睛】
本题主要考查了线面垂直的判定与性质，面面垂直的性质，线面平行的判定，属于中档题.
20．如图三棱柱，为菱形，，，为的中点，平面平面.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若直线与平面所成角为，求二面角所成角的正弦值
【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）取的中点，连接，可得，可得，同时由，可得，可得；
（Ⅱ）过作的垂线，垂足为，连接，可得即为二面角所成角，同时由题意可得，，设设，则，，，可得的值，即二面角所成角的正弦值为.
【详解】
解：（Ⅰ）取的中点，连接，由可得：,
故：
由,可得，
同时易得：,,可得
故：
由
故；
（Ⅱ）过作的垂线，垂足为，连接，
易得：,且，
同时由直线与平面所成角为，，可得，
为等腰直角三角形，,
可得：，
则即为二面角所成角.
设，则，，
在中，可得：
可得：,
即二面角所成角的正弦值为.
【点睛】
本题主要考查线面垂直的判定与性质，及二面角的求法，综合性大，属于难题.
试卷第1页，总3页人教版A版高中数学必修二2.3.3直线与平面垂直的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知直线平面，直线，则（
）
A．
B．
C．异面
D．相交而不垂直
2．已知所在的平面为，，是两条不同的直线，，，，，则直线，的位置关系是（
）
A．相交
B．异面
C．平行
D．不确定
3．如图所示，在三棱锥中，平面，，的延长线交于点，则图中与垂直的直线有（
）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
4．如图1，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（
）
A．与垂直
B．与垂直
C．与异面
D．与异面
5．正方体中，为侧面的中心，则与平面所成角的正弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在三棱锥P?ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是( )
A．AP⊥PB，AP⊥PC
B．AP⊥PB，BC⊥PB
C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC
D．AP⊥平面PBC
7．如图，四棱锥的底面为正方形，，则下列结论中不正确的是（
）
A．
B．
C．平面平面
D．
8．正四棱锥S-ABCD底面边长为2，高为1，E是棱BC的中点，动点P在四棱锥表面上运动，并且总保持，则动点P的轨迹的周长为（
）
A．1+
B．+
C．2
D．2
9．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中不正确的是（
）
A．
B．平面
C．平面平面
D．与所成的角等于与所成的角
10．如图所示，在正方体中，分别在上，且，.则（
）
A．至多与之一垂直
B．是的公垂线
C．与相交
D．与异面
二、填空题
11．在四面体中，平面
，，则其四个面中直角三角形的个数为____
12．平面⊥平面,,，，直线，则直线与的位置关系是___．
13．四面体ABCD中，AB＝CD＝2，AC＝AD＝BC＝BD＝4，则异面直线AB与CD的夹角为_____．
14．已知圆锥的顶点为，点在底面圆周上，且为底面直径，若，则直线与的夹角为__________．
15．如图，在四棱锥中，四边形为菱形，且是等边三角形，点是侧面内的一个动点，且满足，则点所形成的轨迹长度是_______.
三、解答题
16．如图（1），在中，，AD是边BC边上的中线，将沿AD折起得到，得到如图（2）所示的三棱锥，试判断AD与是否垂直.若垂直，请写出证明过程；若不垂直，请说明理由.
17．如图，在三棱柱中，，点，分别是，的中点，平面平面．
（1）求证：；
（2）求证：//平面．
18．如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点.
（1）求证：PE⊥BC；
（2）求证：EF∥平面PCD.
19．如图，在几何体中，四边形，为矩形，平面平面，平面，，，为棱的中点.
（1）证明：；
（2）设与的交点为，试问：在线段上是否存在一点，使得平面.
20．如图三棱柱，为菱形，，，为的中点，平面平面.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若直线与平面所成角为，求二面角所成角的正弦值
试卷第1页，总3页
