人教版A版高中数学必修二3.1.1倾斜角与斜率
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若直线的倾斜角是，则直线的斜率为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
分析：根据倾斜角和直线斜率的关系求解即可.
详解：由题可得：直线的斜率为tanα=tan
故选D.
点睛：考查直线斜率的计算，属于基础题.
2．若直线的倾斜角为，则等于（
）．
A．
B．
C．
D．不存在
【答案】A
【解析】
直线平行于轴，倾斜角为，故选．
直线的倾斜角和斜率的关系：
【点睛】(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率.
(2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：
α
0°
0°<α<90°
90°
90°<α<180°
k
0
k>0
不存在
k<0
3．已知点，，则直线的斜率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由斜率的定义求解即可
【详解】
由斜率的定义得，
故答案为：直线的斜率为
故选：
【点睛】
本题考查直线的斜率的定义，属于基础题
4．直线x-y+1=0的倾斜角是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由直线方程求得直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求解．
【详解】
直线的斜率，设其倾斜角为，，得．
故选：B．
【点睛】
本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础的计算题．
5．直线l经过原点和，则它的倾斜角是（
）
A．45°
B．﹣45°
C．135°
D．45°或135°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知的两点计算出斜率，再根据倾斜角的正切值为斜率，即可求得倾斜角.
【详解】
因为直线经过原点和，故，
设直线倾斜角为，故，又，
故可得.
故选：C.
【点睛】
本题考查已知两点求直线斜率，以及斜率与倾斜角之间的关系.
6．直线的倾斜角是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直线方程求得斜率，根据斜率与倾斜角之间的关系，即可求得倾斜角.
【详解】
设直线的倾斜角为，
故可得，
又，
故可得.
故选：D.
【点睛】
本题考查由直线的斜率求解倾斜角，属基础题.
7．已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．或
【答案】D
【解析】
【分析】
作出示意图，再结合两点间的斜率公式，即可求得答案.
【详解】
，，
又直线过点且与线段相交，作图如下：
则由图可知，直线的斜率的取值范围是：或．
故选：D
【点睛】
本题借直线与线段的交点问题，考查两点间的斜率公式，考查理解辨析能力，属于中档题.
8．已知变量，满足则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【详解】
分析：先作出不等式组对应的可行域，再化简，最后利用数形结合求的取值范围.
详解：由题得不等式组对应的可行域如图所示，
,
表示可行域内的点(x,y)和点D（-1，-1）的线段的斜率，
由图可知，,
所以的取值范围是，故答案为B
点睛：（1）本题主要考查线性规划求最值和直线的斜率，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和数形结合的思想方法.
(2)表示点(x,y)和点（-a,-b）的斜率.
9．已知两点，直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出直线所过定点，画出图形，再求出，的斜率，数形结合得答案．
【详解】
解：直线过定点，
，，
直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是．
故选：．
【点睛】
本题考查直线系方程的应用，考查直线斜率的求法，体现了数形结合的解题思想方法，是基础题．
10．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，第二象限的点在椭圆上，且，若椭圆的离心率为，则直线的斜率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据离心率，将椭圆的方程变形整理为：，再根据，列方程，两方程联立，求解.再计算斜率即可.
【详解】
依题意，，解得，故，则椭圆：；而，联立，解得，则，故.
故选：D
【点睛】
本题考查椭圆与圆的交点问题，以及求直线斜率问题，同时也考查了运算求解能力，属于较难的一道题.
二、填空题
11．已知直线的倾斜角为，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由直线斜率与倾斜角的关系可得，再求解即可.
【详解】
解：由直线，
则，
则，
又，
得，
又，
所以，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了直线倾斜角的求法，重点考查了直线斜率与倾斜角的关系，属基础题.
12．若直线：经过点，则直线的倾斜角为______.
【答案】
【解析】
【分析】
化简点点坐标，代入直线方程求出斜率，再由斜率求出倾斜角.
【详解】
化简得，
因为经过点，所以，解得，
则，又，
所以.
故答案为.
【点睛】
本题考查点与直线的关系，考查斜率与倾斜角的关系，属于基础题.
13．已知抛物线上有三点，，，直线，，的斜率分别为，，，则的重心坐标为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
设出点的坐标，由斜率公式以及抛物线方程得出，，，，，的值，再由重心坐标公式得出答案.
【详解】
设，，
则，得
同理，
故有，且，，
，，
则的重心为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了斜率公式的应用以及求三角形的重心坐标，属于中等题.
14．直线与连接A（4，5），B（-1，2）的线段相交，则的取值范围是___．
【答案】或
【解析】
【分析】
判断直线恒过定点P（0，-1），计算PA、PB的斜率，再利用数形结合求a的取值范围．
【详解】
解：由直线ax+y+1=0的方程，判断直线恒过定点P（0，-1），如图所示，
计算，
且或，
则或，
即实数a的取值范围是：或．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查直线的斜率与直线方程的应用问题，是基础题．
15．已知直线过点，且与以为端点的线段相交，则直线斜率的取值范围__________．
【答案】
【解析】
直线的斜率
,直线的斜率,设与线段交于
点,由向移动,斜率越来越大,在某点处会平行
轴,此时无斜率,即
,过了这点,斜率由
增大到直线
的斜率
,即
,直线
斜率取值范围为.故本题填
三、解答题
16．已知点、，直线.
（1）求线段的中点坐标及直线的斜率；
（2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程.
【答案】（1）线段的中点坐标为，直线的斜率为；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用中点坐标公式可求出线段的中点坐标，由直线的斜率公式可计算出直线的斜率；
（2）根据题意，设直线的方程为，将的坐标代入其方程计算可得的值，即可得答案．
【详解】
（1）根据题意，设的中点坐标为，
又由点、，则，，
所以，线段的中点坐标为，直线的斜率为；
（2）设直线的方程为，
又由直线经过点，则有，则.
即直线的方程为.
【点睛】
本题考查线段中点坐标的计算，涉及直线的斜率计算，同时也考查了利用直线平行求直线方程，涉及平行直线系方程的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
17．已知中，，，.
（1）求直线的方程；
（2）求边上的高所在的直线方程.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先根据两点间斜率公式求得,再由点斜式即可得到直线方程,化为一般式即可.
（2）根据垂直直线的斜率关系,可先求得的高所在直线的斜率,再由点斜式可得直线方程,化为一般式即可.
【详解】
（1）中,,,
由两点间斜率公式可得,
所以直线的方程为,
即.
（2）设边上的高所在的直线为,
则由垂直直线的斜率乘积为可得,
所以的直线方程为,
∴边上的高所在的直线方程为:.
【点睛】
本题考查了两点间斜率公式,两条垂直直线的斜率关系及点斜式方程的用法,不同方程间的转化,属于基础题.
18．已知平面内两点。
（1）求的垂直平分线方程；
（2）直线经过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程。
【答案】（1）；（2）和
【解析】
【分析】
(1)求出中点坐标为，计算出MN两点的斜率，根据两直线垂直斜率乘积等于-1计算出中垂线的斜率，再利用点斜式写出中垂线即可。
(2)点和点到直线的距离相等等价于直线与直线MN平行或直线过的中点。
【详解】
（1）易求得中点坐标为。又，
所以的中垂线的斜率为，
的中垂线的方程为即。
（2）由（1）知，，所以直线的方程为，
直线经过点得，综上：为和
【点睛】
本题考查直线与直线的位置关系，属于基础题。
19．已知椭圆（）的焦距为2，离心率为，右顶点为.
（I）求该椭圆的方程；
（II）过点作直线交椭圆于两个不同点，求证：直线，的斜率之和为定值.
【答案】（I）.（II）见解析.
【解析】
分析：（I）由椭圆的焦距和离心率可得，，故，从而可得椭圆的方程．（II）讨论直线的斜率，当斜率存在时设其方程为，与椭圆方程联立消元后得到二次方程，结合根与系数的关系及题意可求得，即得结论成立．
详解：（I）由题意可知，故，
又，
∴，
∴，
∴椭圆方程为．
（II）由题意得，当直线的斜率不存在时，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.
由消去y整理得，
∵直线与椭圆交于两点，
∴，
解得．
设，，
则，，
又，
∴.
即直线，的斜率之和为定值.
点睛：求定值问题常见的方法
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
20．已知点是椭圆C：上的一点，椭圆C的离心率与双曲线的离心率互为倒数，斜率为直线l交椭圆C于B，D两点，且A、B、D三点互不重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若分别为直线AB，AD的斜率，求证：为定值．
【答案】（1）（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆的定义和几何性质，建立方程，即可求椭圆C的方程；
（2）设直线BD的方程为，代入椭圆方程，设D（x1，y1），B（x2，y2），直线AB、AD的斜率分别为：，则，由此导出结果.
【详解】
（1）由题意，可得e==，代入A（1，）得，
又，解得，
所以椭圆C的方程．
（2）证明：设直线BD的方程为y=x+m，
又A、B、D三点不重合，∴，
设D（x1，y1），B（x2，y2），
则由得4x2+2mx+m2-4=0
所以△=-8m2+64＞0，所以＜m＜．
x1+x2=-m，
设直线AB、AD的斜率分别为：kAB、kAD，
则kAD+kAB=
=
所以kAD+kAB=0，即直线AB，AD的斜率之和为定值．
【点睛】
该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解．直线与椭圆的位置关系，直线斜率坐标公式，属于中档题目.
试卷第1页，总3页人教版A版高中数学必修二3.1.1倾斜角与斜率
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若直线的倾斜角是，则直线的斜率为
A．
B．
C．
D．
2．若直线的倾斜角为，则等于（
）．
A．
B．
C．
D．不存在
3．已知点，，则直线的斜率为（
）
A．
B．
C．
D．
4．直线x-y+1=0的倾斜角是（
）
A．
B．
C．
D．
5．直线l经过原点和，则它的倾斜角是（
）
A．45°
B．﹣45°
C．135°
D．45°或135°
6．直线的倾斜角是（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．或
8．已知变量，满足则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知两点，直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
10．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，第二象限的点在椭圆上，且，若椭圆的离心率为，则直线的斜率为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．已知直线的倾斜角为，则_______.
12．若直线：经过点，则直线的倾斜角为______.
13．已知抛物线上有三点，，，直线，，的斜率分别为，，，则的重心坐标为_________.
14．直线与连接A（4，5），B（-1，2）的线段相交，则的取值范围是___．
15．已知直线过点，且与以为端点的线段相交，则直线斜率的取值范围__________．
三、解答题
16．已知点、，直线.
（1）求线段的中点坐标及直线的斜率；
（2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程.
17．已知中，，，.
（1）求直线的方程；
（2）求边上的高所在的直线方程.
18．已知平面内两点。
（1）求的垂直平分线方程；
（2）直线经过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程。
19．已知椭圆（）的焦距为2，离心率为，右顶点为.
（I）求该椭圆的方程；
（II）过点作直线交椭圆于两个不同点，求证：直线，的斜率之和为定值.
20．已知点是椭圆C：上的一点，椭圆C的离心率与双曲线的离心率互为倒数，斜率为直线l交椭圆C于B，D两点，且A、B、D三点互不重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若分别为直线AB，AD的斜率，求证：为定值．
试卷第1页，总3页
