人教版A版高中数学必修二2.3.4平面与平面垂直的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知长方体，在平面上任取点，作于点，则（
）
A．平面
B．平面
C．平面
D．以上都有可能
2．若平面平面，平面平面，则（
）
A．
B．
C．与相交但不垂直
D．以上都有可能
3．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列正确的个数为：（
）
①若，则；
②若，则；
③若，则或；④若，则
A．1
B．2
C．3
D．4
4．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l?α，则下列说法正确的是（ ）
A．若m⊥l，则m⊥α
B．若m∥l，则m∥α
C．若l∥β，则β∥α
D．若l⊥β，则β⊥α
5．已知直线平面，直线平面，若，则下列结论正确的是
A．或
B．
C．
D．
6．已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列条件中能得出直线平面的是（
）
A．，其中
B．
C．
D．
7．已知三棱锥中，为中点，平面，，，则下列说法中错误的是（
）
A．若为的外心，则
B．若为等边三角形，则
C．当时，与平面所成角的范围为
D．当时，为平面内动点，若平面，则在三角形内的轨迹长度为
8．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
9．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（
）
A．，，则
B．，，则
C．，，，则
D．，，则
10．正方体中，在内部（不含边界）存在点，满足点到平面的距离等于点到棱的距离.分别记二面角为，为，为，则下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．以上说法均不正确
二、填空题
11．如图，平面平面，，，是正三角形，O为的中点，则图中直角三角形的个数为______.
12．设为使互不重合的平面，是互不重合的直线，给出下列四个命题：
①
②
③
④若；
其中正确命题的序号为
．
13．如图所示，三棱台的一条侧棱所在直线与平面的位置关系是__________.
14．如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则_______.
15．设分别是正方体的棱上两点，且，，给出下列四个命题：
①三棱锥的体积为定值；
②异面直线与所成的角为45°；
③平面；
④直线与平面所成的角为60°.
其中正确的命题为__________．
三、解答题
16．在三棱锥中，
平面，，，
，分别是，的中点，，分别是，的中点.
（1）求证:
平面.
（2）求证:平面平面.
17．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，，分别为，的中点．
（Ⅰ）求证：平面底面；
（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求到平面的距离．
18．如图，在四棱锥中，为等边三角形，边长为2，为等腰直角三角形，，，，平面平面ABCD.
(1)证明：平面PAD；
(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；
(3)棱PD上是否存在一点E，使得平面PBC？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19．如图空间几何体中，与，均为边长为的等边三角形，平面平面，平面平面．
（Ⅰ）求线段的长度．
（Ⅱ）试在平面内作一条直线，使得直线上任意一点与的连线均与平面平行，并给出详细证明；
20．如图，在多面体中，平面⊥平面，，，DEAC，AD=BD=1.
(Ⅰ)求AB的长；
(Ⅱ)已知，求点E到平面BCD的距离的最大值.
试卷第1页，总3页人教版A版高中数学必修二2.3.4平面与平面垂直的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知长方体，在平面上任取点，作于点，则（
）
A．平面
B．平面
C．平面
D．以上都有可能
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平面平面可得平面.
【详解】
∵平面，平面平面，且平面平面，∴平面.
【点睛】
本题考查面面垂直的性质，属于基础题.
2．若平面平面，平面平面，则（
）
A．
B．
C．与相交但不垂直
D．以上都有可能
【答案】D
【解析】
【分析】
以正方体为模型可得D正确.
【详解】
在正方体中，相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D.
【点睛】
立体几何中关于点、线、面之间位置关系的命题的真假问题，可在正方体中考虑它们成立与否，因为正方体中涵盖了点、线、面的所有位置关系，注意有时需要动态地考虑位置关系.
3．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列正确的个数为：（
）
①若，则；
②若，则；
③若，则或；④若，则
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】
试题分析：①中则与内任意直线都垂直，又，所以平行或异面，所以；②内存在与平行；③
中由面面垂直的性质定理可知有或；④由已知条件可知两平面的法向量垂直，因此两面垂直
考点：空间线面的位置关系
点评：本题考察了空间线面垂直平行的的判定与性质定理及常用方法，难度不大，属于基本知识点的考察
4．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l?α，则下列说法正确的是（ ）
A．若m⊥l，则m⊥α
B．若m∥l，则m∥α
C．若l∥β，则β∥α
D．若l⊥β，则β⊥α
【答案】D
【解析】
【分析】
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定逐一核对四个命题得答案.
【详解】
解：对于A，由l?α，m⊥l，得m∥α或m?α或m与α相交，故A错误；
对于B，由l?α，m∥l，得m∥α或m?α，故B错误；
对于C，由l?α，l∥β，得β∥α或β与α相交，故C错误；
对于D，由l?α，l⊥β，结合面面垂直的判定可得β⊥α，故D正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题.
5．已知直线平面，直线平面，若，则下列结论正确的是
A．或
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
选项A中与位置是平行或在平面内，选项B中与可能共面或异面，选项C中与的位置不确定，选项D中与的位置关系不确定．
【详解】
对于A，直线平面，，则或，A正确；
对于B，直线平面，直线平面，且，则或与相交或与异面，∴B错误；
对于C，直线平面，直线平面，且，则或与相交或或，∴C错误；
对于D，直线平面，直线平面，且，则或与相交或与异面，∴D错误．
故选A．
【点睛】
本题考查了空间平面与平面关系的判定及直线与直线关系的确定问题，也考查了几何符号语言的应用问题，是基础题．
6．已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列条件中能得出直线平面的是（
）
A．，其中
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
对四个选项逐一分析，排除错误选项，由此得出正确选项.
【详解】
A中缺少条件“与相交”；B中，当时，与可能平行，可能相交，也可能；C中，与可能平行，可能相交，也可能.对于D选项，两条平行直线中有一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面，D选项正确.故选D.
【点睛】
本小题主要考查线面垂直的判定定理，考查线面垂直的充分条件，属于基础题.
7．已知三棱锥中，为中点，平面，，，则下列说法中错误的是（
）
A．若为的外心，则
B．若为等边三角形，则
C．当时，与平面所成角的范围为
D．当时，为平面内动点，若平面，则在三角形内的轨迹长度为
【答案】B
【解析】
【分析】
利用射影相等可知，利用反证法可知不成立，构造线面角，可得其正弦值的范围为，故可判断线面角的范围，利用线面平行的性质可知轨迹为中与边平行的中位线.
【详解】
若为的外心，则，由射线相等即可知，故A正确；假设，则再根据，得平面，则，与为等边三角形矛盾，故B错误；
当时，，，过作，连结，易知为与平面所成角，，故的范围为，故C正确；
取，分别为，的中点，则平面平面，则线段为在三角形内的轨迹，其长度为，故D正确
【点睛】
本题为立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.此类问题通常是中档题.
8．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】A
【解析】
试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得，
可得
考点：空间线面平行垂直的判定与性质
9．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（
）
A．，，则
B．，，则
C．，，，则
D．，，则
【答案】D
【解析】
【分析】
根据空间中线线、线面和面面的位置关系，对选项进行逐一判断．
【详解】
对于A，如果分别在与平面平行的平面上，那么可以有多种位置关系，则A错误；
对于B，如果，作平面经过直线且与相交于直线，由线面平行的性质定理可知，，
∴当时，有可能直线与直线重合，此时，则B错误；
对于C，∵，且，∴或，又因为，∴或，则C错误；
对于D，∵，，由平行的传递性可知，．则D正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查空间直线和平面的位置关系，考查线线平行，线面平行，线面垂直的判定和性质定理，注意定理的条件是解题的关键，举出反例可提高作题的效率，是易错题，属于基础题．
10．正方体中，在内部（不含边界）存在点，满足点到平面的距离等于点到棱的距离.分别记二面角为，为，为，则下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．以上说法均不正确
【答案】C
【解析】
【分析】
如图连接，，，记，，，因此，，，比较长度关系即得解.
【详解】
如图所示，
作面于，作于，于，于，连，，，
则，，.
因此，，，
作于，于，于，
即点到平面的距离，即点到棱的距离，
因此，
因为，
因此，
因为，
因此
综上有：，即，
故选:C
【点睛】
本题考查了几何法研究二面角的大小，考查了学生空间想象，转化划归，逻辑推理，数学运算的能力，属于较难题.
二、填空题
11．如图，平面平面，，，是正三角形，O为的中点，则图中直角三角形的个数为______.
【答案】6
【解析】
【分析】
由面面垂直的性质定理可得：平面，再逐一判断即可得解.
【详解】
解：，O为的中点，
.
又平面平面，且交线为，
平面.
平面，，
为直角三角形.
∴图中的直角三角形有，，，，，，共6个.
故答案为：6.
【点睛】
本题考查了面面垂直的性质定理，重点考查了空间想象能力，属基础题.
12．设为使互不重合的平面，是互不重合的直线，给出下列四个命题：
①
②
③
④若；
其中正确命题的序号为
．
【答案】④
【解析】
试题分析：根据线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，面面平行的性质定理，及面面垂直的性质定理，对题目中的四个结论逐一进行分析，即可得到答案．
解：当m∥n，n?α，，则m?α也可能成立，故①错误；
当m?α，n?α，m∥β，n∥β，m与n相交时，α∥β，但m与n平行时，α与β不一定平行，故②错误；
若α∥β，m?α，n?β，则m与n可能平行也可能异面，故③错误；
若α⊥β，α∩β=m，n?α，n⊥m，由面面平行的性质，易得n⊥β，故④正确
故答案为④
考点：本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，直线与平面之间的位置关系．
点评：熟练掌握空间线与线，线与面，面与面之间的关系的判定方法及性质定理，是解答本题的关键，属于基础题．
13．如图所示，三棱台的一条侧棱所在直线与平面的位置关系是__________.
【答案】相交
【解析】
【分析】
根据棱台的定义，结合线面的位置关系，可以判断出侧棱所在直线与平面的位置关系.
【详解】
由棱台的定义知，棱台的所有侧棱所在的直线都交于同一点，而任一侧面所在的平面由两条侧棱所在的直线确定，故这条侧棱与不含这条侧棱的任意一个侧面所在的平面都相交.
【点睛】
本题考查了棱台的定义、以及线面的位置关系的判断.
14．如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】
可证明及，在利用解直角三角形直接计算即可.
【详解】
如图，设两个矩形分别为矩形、矩形，
因为平面平面，平面平面，
平面，，故平面，而平面，
所以，同理.
由题意，两个矩形的对角线长分别为，
所以，
所以.故填.
【点睛】
本题考查直角三角形中角的余弦的计算，属于容易题.
15．设分别是正方体的棱上两点，且，，给出下列四个命题：
①三棱锥的体积为定值；
②异面直线与所成的角为45°；
③平面；
④直线与平面所成的角为60°.
其中正确的命题为__________．
【答案】①②
【解析】
①:三角形在平面内，到平面的距离为定值，故为定值，命题正确.
②将平移到，由此可知异面直线与所成的角为45°，命题正确.③由图可知命题显然不成立.④如图所示，连接交于，易得平面，所以是所求线面角，由于，故线面角大小为.综上，正确命题为①②.
【点睛】本题主要考查空间点线面的位置关系，考查空间几何体的体积.第一个命题是关于三棱锥的体积，体积公式是底面积乘以高除以三，根据分析可知底面积一定，高也一定，故体积一定.第二个命题是异面直线所成的角，判断方法是利用平移将两条直线移到一起，然后解三角形得到.
三、解答题
16．在三棱锥中，
平面，，，
，分别是，的中点，，分别是，的中点.
（1）求证:
平面.
（2）求证:平面平面.
【答案】（1）见解析；
（2）见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据线面平行的判定定理可证明平面；
(2)根据面面垂直的判定定理即可证明平面平面.
【详解】
（1）证明:连结，在中，
，分别是，的中点，
为的中位线，
.
在，，分别是，的中点，
是的中位线，
，
.
平面，
平面.
（2）证明:，
，
，
，
，
平面且面
平面平面
【点睛】
本题主要考查直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定，属于基础题型.
17．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，，分别为，的中点．
（Ⅰ）求证：平面底面；
（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求到平面的距离．
【答案】（Ⅰ）证明过程见详解；（Ⅱ）；（III）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先证明平面，即可得出平面底面；
（Ⅱ）过作平面，连接，得到即为所求线面角，解三角形即可；
（Ⅲ）设到平面的距离为，根据等体积法即可求出结果.
【详解】
（I）证明：
面，
，，
分别为中点
，
，
平面
，
平面，
平面，
平面平面.
（II）过作平面，连接
即为所求
，
即，
，
；
（III）设到平面的距离为，
因为，所以，
即，
所以，
故到平面的距离为.
【点睛】
本题主要考查面面垂直的判定、线面角以及点到平面的距离，熟记判定定理，灵活运用等体积法求解即可，属于常考题型.
18．如图，在四棱锥中，为等边三角形，边长为2，为等腰直角三角形，，，，平面平面ABCD.
(1)证明：平面PAD；
(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；
(3)棱PD上是否存在一点E，使得平面PBC？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）棱PD上存在一点E，使得平面PBC，且.
【解析】
【分析】
（1）用面面垂直的性质定理证明线面垂直；
（2）取的中点，连接，得平面，以为轴，为轴，过平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，用平面的法向量的夹角求二面角；
（3）假设棱PD上存在一点E，使得平面PBC，设，由与平面的法向量垂直求得，如果求不出，说明不存在.
【详解】
（1）∵平面平面ABCD，，平面平面ABCD，平面ABCD，∴平面；
（2）取的中点，连接，由于是等边三角形，所以，由平面平面ABCD，得平面，，
以为轴，为轴，过平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，设平面的一个法向量为，
则，取，则，，，
平面的一个法向量为，
，
∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为；
（3）假设棱PD上存在一点E，使得平面PBC，设，
由（2），，
，又平面的一个法向量是，
∴，解得，∴.
∴棱PD上存在一点E，使得平面PBC，且.
【点睛】
本题考查由面面垂直证明线面垂直，考查用空间向量法求二面角，研究线面平行．解题是建立空间直角坐标系．
19．如图空间几何体中，与，均为边长为的等边三角形，平面平面，平面平面．
（Ⅰ）求线段的长度．
（Ⅱ）试在平面内作一条直线，使得直线上任意一点与的连线均与平面平行，并给出详细证明；
【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）取中点，连接，直线是所求直线，证明详见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）分别取中点，连接，可得，结合已知可证
平面，同理平面，可证四边形是平行四边形，即可求出结论；
（Ⅱ）根据题意只需过做一平面与平面平行，该平面与平面的交线即为所求，由（1）得，面，取中点，连接，，可证面，进而有平面平面，则为所求.
【详解】
（Ⅰ）分别取中点，连接，
由平面平面且交于，面，
，平面
由平面平面且交于，面，
，平面
，且，
所以四边形是平行四边形，
；
（Ⅱ）取中点，连接，
由，，，
平面，平面，
所以面，
又因为平面，
平面，所以平面，
，所以平面平面，
当在直线上运动时，平面
所以直线是所求直线．
【点睛】
本题考查面面垂直和线面垂直的应用，注意空间中垂直的相互转化，考查面面平行的判定和应用，属于中档题.
20．如图，在多面体中，平面⊥平面，，，DEAC，AD=BD=1.
(Ⅰ)求AB的长；
(Ⅱ)已知，求点E到平面BCD的距离的最大值.
【答案】(1);(2).
【解析】
分析：(Ⅰ)
先由面面垂直的性质可得平面，平面，可得，再证明平面，于是得，由勾股定理可得结果；(Ⅱ)过作直线，以点为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
记，求出平面的一个法向量，利用点到平面的距离，结合，可得点到平面的距离的最大值.
详解：(Ⅰ)∵平面ABD⊥平面ABC，且交线为AB，而AC⊥AB，∴AC⊥平面ABD.
又∵DE∥AC，∴DE⊥平面ABD，从而DE⊥BD.
注意到BD⊥AE，且DE∩AE=E，∴BD⊥平面ADE，于是，BD⊥AD.
而AD=BD=1，∴.
(Ⅱ)∵AD=BD，取AB的中点为O，∴DO⊥AB.
又∵平面ABD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC.
过O作直线OY∥AC，以点O为坐标原点，直线OB，OY，OD分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
记，则，，
，，，.
令平面BCD的一个法向量为.
由得.令，得.
又∵，∴点E到平面BCD的距离.
∵，∴当时，取得最大值，.
点睛：本题主要考查空间垂直关系，利用空间向量求点到面的距离，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
试卷第1页，总3页
